高中数学 2.2.3 独立重复试验与二项分布复习课件 新人教A版选修23.ppt

2 2 3独立重复试验与二项分布 1 理解n次独立重复试验的模型及意义 2 理解二项分布 并能解决一些简单的实际问题 3 掌握独立重复试验中事件的概率及二项分布的求法 1 本课时的重点是n次独立重复试验的概念及二项分布的定义 2 本课时的难点是利用独立重复试验中事件的概率及二项分布解决一些简单的实际问题 1 n次独立重复试验的定义是 在 重复做的n次试验 2 二项分布请结合二项分布的相关内容填空 相同条件下 1 定义 在n次独立重复试验中 用x表示事件a发生的次数 设每次试验中事件a发生的概率是p 那么在试验中这个事件恰好发生k次的概率p x k k 0 1 2 n 称 服从二项分布 2 表示 记作 3 p的名称 概率 随机变量x x b n p 成功 1 某同学从装有3个黑球2个白球的口袋中依次摸出两个球 取后不放回 问该试验是独立重复试验吗 为什么 提示 不是 因为两次取球成功的概率不相等 2 已知 则p x 2 解析 答案 3 任意抛掷三枚硬币 恰有2枚正面朝上的概率为 解析 答案 1 n次独立重复试验的特征 1 每次试验的条件都完全相同 有关事件的概率保持不变 2 每次试验的结果互不影响 即各次试验相互独立 3 每次试验只有两种结果 这两种可能的结果是对立的 2 两点分布与二项分布的关系 只有两个结果 这两个结果是对立的 即要么发生 要么不发生 在每次试验中只有两个结果 这两个结果是对立的 即要么发生 要么不发生 但在n重独立重复试验中共有n 1个结果 两点分布是特殊的二项分布 3 对二项分布的认识 1 由于恰好是二项展开式 中的各项的值 所以称这样的随机变量 服从二项分布 2 中 n为试验次数 p为事件发生的概率 k为事件a发生的次数 独立重复试验的概率求法 技法点拨 独立重复试验概率求法的三个步骤 1 判断 依据n次独立重复试验的特征 判断所给试验是否为独立重复试验 2 分拆 判断所求事件是否需要分拆 3 计算 就每个事件依据n次独立重复试验的概率公式求解 最后利用互斥事件概率加法公式计算 典例训练 1 2011 重庆高考 将一枚均匀的硬币抛掷6次 则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为 2 2012 武威高二检测 一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0 9 则服用这种新药的4个病人中至少3人被治愈的概率为 用数字作答 3 某气象站天气预报的准确率为80 计算 结果保留两个有效数字 1 5次预报中恰有4次准确的概率 2 5次预报中至少有4次准确的概率 解析 1 由题意知 正面出现的次数多 包含4次正面 5次正面和6次正面三种情况 故其概率答案 2 4个病人服用某种新药 相当于做4次独立重复试验 至少3人被治愈 即 3人被治愈 4人被治愈 两个互斥事件有一个要发生 由独立重复试验和概率的加法公式即可得 4个病人服用某种新药3人被治愈的概率为 4个病人服用某种新药4人被治愈的概率为故服用这种新药的4个病人中至少3人被治愈的概率为0 2916 0 6561 0 9477 答案 0 9477 3 1 记 预报1次 结果准确 为事件a 预报5次相当于5次独立重复试验 根据n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率计算公式 5次预报中恰有4次准确的概率故5次预报中恰有4次准确的概率约为0 41 2 5次预报中至少有4次准确的概率 就是5次预报中恰有4次准确的概率与5次预报都准确的概率的和 即 0 84 0 85 0 410 0 328 0 74 故5次预报中至少有4次准确的概率约为0 74 总结 由第2题总结求多个事件至少有一个要发生的概率的方法及解答上述三道题目的注意点 提示 1 求多个事件至少有一个要发生的概率一般有两种办法 将该事件分解为若干个互斥事件的 和事件 然后利用概率的加法公式求解 考虑对立事件 如 本题也可另解为 2 解答上述三道题目应注意以下几点 严格把握 至多 至少 恰有 等字眼的含义 正确分解事件 做到难化易 大化小 变式训练 某射手射击一次 击中目标的概率是0 9 他连续射击3次 且他各次射击是否击中目标之间没有影响 有下列结论 他三次都击中目标的概率是0 93 他第三次击中目标的概率是0 9 他恰好2次击中目标的概率是2 0 92 0 1 他恰好2次未击中目标的概率是3 0 9 0 12 其中正确结论的序号是 把正确结论的序号都填上 解题指南 结合题目具体情境求解本题 注意 与独立重复试验的区别 解析 答案 二项分布问题 技法点拨 解决二项分布问题的两个关注点 1 对于公式必须在满足 独立重复试验 时才能运用 否则不能应用该公式 2 判断一个随机变量是否服从二项分布 关键有两点 一是对立性 即一次试验中 事件发生与否两者必有其一 二是重复性 即试验是独立重复地进行了n次 典例训练 1 某批数量较大的商品的次品率为10 从中任意地连续取出5件 其中次品数 的分布列为 2 袋子中有8个白球 2个黑球 从中随机地连续抽取三次 求有放回时 取到黑球个数的分布列 解析 1 本题中商品数量较大 故从中任意抽取5件 不放回 可以看作是独立重复试验n 5 因而次品数 服从二项分布 即 b 5 0 1 的分布列如下 答案 2 取到黑球数x的可能取值为0 1 2 3 又由于每次取到黑球的概率均为那么故x的分布列为 思考 题1是二项分布模型吗 为什么可以看作二项分布 