高考数学总复习 （教材回扣夯实双基+考点突破+瞭望高考）第九章第8课时 离散型随机变量的均值与方差、正态分布课件.ppt

第8课时离散型随机变量的均值与方差 正态分布 基础梳理1 均值 1 若离散型随机变量x的分布列为 则称ex 为随机变量x的均值或数学期望 它反映了离散型随机变量取值的 x1p1 x2p2 xipi xnpn 平均水平 2 若y ax b 其中a b为常数 则y也是随机变量 且e ax b 3 若x服从两点分布 则ex 若x b n p 则ex aex b p np 2 方差 1 设离散型随机变量x的分布列为 x 2 d ax b 3 若x服从两点分布 则dx 4 若x b n p 则dx a2dx p 1 p np 1 p 思考探究1 随机变量的均值 方差与样本均值 方差的关系是怎样的 提示 随机变量的均值 方差是一个常数 样本均值 方差是一个随机变量 随观测次数的增加或样本容量的增加 样本的均值 方差趋于随机变量的均值与方差 3 正态曲线的特点 1 曲线位于x轴 与x轴 2 曲线是单峰的 它关于直线 对称 上方 不相交 x 4 曲线与x轴之间的面积为 1 5 当 一定时 曲线随着 的变化而沿x轴平移 6 当 一定时 曲线的形状由 确定 曲线越 瘦高 表示总体的分布越 曲线越 矮胖 表示总体的分布越 越小 集中 越大 分散 思考探究2 参数 在正态分布中的实际意义是什么 提示 是正态分布的期望 是正态分布的标准差 课前热身 1 若随机变量x的分布列如下 则x的数学期望是 a pb qc 1d pq答案 b 2 2012 厦门调研 正态总体n 0 1 在区间 2 1 和 1 2 上取值的概率为p1 p2 则 a p1 p2b p1 p2c p1 p2d 不确定答案 c 3 一名射手每次射击中靶的概率为0 8 则独立射击3次中靶的次数x的期望值是 a 0 83b 0 8c 2 4d 3答案 c 4 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分 没有命中得0分 已知某运动员罚球命中的概率为0 7 则他罚球2次 每次罚球结果互不影响 的得分的数学期望是 答案 1 4 5 2012 漳州质检 有一批产品 其中有12件正品和4件次品 有放回地任取3次 每次1件 若x表示取到次品的次数 则d x 求离散型随机变量x的均值与方差的方法步骤 1 理解x的意义 写出x可能取的全部值 3 写出x的分布列 4 由均值的定义求e x 5 由方差的定义求d x 1 求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率 2 求p q的值 3 求数学期望e 名师点评 离散型随机变量的分布列 均值 方差是三个紧密相连的有机统一体 一般在试题中综合在一起进行考查 其解题的关键是求出分布列 然后直接套用公式即可 在解题过程中注意利用等可能性事件 互斥事件 相互独立事件或独立重复试验的概率公式计算概率 1 相互独立事件是指两个试验中 两事件发生的概率互不影响 互斥事件是指同一次试验中 两个事件不会同时发生 2 求用 至少 表述的事件的概率时 先求其对立事件的概率往往比较简便 记乙项目产品价格在一年内的下降次数为x 对乙项目每投资十万元 x取0 1 2时 一年后相应利润是1 3万元 1 25万元 0 2万元 随机变量x1 x2分别表示对甲 乙两项目各投资十万元一年后所获的利润 1 求x1 x2的分布列和均值ex1 ex2 2 当ex1 ex2时 求p的取值范围 思路分析 1 求分布列 应先确定x2的取值 再求x2的取值对应的概率 2 由ex1 ex2 找出关于p的不等式 即可求出p的范围 解 1 x1的分布列为 由题设得x b 2 p 即x的概率分布列为 故x2的概率分布列为 所以ex2 1 3 1 p 2 1 25 2p 1 p 0 2 p2 1 3 1 2p p2 2 5 p p2 0 2 p2 p2 0 1p 1 3 2 由ex11 18 整理得 p 0 4 p 0 3 0 