高考数学总复习 第八章第7课时 抛物线课件.ppt

第7课时抛物线 第八章平面解析几何 基础梳理1 定义平面内与一定点f和一条定直线l 不经过f 的距离 的点的轨迹叫做抛物线 相等 即 点f叫做抛物线的 直线l叫做抛物线的 焦点 准线 思考探究当定点在定直线l上时 动点的轨迹是什么图形 提示 是一条直线 过定点与l垂直的直线 2 抛物线的标准方程 类型及几何性质 x轴 o 0 0 e 1 向右 向上 课前热身1 经过点 2 4 的抛物线的标准方程是 答案 y2 8x或x2 y 2 2012 盐城质检 抛物线y 2x2的焦点坐标为 3 抛物线y2 8x的焦点到准线的距离是 答案 4 4 2011 高考辽宁卷改编 已知f是抛物线y2 x的焦点 a b是该抛物线上的两点 af bf 3 则线段ab的中点到y轴的距离为 考点1抛物线的定义及标准方程的求法 1 设斜率为2的直线l过抛物线y2 ax a 0 的焦点f 且和y轴交于点a 若 oaf o为坐标原点 的面积为4 则抛物线方程为 2 若点p到点f 0 2 的距离比它到直线y 4 0的距离小2则点p的轨迹方程为 2 由题意知p到f 0 2 的距离比它到y 4 0的距离小2 因此p到f 0 2 的距离与到直线y 2 0的距离相等 故p的轨迹是以f为焦点 y 2为准线的抛物线 所以p的轨迹方程为x2 8y 答案 1 y2 8x 2 x2 8y 名师点评 求抛物线的标准方程常采用待定系数法或轨迹法 利用题中已知条件确定抛物线的焦点到准线的距离p的值 解 法一 设动圆半径为r 动圆圆心o x y 因动圆与圆 x 2 2 y2 1外切 则o 到 2 0 的距离为r 1 动圆与直线x 1 0相切 o 到直线x 1 0的距离为r 所以o 到 2 0 的距离与到直线x 2的距离相等 故o 的轨迹是以 2 0 为焦点 直线x 2为准线的抛物线 方程为y2 8x 变式训练1 已知抛物线c的顶点为坐标原点 焦点在x轴上 直线y x与抛物线c交于a b两点 若p 2 2 为ab的中点 则抛物线c的方程为 答案 y2 4x 考点2抛物线的几何性质设抛物线y2 2px p 0 的焦点为f 经过点f的直线交抛物线于a b两点 点c在抛物线的准线上 且bc x轴 证明直线ac经过原点o 法二 如图 记准线l与x轴的交点为e 过a作ad l 垂足为d 则ad ef bc 连结ac交ef于点n 名师点评 证直线ac经过原点o 即证o a c三点共线 为此只需证koc koa 本题也可结合图形特点 由抛物线的几何性质和平面几何知识去解决 2 如图 抛物线关于x轴对称 它的顶点是坐标原点 点p 1 2 a x1 y1 b x2 y2 均在抛物线上 1 写出该抛物线的方程及其准线方程 2 当pa与pb的斜率存在且倾斜角互补时 求y1 y2的值及直线ab的斜率 解 1 由已知条件可设抛物线的方程为y2 2px p 0 点p 1 2 在抛物线上 22 2p 1 得p 2 故所求抛物线的方程为y2 4x 准线方程是x 1 考点3直线和抛物线的位置关系 2011 高考福建卷 如图 直线l y x b与抛物线c x2 4y相切于点a 1 求实数b的值 2 求以点a为圆心 且与抛物线c的准线相切的圆的方程 2 由 1 可知b 1 故方程 即为x2 4x 4 0 解得x 2 将其代入x2 4y 得y 1 故点a 2 1 因为圆a与抛物线c的准线相切 所以圆a的半径r等于圆心a到抛物线的准线y 1的距离 即r 1 1 2 所以圆a的方程为 x 2 2 y 1 2 4 变式训练3 直线l y kx 1 抛物线c y2 4x 当k为何值时 直线l与抛物线c有一个公共点 两个公共点 没有公共点 直线l与抛物线c有两个公共点 此时称直线l与抛物线c相交 当 0 即k 1时 直线l与抛物线c有一个公共点 此时称直线l与抛物线c相切 当 1时 直线l与抛物线c没有公共点 此时称直线l与抛物线c相离 综上所述 可知当k 1或k 0时 直线l和抛物线c有一个公共点 当k1时 直线l和抛物线c没有公共点 方法技巧1 重视定义在解题中的应用 灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的相互转化 注意确定四种标准方程的条件 明确抛物线的焦距 通径与抛物线标准方程中系数的关系 2 复习中应紧抓抛物线的定义 标准方程及几何性质 1 顶点在原点 对称轴为坐标轴的抛物线 可设为y2 2ax或x2 2ay a 0 此时a不具有p的几何意义 2 抛物线的离心率e 1 体现了抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离 因此 涉及抛物线的焦半径 焦点弦问题 可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线之间的距离 这样就可以使问题简单化 3 求抛物线标准方程常用的方法是待定系数法或轨迹法 为避免开口不确定而分成y2 2px p 0 或y2 2px p 0 两种情况求解的麻烦 可以设成y2 mx或x2 ny m 0 n 0 若m 0 开口向右 若m 0 开口向左 m有两解 则抛物线的标准方程有两个 3 直线与抛物线的位置关系设抛物线方程为y2 2px p 0 直线ax by c 0 将直线方程与抛物线方程联立 消去x得到关于y的方程my2 ny q 0 1 若m 0 当 0时 直线与抛物线有两个公共点 当 0时 直线与抛物线只有一个公共点 当 0时 直线与抛物线没有公共点 2 若m 0 直线与抛物线只有一个公共点 此时直线与抛物线的对称轴平行 失误防范1 抛物线的标准方程易与二次函数的解析式混淆 如抛物线y2 ax 二次函数y ax2 2 直线与抛物线只有一个交点时 对于直线与抛物线的对称轴平行这一情况易遗忘 命题预测江苏考纲对抛物线有关知识在公共题部分界定为a级 在附加题部分界定为b级 因此预测在2013年江苏高考在本部分主要以填空题为主 考查形式主要有两种 一种是求抛物线的方程 另一种是研究抛物线的性质 难度不会太大 但以抛物线为载体研究向量 直线 圆等相关性质的命题趋势也给予关注 规范解答 本题满分16分 在平面直角坐标系xoy中 抛物线c的顶点在原点 经过点a 2 2 其焦点f在x轴上 1 求抛物线c的标准方程 2 求过点f 且与直线oa垂直的直线的方程 3 设过点m m 0 m 0 的直线交抛物线c于d e两点 me 2dm 设d和e两点间的距离为f m 求f m 关于m的表达式 解 1 由题意 可设抛物线c的标准方程为y2 2px p 0 因为点a 2 2 在抛物线c上 所以p 1 因此 抛物线c的标准方程为y2 2x 4分 得分技巧 本题前2小题难度较小 第3小题思路也较清晰但对运算能力要求较