提示 1 题1是二项分布模型 2 独立重复试验的实际原型是有放回地抽样检验问题 但在实际应用中 从大批产品中抽取少量样品的不放回检验 可以近似地看作为此类型 所以独立重复试验在实际问题中应用非常广泛 变式训练 某厂生产电子元件 其产品的次品率为5 现从一批产品中任意地连续取出2件 写出其中次品数 的概率分布 解析 依题意 随机变量 b 2 5 所以 因此 次品数 的分布列是 二项分布的应用 技法点拨 解决二项分布实际应用问题的关键点二项分布在生产实际中的应用十分广泛 如产品检验 医学检验等 求解此类问题的关键是把实际问题概率知识化 在此基础上 借助相关的概率知识求解 需特别注意 由于此类问题与实际问题结合密切 处理时应结合实际问题求解 典例训练 1 某人对一目标进行射击 每次命中率都是0 25 若使至少命中1次的概率不小于0 75 至少应射击 次 2 某车间有10台同类型的机床 每台机床配备的电动机功率为10kw 已知每台机床工作时 平均每小时实际开动12min 且开动与否是相互独立的 1 现因当地电力供应紧张 供电部门只提供50kw的电力 这10台机床能够正常工作的概率为多大 2 在一个工作班的8h内 不能正常工作的时间大约是多少 解析 1 设要使至少命中1次的概率不小于0 75 应射击n次 记事件a 射击一次 击中目标 则p a 0 25 射击n次相当于n次独立重复试验 事件a至少发生1次的概率为p 1 0 75n 由题意 令 n至少取5 答案 5 2 每台机床正常工作的概率为 而且每台机床分 工作 和 不工作 两种情况 所以工作机床台数 p k k 0 1 2 3 10 50kw电力同时供给5台机床开动 因而10台机床同时开动的台数不超过5台时都可以正常工作 这一事件的概率为p 5 p 5 2 在电力供应为50kw的条件下 机床不能正常工作的概率仅约为0 006 从而在一个工作班的8h内 不能正常工作的时间只有大约8 60 0 006 2 88 min 这说明 10台机床的工作基本上不受电力供应紧张的影响 互动探究 若把题2题设 每台机床配备的电动机功率为10kw 换成 每台机床配备的电动机功率为7 5kw 其余条件不变 求全部机床用电量超过48kw的可能性有多大 解析 因为48kw可供6台机床同时工作 如果用电超过48kw 即7台或7台以上的机床同时工作 这一事件的概率为 想一想 如何求解ax b 求解本题2的关键是什么 提示 1 借助对数知识求解方程ax b的解为x logab 2 求解本题 的关键是在分析出事件的关系是相互独立的同时如何转化为互斥事件概率和的形式 变式训练 某工厂准备将开发的一种节能产品投入市场 在出厂前要对产品的四项质量指标进行严格的抽检 如果四项指标有两项不合格 则这批产品不能出厂 已知每项抽检是相互独立的 且每项抽检出现不合格的概率是 1 求这批产品不能出厂的概率 2 求直至四项指标全部检验完毕 才能确定该批产品能否出厂的概率 解题指南 利用对立事件的概率求 1 2 直至四项指标全部检验完毕 才能确定该批产品能否出厂 隐含着 三项指标中 必为两项合格 一项不合格 解析 1 记 四项指标全部合格 的事件为a0 出现一项指标不合格 的事件为a1 则p a0 这批产品不能出厂的概率为 2 要四项指标全部检验完毕 才能确定该批产品能否出厂 记此事件为b 则 规范解答 独立重复试验及二项分布的综合题的解法 典例 12分 2012 深圳高二检测 一名学生每天骑自行车上学 从家到学校的途中有5个交通岗 假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的 并且概率都是 1 求这名学生在途中遇到红灯的次数 的分布列 2 求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数 的分布列 3 这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率 解题指导 规范解答 1 b 5 的分布列为p k 分 2 的分布列为p k p 前k个是绿灯 第k 1个是红灯 分故 的分布列为 所求概率为 12分 阅卷人点拨 通过阅卷后分析 对解答本题的失分警示和解题启示总结如下 注 此处的 见规范解答过程 规范训练 12分 9粒种子种在甲 乙 丙3个坑内 每坑3粒 每粒种子发芽的概率为0 5 若一个坑内至少有1粒种子发芽 则这个坑不需要补种 若一个坑内的种子都没有发芽 则这个坑需要补种 1 求甲坑不需要补种的概率 2 求3个坑中恰有1个坑不需要补种的概率 3 求有坑需要补种的概率 精确到0 001 解题设问 1 不需要补种 的含义是什么 2 如何计算 1 可借助 的概率求解 3 如何计算 2 可借助 的概率求解 3粒种子至少 有1粒种子发芽 对立事件 独立重复试验 规范答题 1 因为甲坑内3粒种子都不发芽的概率为 1 0 5 3 4分所以甲坑不需要补种的概率为1 0 875 2 3个坑恰有一个坑不需要补种的概率为 8分 3 因为3个坑都不需要补种的概率为 所以有坑需要补种的概率为1 0 330 12分 1 下面关于x b n p 的叙述 p表示一次试验中事件发生的概率 n表示独立重复试验的总次数 n 1时 二项分布退化为两点分布 随机变量x的取值是小于等于n的所有正整数 正确的有 a 1个 b 2个 c 3个 d 4个 解析 选c 正确 不对 x可取0 正整数应改为自然数 2 小王通过英语听力测试的概率是 他连续测试3次 那么其中恰有1次获得通过的概率是 a b c d 解析 选a 3次中