23课题： 正弦定理和余弦定理的应用.doc

2015-2016溆浦一中高三数学（文）一轮复习导学案 主备人：邹伟 备课日期：2015/9/13课题： 正弦定理和余弦定理的应用一、考点梳理：1仰角和俯角： 在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角(如图(a)2方位角: 从某点的指北方向线起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角 叫做方位角如B点的方位角为(如图(b)3方向角: 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)度二、基础自测：1已知A，B两地之间的距离为10 m，B，C两地之间的距离为20 m，现测得ABC120， 则A，C两地之间的距离是_2.若点A在点C的北偏东30，点B在点C的南偏东60，且ACBC，则点A在点B的()A北偏东15B北偏西15 C北偏东10 D北偏西103.如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，选定一点C，测出AC的距离为50 m，ACB45， CAB105，则A，B两点的距离为()A50 m B50 m C25 m D. m三、考点突破：考点一、测量距离问题【例1】 1.如图，若测得CD km，ADBCDB30，ACD60，ACB45，求A，B两点间的距离 类题通法 求距离问题的注意事项(1)选定或确定要求解的三角形，即所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理考点二、测量高度问题【例2】2014新课标全国卷 如图所示，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点从A点测得M点的仰角MAN60，C点的仰角CAB45，以及MAC75，从C点测得MCA60.已知山高BC100 m，则山高MN_m. 类题通法求解高度问题的注意事项(1)在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角；(2)准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图；(3)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用考点三、测量角度问题【例3】在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45方向，相距12 n mile的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile的速度沿南偏东75方向前进，若红方侦察艇以每小时14 n mile的速度，沿北偏东45方向拦截蓝方的小艇若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角的正弦值 类题通法解决测量角度问题的注意事项(1)明确方位角的含义；(2)分析题意分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要的一步；(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的“联袂”使用四、当堂检测1一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65，那么B，C两点间的距离是()A10海里B10海里 C20海里 D20海里2江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45和60，而且两条船与炮台底部连线成30角，则两条船相距_m.3.如图所示，处于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救信息中心立即把消息告知在其南偏西30，相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东的方向沿直线CB前往B处救援，求cos 的值五、课后巩固：1.如图所示，要测量一水塘两侧A，B两点间的距离，测得CA400 m，CB600 m，ACB60，则AB的长 2.两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40，灯塔B在观察站南偏东60，则灯塔A在灯塔B的()A北偏东10 B北偏西10 C南偏东80 D南偏西803某人向正东方向走x km后，向右转150，然后朝新的方向走了3 km，结果他离出发点恰好为 km，则x()A. B2 C.或2 D34.如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60，再由点C沿北偏东15方向走10米到位置D，测得BDC45，则塔AB的高是_5【2015湖北】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，求此山的高度CD 。6要测量电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45，在D点测得塔顶A的仰角是30，并测得水平面上的BCD120，CD40 m，求电视塔的高度7.在海岸A处，发现北偏东45方向，距离A处(1)海里的B处有一艘走私船；在A处北偏西75方向，距离A处2海里的C处的缉私船奉命以10海里/小时的速度追截走私船同时，走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？最少要花多少时间？课题： 正弦定理和余弦定理的应用一、考点梳理：1仰角和俯角： 在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角(如图(a)2方位角: 从某点的指北方向线起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角 叫做方位角如B点的方位角为(如图(b)3方向角: 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)度二、基础自测：1.若点A在点C的北偏东30，点B在点C的南偏东60，且ACBC，则点A在点B的()A北偏东15B北偏西15 C北偏东10 D北偏西10解析：选B如图所示，ACB90，又ACBC，CBA45，而30，90453015.点A在点B的北偏西15.2.如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，选定一点C，测出AC的距离为50 m，ACB45，CAB105，则A，B两点的距离为()A50 m B50 m C25 m D. m解析：选A由正弦定理得AB50(m)三、考点突破：考点一、测量距离问题研究测量距离问题，解决此问题的方法是：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解.归纳起来常见的命题角度有：(1)两点都不可到达；(2)两点不相通的距离；(3)两点间可视但有一点不可到达.角度一两点都不可到达【例1】 角度一两点都不可到达1.如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，测出AB的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D，测得CDa，同时在C，D两点分别测得BCA，ACD，CDB，BDA.在ADC和BDC中，由正弦定理分别计算出AC和BC，再在ABC中，应用余弦定理计算出AB.若测得CD km，ADBCDB30，ACD60，ACB45，求A，B两点间的距离解：ADCADBCDB60，ACD60，DAC60，ACDC.