高中数学 2.8函数的图像配套课件 北师大版.ppt

第八节函数的图像 三年10考高考指数 1 在实际情境中 会根据不同的需要选择图像法 列表法 解析法表示函数 2 会运用函数图像分析函数的性质 解决方程解的个数与不等式的解的问题 3 会用数形结合思想 转化与化归思想解决数学问题 化归思想解决数学问题 1 知式选图 作图与知图选式是高考的热点 2 利用数形结合思想 借助相应函数的图像研究函数的性质 单调性 奇偶性 最值 值域 交点 零点 方程与不等式的解等问题是命题的重点 也是求解的难点 3 题型以选择题 填空题为主 属中 高档题目 1 六种基本初等函数的图像 a 0 a 0 k 0 k 0 a 1 0 a 1 1 1 a 1 0 a 1 y x 1 1 y x2 即时应用 1 下列四个图像是函数y log2x的图像的序号是 2 在同一平面直角坐标系中 函数f x ax与g x ax的图像可能是下列四个图像中的 3 二次函数y ax2 bx c的图像如图所示 则点p a 所在的象限为 解析 1 为指数函数图像 为对数函数图像 中底数大于1 中底数大于0小于1 题中对数函数底数大于1 故 正确 2 由g x ax结合图像知a 0且a 1 故f x ax图像为过原点且上升的直线 故 不正确 再结合 分析01 知 正确 3 由图像知 图像的对称轴又抛物线的开口向下 a0 由f 0 c知 抛物线与y轴的交点为 0 c c 0 0 故点p a 在第二象限 答案 1 2 3 第二象限 2 函数图像间的变换 1 平移变换 2 对称变换 y f x y y f x y y f x y y ax a 0且a 1 y f x f x f x logax a 0且a 1 3 翻折变换 y f x y y f x y 4 伸缩变换 y f x y y f x y f x f x f ax af x a 1 横向缩短为原来的倍0 a 1 横向伸长为原来的倍 即时应用 1 函数y 2x与y 2 x的图像关于 对称 2 若f a x f b x x r恒成立 则函数y f x 的图像本身关于直线 对称 3 若方程 ax x a a 0 有两个解 则a的取值范围为 解析 1 令f x 2x 则 2 x f x y 2x与y 2 x的图像关于原点对称 2 由已知可得 关于直线对称 3 在同一坐标系中分别作出当01时 y ax a x a 0 与y x a a 0 的图像 如图所示 由图像得出a 1时符合要求 答案 1 原点 2 3 1 作函数的图像 方法点睛 作函数图像的方法 1 直接法 当函数表达式 或变形后的表达式 是熟悉的基本函数或解析几何中熟悉的曲线的局部 如圆 椭圆 双曲线 抛物线的一部分 时 就可根据这些函数的奇偶性 周期性 对称性或曲线的特征直接作出 2 图像变换法 若函数图像可由某个基本函数的图像经过平移 翻折 对称和伸缩得到 可利用图像变换作出 但要注意变换顺序 对不能直接找到熟悉函数的要先变形 并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响 3 描点法 当函数的表达式不适合用以上两种方法时 则可采用描点法 其一般步骤为 第一步 确定函数的定义域以限制图像的范围 第二步 化简函数解析式 第三步 讨论函数的性质 奇偶性 单调性 周期性 对称性等 第四步 列表 尤其注意特殊点 如 零点 最高点 最低点及与坐标轴的交点 第五步 描点 连线 提醒 当函数解析式是高次 分式 指数 对数及三角函数式等较复杂的结构时 常借助于导数探究图像的变化趋势 以此来画出图像的大致形状 例1 作出下列函数的图像 1 y elnx 2 y log2 x 1 3 y a x 0 a 1 解题指南 对于 1 先求定义域 化简解析式 用直接法画图像 对于 2 3 和 4 可通过图像变换画出图像 对于 5 可借助于导数用描点法作出其大致图像 规范解答 1 函数的定义域为 x x 0 y elnx x x 0 其图像如图 1 o 1 2 将函数y log2x的图像向左平移一个单位 