高优指导高考数学一轮复习 第十三章 推理与证明、算法初步与复数 13.3 数学归纳法课件 理 北师大版.ppt

13 3数学归纳法 2 考纲要求 了解数学归纳法的原理 能用数学归纳法证明一些简单的数学命题 3 1 数学归纳法的定义一般地 证明一个与正整数n有关的命题 可按下列步骤进行 1 归纳奠基 证明当n取第一个值n0 n0 n 时命题成立 2 归纳递推 假设n k k n0 k n 时命题成立 证明当n k 1时命题也成立 只要完成这两个步骤 就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立 上述证明方法叫作数学归纳法 4 2 数学归纳法的框图表示 5 1 2 3 4 5 1 下列结论正确的打 错误的打 1 用数学归纳法证明问题时 第一步是验证当n 1时结论成立 2 所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明 3 不论是等式还是不等式 用数学归纳法证明时 由n k到n k 1时 项数都增加了一项 4 用数学归纳法证明等式 验证n 1时 左边式子应为1 2 22 23 5 用数学归纳法证明凸n边形的内角和公式时 第一步检验n 3 6 1 2 3 4 5 2 2015安徽黄山模拟 已知n为正偶数 用数学归纳法证明时 若已假设n k k 2 且k为偶数 时命题为真 则还需要用归纳假设再证 a n k 1时等式成立b n k 2时等式成立c n 2k 2时等式成立d n 2 k 2 时等式成立 答案 解析 7 1 2 3 4 5 答案 解析 3 在用数学归纳法证明 平面内n条 n 2 直线 任何两条不平行 任三条不过同一个点的交点个数为时 第一步验证n0等于 a 1b 2c 3d 4 8 1 2 3 4 5 答案 解析 4 用数学归纳法证明 n n 且n 1 第一步要证的不等式是 9 1 2 3 4 5 5 用数学归纳法证明1 2 3 n2 则当n k 1时 左端应在n k的基础上增添的代数式是 答案 解析 10 1 2 3 4 5 自测点评1 数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学问题 证明时步骤 1 和 2 缺一不可 步骤 1 是步骤 2 的基础 步骤 2 是递推的依据 2 当第 1 步验算n n0时 要观察表达式中能起通项作用的项 把n n0代入这个通项 就能找到命题的表达式 3 在用数学归纳法证明时 第 1 步验算n n0的n0不一定为1 而是根据题目要求选择合适的起始值 第 2 步证明当n k 1时命题也成立 n的取值不一定就是k 1 而是满足题意的比k大的下一个值 11 考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 考点1用数学归纳法证明等式例1求证 n 1 n 2 n n 2n 1 3 5 2n 1 n n 答案 12 考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 思考 用数学归纳法证明等式的注意点有哪些 解题心得 用数学归纳法证明等式的注意点 1 用数学归纳法证明等式问题 要 先看项 弄清等式两边的构成规律 等式两边各有多少项 初始值n0是多少 2 由n k时等式成立 推出n k 1时等式成立 一要找出等式两边的变化 差异 明确变形目标 二要充分利用归纳假设 进行合理变形 正确写出证明过程 3 不利用归纳假设的证明 就不是数学归纳法 13 考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 答案 14 考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 考点2用数学归纳法证明不等式例2若函数f x x2 2x 3 定义数列 xn 如下 x1 2 xn 1是过点p 4 5 qn xn f xn 的直线pqn与x轴的交点的横坐标 试运用数学归纳法证明 2 xn xn 1 3 证明 1 当n 1时 x1 2 f x1 3 q1 2 3 则直线pq1的方程为y 4x 11 令y 0 因此 2 x1 x2 3 即当n 1时结论成立 15 考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 思考 具有怎样特征的不等式可用数学归纳法证明 证明的关键是什么 16 考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 解题心得 1 当遇到与正整数n有关的不等式证明时 若用其他办法不容易证 则可考虑应用数学归纳法 2 证明的关键是 由n k时命题成立证n k 1时命题也成立 在归纳假设使用后可运用比较法 综合法 分析法 放缩法等来加以证明 充分应用基本不等式 不等式的性质等放缩技巧 使问题得以简化 17 考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 答案 18 考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 19 考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 20 考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 思考 解决 归纳 猜想 证明 问题的一般思路是什么 哪些问题常用该模式解决 解题心得 解决 归纳 猜想 证明 问题的一般思路是 通过观察有限个特例 猜想出一般性的结论 然后用数学归纳法证明 这种方法在解决探索性问题 存在性问题或与正整数有关的命题中有着广泛的应用 21 考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 对点训练3 2015河北常德模拟 设a 0 f x 令a1 1 an 1 f an n n 1 写出a2 a3 a4的值 并猜想数列 an 的通项公式 2 用数学归纳法证明你的结论 答案 22 考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 数学归纳法是一种重要的数学思想方法 只适用于与正整数有关的命题 证明过程的表述严格而且规范 两个步骤缺一不可 第一步是递推的基础 第二步是递推的依据 第二步中 归纳假设起着 已知条件 的作用 当n k 1时一定要运用它 否则就不是数学归纳法 第二步的关键是 一凑假设 二凑结