在BCD中，DBC45，由正弦定理，得BCsinBDCsin 30.在ABC中，由余弦定理，得AB2AC2BC22ACBCcos 452.AB(km)A，B两点间的距离为 km.角度二两点不相通的距离2.如图所示，要测量一水塘两侧A，B两点间的距离，其方法先选定适当的位置C，用经纬仪测出角，再分别测出AC，BC的长b，a，则可求出A，B两点间的距离即AB.若测得CA400 m，CB600 m，ACB60，试计算AB的长解：在ABC中，由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcos ACB，AB2400260022400600cos 60280 000.AB200 m.即A，B两点间的距离为200 m.角度三两点间可视但有一点不可到达3.如图所示，A，B两点在一条河的两岸，测量者在A的同侧，且B点不可到达，要测出AB的距离，其方法在A所在的岸边选定一点C，可以测出AC的距离m，再借助仪器，测出ACB，CAB，在ABC中，运用正弦定理就可以求出AB.若测出AC60 m，BAC75，BCA45，则A，B两点间的距离为_解析：ABC180754560，所以由正弦定理得，AB20(m)即A，B两点间的距离为20 m.答案：20 m类题通法 求距离问题的注意事项(1)选定或确定要求解的三角形，即所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理考点二、测量高度问题【例2】某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：A，B，C三地位于同一水平面上，在C处进行该仪器的垂直弹射，观测点A，B两地相距100米，BAC60，在A地听到弹射声音的时间比B地晚秒在A地测得该仪器至最高点H时的仰角为30，求该仪器的垂直弹射高度CH.(声音在空气中的传播速度为340米/秒)解由题意，设ACx，则BCx340x40，在ABC中，由余弦定理得BC2AB2AC22ABACcos BAC，即(x40)210 000x2100x，解得x420.在ACH中，AC420，CAH30，ACH90，所以CHACtan CAH140(米)故该仪器的垂直弹射高度CH为140米类题通法求解高度问题的注意事项(1)在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角；(2)准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图；(3)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用针对训练要测量电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45，在D点测得塔顶A的仰角是30，并测得水平面上的BCD120，CD40 m，求电视塔的高度解：如图，设电视塔AB高为x m，则在RtABC中，由ACB45得BCx.在RtADB中，ADB30，则BDx.在BDC中，由余弦定理得，BD2BC2CD22BCCDcos 120，即(x)2x24022x40cos 120，解得x40，所以电视塔高为40米考点三、测量角度问题【例3】在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45方向，相距12 n mile的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile的速度沿南偏东75方向前进，若红方侦察艇以每小时14 n mile的速度，沿北偏东45方向拦截蓝方的小艇若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角的正弦值解如图，设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇，则AC14x，BC10x，ABC120. 根据余弦定理得(14x)2122(10x)2240xcos 120，解得x2.故AC28，BC20.根据正弦定理得， 解得sin .所以红方侦察艇所需要的时间为2小时，角的正弦值为.类题通法解决测量角度问题的注意事项(1)明确方位角的含义；(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要的一步；(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的“联袂”使用针对训练如图所示，处于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救信息中心立即把消息告知在其南偏西30，相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东的方向沿直线CB前往B处救援，求cos 的值解：在ABC中，AB40，AC20，BAC120.由余弦定理得：BC2AB2AC22ABACcos 120402202240202 800，所以BC20.由正弦定理得：，故sinACBsinBAC.又ACB为锐角，所以cosACB.又ACB30，所以cos cos(ACB30)cosACBcos 30sinACBsin 30.四、当堂检测1一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65，那么B，C两点间的距离是()A10海里B10海里 C20海里 D20海里解析：选A如图所示，易知，在ABC中，AB20海里，CAB30，ACB45，根据正弦定理得，解得BC10(海里)2江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45和60，而且两条船与炮台底部连线成30角，则两条船相距_m.解析：如图，OMAOtan 4530(m)，ONAOtan 303010(m)，在MON中，由余弦定理得，MN 10(m)答案：103.如图，甲船以每小时30海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120方向的B2处，此时两船相距10海里问：乙船每小时航行多少海里？解：如图，连接A1B2，由已知A2B210，A1A23010，A1A2A2B2.又A1A2B218012060，A1A2B2是等边三角形，A1B2A1A210.由已知，A1B120，B1A1B21056045，在A1B2B1中，由余弦定理得B1BA1BA1B2A1B1A1B2cos 45202(10)222010200，B1B210.因此，乙船的速度为6030 (海里/时)五、课后巩固：1.两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40，灯塔B在观察站南偏东60，则灯塔A在灯塔B的()A北偏东10 B北偏西10 C南偏东80 D南偏西80解析：选D由条件及图可知，AB40，又BCD60，所以CBD30，所以DBA10，因此灯塔A在灯塔B南偏西80.2.如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m、50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为()A30B45 C60 D75解析：选B依题意可得AD20 (m)，AC30(m)，又CD50(m)，所以在ACD中，由余弦定理得cosCAD，又0CAD180，所以CAD45，所以从顶端A看建筑物CD的张角为45.3.在不等边三角形ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，其中a为最大边，如果sin2(BC)sin2Bsin2C，则角A的取值范围为(