再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去 即可得到函数y log2 x 1 的图像 如图 2 2 3 方法一 所以只需作出函数y ax 0 a 1 中x 0的图像和y x 0 a 1 中x 0的图像 合起来即得函数y a x 的图像 如图 3 方法二 作出y ax 0 a 1 的图像 去掉y轴左边图像 保留y轴右边图像 并作关于y轴对称的图像 即得y a x 的图像 如图 3 4 故函数图像可由y 图像向右平移1个单位 再向上平移2个单位而得 如图 4 4 5 y x2 3x y x2 2x 3 令y 0 得x1 1 x2 3 令y 0 得单调增区间为 1 和 3 令y 0 得单调减区间为 1 3 所以函数在x1 1 x2 3处取得极值分别为和 9 由此可得其图像大致如图 5 反思 感悟 要准确作出函数的大致图像 需做到 1 熟练掌握六种基本初等函数的图像 2 掌握平移变换 对称变换 翻折变换 伸缩变换以及导数法等常用的方法技巧 变式训练 分别画出下列函数的图像 1 y lgx 2 y 2x 2 3 y 4 y x2 2 x 1 解析 1 y lgx 函数y lgx 的图像 如图 1 2 将函数y 2x的图像向左平移2个单位即可得到函数y 2x 2的图像 如图 2 3 可见原函数图像可由图像向左平移3个单位再向上平移1个单位而得 如图 3 4 且函数为偶函数 先用描点法作出 0 上的图像 再根据对称性作出 0 上的图像 得图像如图 4 识图与辨图 方法点睛 1 知图选式的方法 1 从图像的左右 上下分布 观察函数的定义域 值域 2 从图像的变化趋势 观察函数的单调性 3 从图像的对称性方面 观察函数的奇偶性 4 从图像的循环往复 观察函数的周期性 利用上述方法 排除 筛选错误与正确的式子 2 知式选图的方法 1 从函数的定义域 判断图像左右的位置 从函数的值域 判断图像上下的位置 2 从函数的单调性 有时可借助导数判断 判断图像的变化趋势 3 从函数的奇偶性 判断图像的对称性 4 从函数的周期性 判断图像的循环往复 5 从函数的极值点判断函数图像的升降变化的转折点 利用上述方法 排除 筛选错误与正确的图像 例2 1 2012 汉中模拟 函数y x cosx的大致图像是 2 2012 合肥模拟 定义在r上的偶函数f x 的部分图像如图所示 则在 2 0 上 下列函数中与f x 的单调性不同的是 a y x2 1 b y x 1 解题指南 1 对函数求导 利用排除法求解 2 由f x 的奇偶性作出其在 2 0 上的图像 再由图像判断其单调性 然后逐个验证选项中的函数在 2 0 上的单调性 确定是否与f x 在 2 0 上的单调性不同 从而作出判断 规范解答 1 选b 由y x cosx 得y 1 sinx 0恒成立 即函数y x cosx单调递增 从而排除c选项 又x 0时 y 1 x 时 y 即图像应过 0 1 和 点 再排除a d 故选b 2 选c 由奇偶性知函数f x 在 2 0 上的图像如图所示 则知f x 在 2 0 上为单调减函数 而y x2 1 y x 1和作出其图像知在 2 0 上均为减函数 又y x3 1 x0 故y x3 1在 2 0 上为增函数 与f x 的单调性不同 故选c 反思 感悟 识图与辨图是一个比较综合的问题 解答该类问题的关键是要充分从解析式与图像中发现有价值的信息 最终使二者相吻合 变式训练 1 设ab时 y 0 当x b时 y 0 故选c 2 函数y f x 与y g x 的图像如图 则函数y f x g x 的图像可能是 解析 选a 方法一 函数y f x g x 的定义域是函数y f x 与y g x 的定义域的交集 0 0 图像不经过坐标原点 故可以排除c d 由于当x为很小的正数时f x 0且g x 0 故f x g x 0 故选a 方法二 由函数f x g x 的图像可知 f x g x 分别是偶函数 奇函数 则f x g x 是奇函数 可排除b 又 函数y