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两类平几题的辅助圆解（证）法毛永吉发表于“数学教学通迅”1991年笫3期添加辅助线是解决初等几何问题的重要手段之一，同时也往往是解题的关键之所在。以点、线段和直线等作为辅助线是大家最熟悉和最常用的，至于以圆或圆弧作为辅助线则少见。本文专门谈以圆作为辅助线（称为辅助圆）的两类平几问题。一、共端点的等线段问题，常作以公共端点为圆心，等长线段为半径的确圆，则易沟通题设和结论的联系，使问题迅速获解。例1 已知四边形ABCD中，AB/CD，AB=AC=AD=5，BC= ，求BD.解：以A为圆心、AB为半径画圆，则B、C、D三点在A上.延长BA交A 于E，连结DE.因BE是A的直径TEDB=900且BE=2AB=10. 例2 （上海1984年初中数学竞赛题）如图，AB=AC=AD，DAC是CAB的K倍，则DBC是BDC的（ ）倍. （A）K倍；（B）2K倍；（C）3K倍；（D）都不对.解：以A为圆心，AB为半径画圆，则B、C、D三点在A上.由圆周角定理可得 . 所以答案是（A）.例3 如图，AB=AC=AD=BC，AHCD，CPBC. 证明：以A为圆心AB为半径作A，则B、C、D都在A上，且 BDC=ACP.BDCACP. BC：AP=BD：AC. BC2 =APBD.二、共顶点的等角问题，常作以公共顶点为一个顶点的三角形的外接圆，从而使等角与辅助圆中有关角的性质建立起联系，从而使问题获得简捷的解决。 例4 ABC中，A的外角平分线交BC的延长线于D.证明：作ACD的外接圆交BA的延长线于F.连结FD，则DC=DF.ACB=DFB，B=B，ABC DBF例5 证明任何三角形三个内角的平分线的连乘积必小于三边的连乘积.证明：设a、b、c及ta、tb、tc为ABC的三条边及三条角平分线。作ABC的外接圆交A的平分线AD的延长线于E，连EC，则EACBAD同理 actb2,abta2.a2b2c2ta2tb2tc2,即abctatbtc. 例6 自ABC的顶点A引两条射线交BC于D、E，使BAD=CAE.（上海市1986年初中数学竞赛题）证明：作ADE的外接圆交AB于F，交AC于H，连FH、则FHBC.显然，当E重合于D时，有这就是三角形内角平分线性质定理；当BD=CE时,有BE=CD，从而有这就是1986年全国初中数学竞赛题例7 在ABC中，C=3A，a=27,c=48,求b（第36届美国中学生数学竞赛题）。 解：作ACD=BCE=BAC交ABC的外接圆于D、E，连AD、DE、EB、DB，则AD=DE=EB=BC=27，DC=AB=4
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