解得 0 4 p 0 3 因为0 p 1 所以当ex1 ex2时 p的取值范围是0 p 0 3 误区警示 在求解x2的分布列时 往往因求不出x2的各个取值的概率而解不出本题 出现这种现象的原因是 没有搞清x取0 1 2的概率就是x2取1 3万元 1 25万元 0 2万元的概率 变式训练1 某投资公司在2012年年初准备将1000万元投资到 低碳 项目上 现有两个项目供选择 1 针对以上两个投资项目 请你为投资公司选择一个合理的项目 并说明理由 2 若市场预期不变 该投资公司按照你选择的项目长期投资 每一年的利润和本金继续用作投资 问大约在哪一年的年底总资产 利润 本金 可以翻一番 lg2 0 3010 lg3 0 4771 解 1 若按 项目一 投资 设获利 1万元 若按 项目二 投资 设获利 2万元 则 1 2的分布列分别为 这说明虽然项目一 项目二获利相等 但项目一更稳妥 综上所述 建议该投资公司选择项目一投资 关于正态总体在某个区间内取值的概率求法 1 熟记p x p 2 x 2 p 3 x 3 的值 2 充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1 设x n 5 1 求p 6 x 7 思路分析 利用正态分布的对称性 p 6 x 7 p 3 x 4 解 由已知 5 1 p 4 x 6 0 6826 p 3 x 7 0 9544 p 3 x 4 p 6 x 7 0 9544 0 6826 0 2718 名师点评 在利用对称性转化区间时 要注意正态曲线的对称轴是x 而不是x 0 0 互动探究2 若其他条件不变 则p x 7 及p 5 x 6 应如何求解 解 由 1 5 p 3 x 7 p 5 2 1 x 5 2 1 0 9544 方法技巧 1 释疑离散型随机变量的均值 1 均值是算术平均值概念的推广 是概率意义下的平均 2 ex是一个实数 由x的分布列唯一确定 它描述x取值的平均状态 3 教材中给出的e ax b aex b 说明随机变量x的线性函数y ax b的均值等于随机变量x均值的线性函数 2 dx与ex一样 也是一个实数 由x的分布列唯一确定 失误防范1 对于应用问题 必须对实际问题进行具体分析 一般要先将问题中的随机变量设出来 再进行分析 求出随机变量的概率分布 然后按定义计算出随机变量的期望 方差或标准差 2 在实际问题中进行概率 百分比计算时 关键是把正态分布的两个重要参数 求出 然后确定三个区间 范围 2 2 3 3 与已知概率值进行联系求解 命题预测从近几年的高考试题来看 离散型随机变量的均值与方差是高考的热点 题型为填空题或解答题 属中档题 常与排列 组合 概率等知识综合命题 既考查基本概念 又注重考查基本运算能力和逻辑推理 理解能力 而正态分布在近两年高考中 有些省份进行了考查 其难度较低 预测2013年福建高考 离散型随机变量的均值与方差仍然是高考的热点 同时应特别注意均值与方差的实际应用 规范解答 本题满分13分 2011 高考福建卷 某产品按行业生产标准分成8个等级 等级系数x依次为1 2 8 其中x 5为标准a x 3为标准b 已知甲厂执行标准a生产该产品 产品的零售价为6元 件 乙厂执行标准b生产该产品 产品的零售价为4元 件 假定甲 乙两厂的产品都符合相应的执行标准 1 已知甲厂产品的等级系数x1的概率分布列如下所示 且x1的数学期望ex1 6 求a b的值 2 为分析乙厂产品的等级系数x2 从该厂生产的产品中随机抽取30件 相应的等级系数组成一个样本 数据如下 353385563463475348538343447567 用这个样本的频率分布估计总体分布 将频率视为概率 求等级系数x2的数学期望 3 在 1 2 的条件下 若以 性价比 为判断标准 则哪个工厂的产品更具可购买性 说明理由 性价比 大的产品更具可购买性 解 1 因为ex1 6 所以5 0 4 6a 7b 8 0 1 6 即6a 7b 3 2 又由x1的概率分布列得0 4 a b 0 1 1 即a b 0 5 2 由已知得