f x g x 的定义域是函数y f x 与y g x 的定义域的交集 0 0 图像不经过坐标原点 可以排除c d 故选a 函数图像的应用 方法点睛 1 利用函数的图像研究函数的性质对于已知或易画出其在给定区间上图像的函数 其性质 单调性 奇偶性 周期性 最值 值域 零点 常借助于图像数形结合研究 但一定要注意性质与图像特征的对应关系 2 利用函数的图像研究方程根的个数当方程与基本函数有关时 可以通过函数图像来研究方程的根 方程f x 0的根就是函数f x 图像与x轴的交点的横坐标 方程f x g x 的根就是函数f x 与g x 图像的交点的横坐标 3 利用函数的图像研究不等式当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时 常将不等式问题转化为两函数图像的上 下关系问题 从而利用数形结合求解 例3 已知函数f x x m x x r 且f 4 0 1 求实数m的值 2 作出函数f x 的图像并判断其零点的个数 3 根据图像指出f x 的单调递减区间 4 根据图像写出不等式f x 0的解集 5 求集合m m 使方程f x m有三个不相等的实根 解题指南 求解本题先由f 4 0 求得函数解析式 再根据解析式结构选择适当的方法作出函数的图像 进而应用图像求解 3 4 5 规范解答 1 f 4 0 4 m 4 0 即m 4 2 f x x m x x 4 x 函数f x 的图像如图 由图像知f x 有两个零点 3 从图像上观察可知 f x 的单调递减区间为 2 4 4 从图像上观察可知 不等式f x 0的解集为 x 04 5 由图像可知若y f x 与y m的图像有三个不同的交点 则0 m 4 集合m m 0 m 4 互动探究 在本例条件下求f x 在 1 5 上的值域 解析 f 5 5 4 由图像知 函数在 1 5 上的值域为 0 5 反思 感悟 利用函数的图像能直观地解决函数的性质问题 方程根的个数问题 函数的零点个数问题及不等式的解集与恒成立问题 但其关键是作出准确的函数图像 数形结合求解 否则若图像出现失误 将会得到错误的结果 变式备选 1 已知函数f x 满足f x 2 f x 当x 1 1 时 f x x 则方程f x lgx的根的个数是 解析 构造函数g x lgx 在同一坐标系中画出f x 与g x 的图像 如图所示 易知有4个根 答案 4 2 使log2x 1 x成立的x的取值范围是 解析 构造函数f x log2x g x 1 x 在同一坐标系中作出两者的图像 如图所示 直接从图像中观察得到不等式成立时x 0 1 答案 0 1 易错误区 作图不准确或数与形不吻合致误 典例 2011 新课标全国卷 函数的图像与函数y 2sin x 2 x 4 的图像所有交点的横坐标之和等于 a 2 b 4 c 6 d 8 解题指南 在同一坐标系中画出函数和y 2sin x 2 x 4 的图像 然后根据图像探究交点横坐标之间满足的关系 从而求解 规范解答 选d 由题意知的图像是双曲线 且关于点 1 0 成中心对称 又y 2sin x的周期为且也关于点 1 0 成中心对称 因此两图像的交点也一定关于点 1 0 成中心对称 再结合图像 如图所示 可知两图像在 2 4 上有8个交点 因此8个交点的横坐标之和x1 x2 x8 4 2 8 阅卷人点拨 通过对试卷及高考中的阅卷数据分析 我们可以得到以下误区警示和备考建议 1 2012 长安模拟 函数的图像大致是 解析 选d 函数的定义域为 x x 0 且 f x 为奇函数 故排除a b 又由得x 1 故排除c 所以选d 2 2012 北京模拟 已知二次函数f x ax2 bx c a 0 的图像如图所示 设m a b c a b c 2a b 2a b 则 a m 0 b m 0 c m 0 d m 0 解析 选c 由图像知 m a b c a b c 2a b 2a b 2 a b c 0 故选c 3 2011 天津高考 对实数a和b 定义运算 ab 设函数f x x2 2 x x2