习题2.3

限时必刷18 圆锥曲线综合应用一、单选题1已知抛物线的焦点到双曲线E：的渐近线的距离不大于，则双曲线E的离心率的取值范围是()A(1， B(1,2 C，) D2，)2在正四面体中， 是内（含边界）一动点，且点到三个侧面、的距离成等差数列，若线段，则点的轨迹是（ ）A双曲线的一部分B圆的一部分C一条线段D抛物线的一部分3如果把一个平面区域内两点间的距离的最大值称为此区域的直径，那么曲线围成的平面区域的直径为( )ABCD4黄金分割起源于公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了这一问题，公元前300年前后欧几里得撰写几何原本时吸收了欧多克索斯的研究成果，进一步系统论述了黄金分割，成为最早的有关黄金分割的论著.黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为，把称为黄金分割数. 已知双曲线的实轴长与焦距的比值恰好是黄金分割数，则的值为（ ）ABCD5已知点在圆上，点在抛物线上，则的最小值为（ ）A1B2C3D46若点O和F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最小值为（ ）AB0C1D二、填空题7如图，分别是椭圆的左、右顶点，圆的半径为2，过点作圆的切线，切点为，在轴的上方交椭圆于点，则_8以下五个关于圆锥曲线的命题中：平面内与定点A（-3，0）和B（3，0）的距离之差等于4的点的轨迹为；点P是抛物线上的动点，点P在y轴上的射影是M点A的坐标是A（3，6），则的最小值是6；平面内到两定点距离之比等于常数的点的轨迹是圆；若过点C（1，1）的直线交椭圆于不同的两点A，B，且C是AB的中点，则直线的方程是已知P为抛物线上一个动点，Q为圆上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是.其中真命题的序号是_（写出所有真命题的序号）三、解答题9过点作直线与双曲线交于，为弦的中点.(1)求所在直线的方程； (2)求的长.10已知抛物线上一点到其焦点下的距离为10.（1）求抛物线C的方程；（2）设过焦点F的的直线与抛物线C交于两点，且抛物线在两点处的切线分别交x轴于两点，求的取值范围.11已知椭圆：的离心率为，且椭圆上一点的坐标为.（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆交于，两点，且以线段为直径的圆过椭圆的右顶点，求面积的最大值.参考答案1B【解析】抛物线y28x的焦点为(2,0)，双曲线的一条渐近线方程为bxay0，由题知，化简得b23a2，又c2a2b2，c24a2，e2，又e1，故双曲线E的离心率的取值范围是选B2C【解析】设点到三个侧面、的距离依次为、，正四面体各个面的面积为，体积为，面PBC上的高为，由等体积法可得：，所以；因此，点应该在过的中心且平行于的线段上.故选C3B【解析】等价于，如图：由图形可知，上下两个顶点之间的距离最大：4，那么曲线|y|2x2围成的平面区域的直径为：4故选：B4A【解析】由题意得，在双曲线中，双曲线的实轴长与焦距的比值为黄金分割数，解得故选A5A【解析】由题得圆的圆心为（2,0），半径为1.设抛物线的焦点为F(2,0),刚好是圆的圆心，由题得|AB|BF|-|AF|=|BF|-1,设点B的坐标为(x,y),所以|AB|x-(-2)-1=x+1,因为x0，所以|AB|1，所以|AB|的最小值为1.故选：A6B【解析】易知，不妨设点P的坐标为，则：，结合二次函数的性质可知，当时，.故选：B.7【解析】连结，可得是边长为2的等边三角形，所以，可得直线的斜率，直线的斜率为，因此，直线的方程为，直线的方程为，设，由解得，因为圆与直线相切于点，所以，因此，故直线的斜率，因此直线的方程为，代入椭圆方程，消去得，解得或，因为直线交椭圆于与点，设，可得，由此可得.故答案为8【解析】由题意，中，平面内与定点和的距离之差等于4，根据双曲线的定义可得轨迹为双曲线的右支，且，即方程为，所以是错误的；中，点P是抛物线上的动点，点P在y轴上的射影为M点，且，由于点A在抛物线开口之外，抛物线的焦点F坐标为，则，由点A、P、F三点共线可得取得最小值，所以是正确的；中，平面内到两定点距离之比等于的点的轨迹不一定是圆，若，此时为两个定点的垂直平分线，所以是错误的；中，若过点的直线角椭圆于不同的两点A、B，且C是AB的中点，可得C在椭圆的内部，设，可得，两式相减可得，由于，所以，则直线的方程为，所以是正确的；已知P为抛物线上一动点，Q为圆上的一个动点，由抛物线的定义可得P到准线的距离即为P到焦点的距离，又由的最小值即为到圆心的距离减半径1，即有最小值为，则点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线的距离之和的最小值为，所以是正确的，所以正确命题的序号为.9解: 设，两式相减得，.所以直线的方程为即.（2）联立直线和双曲线的方程消去y得.所以|AB|=.10解：（）已知到焦点的距离为10，则点到准线的距离为10.抛物线的准线为，解得，抛物线的方程为.（）由已知可判断直线的斜率存在，设斜率为，因为，则：.设，由消去得，.由于抛物线也是函数的图象，且，则：.令，解得，从而.同理可得， .，的取值范围为.11解：（1）由已知，又，则