高考数学 3.5 两角和与差的正弦、余弦和正切公式课件.ppt

第五节两角和与差的正弦 余弦和正切公式 知识梳理 1 必会知识教材回扣填一填 1 两角和与差的正弦 余弦 正切公式 c cos c cos s sin s sin cos cos sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin t tan k k z t tan k k z 2 二倍角的正弦 余弦 正切公式 s2 sin2 c2 cos2 t2 tan2 k 且 k k z 2sin cos cos2 sin2 2cos2 1 1 2sin2 2 必备结论教材提炼记一记 1 降幂公式 cos2 sin2 2 升幂公式 1 cos2 2cos2 1 cos2 2sin2 3 公式变形 tan tan tan 1 tan tan 3 必用技法核心总结看一看 1 常用方法 整体代入法 配凑法 2 数学思想 转化化归思想 3 记忆口诀 余余正正符号异 正余余正符号同 二倍角 数余弦 找联系 抓特点 牢记忆 用不难 小题快练 1 思考辨析静心思考判一判 1 两角和与差的正弦 余弦公式中的角 是任意的 2 存在实数 使等式sin sin sin 成立 3 公式tan 可以变形为tan tan tan 1 tan tan 且对任意角 都成立 4 存在实数 使tan2 2tan 解析 1 正确 对于任意的实数 两角和与差的正弦 余弦公式都成立 2 正确 如取 0 因为sin0 0 所以sin 0 sin sin sin0 3 错误 变形可以 但不是对任意角 都成立 k k z 4 正确 当 k k z 时 tan2 2tan 答案 1 2 3 4 2 教材改编链接教材练一练 1 必修4人教ap130例4t 1 改编 sin108 cos42 cos72 sin42 解析 原式 sin 180 72 cos42 cos72 sin42 sin72 cos42 cos72 sin42 sin 72 42 sin30 答案 2 必修4人教ap137a组t5改编 已知则cos 解析 因为答案 3 真题小试感悟考题试一试 1 2014 上海高考 函数y 1 2cos2 2x 的最小正周期是 解析 y 2cos2 2x 1 cos4x 所以函数的最小正周期t 答案 2 2014 新课标全国卷 函数f x sin x 2 2sin cos x 的最大值为 解析 因为f x sin x 2 2sin cos x sin x cos cos x sin 2sin cos x sin x cos cos x sin sinx 1 所以f x max 1 答案 1 考点1化简与计算 典例1 1 2015 合肥模拟 cos cos sin sin a sin 2 b sin c cos 2 d cos 2 计算tan25 tan35 tan25 tan35 3 的化简结果是 解题提示 1 逆用两角差的余弦公式化简 2 观察式子的特点 逆用两角和的正切公式计算 3 应用二倍角的正 余弦公式化简 规范解答 1 选d cos cos sin sin cos cos 2 因为tan 25 35 所以tan25 tan35 tan60 1 tan25 tan35 tan25 tan35 所以tan25 tan35 tan25 tan35 tan25 tan35 tan25 tan35 答案 3 原式 2 cos4 2 sin4 cos4 因为所以cos4 0 且sin4 cos4 所以原式 2cos4 2 sin4 cos4 2sin4 答案 2sin4 易错警示 解答本例 3 有三点容易出错 1 想不到应用二倍角公式 不能把根号下的式子化为完全平方式 2 把4 与4弧度混淆 导致开方出错 3 忽略讨论cos4的符号及sin4与cos4的大小而直接开方导致出错 互动探究 对于本例 2 试化简tan tan 60 tan tan 60 解析 因为tan 60 所以tan tan 60 tan60 1 tan tan 60 tan tan 60 故原式 tan tan 60 tan tan 60 规律方法 1 三角函数式化简的要求 1 能求出值的应求出值 2 尽量使函数种数最少 3 尽量使项数最少 4 尽量使分母不含三角函数 5 尽量使被开方数不含三角函数 2 特殊角的三角函数值的逆用当式子中出现这些特殊角的三角函数值时 往往就是 由值变角 的一种提示 可以根据问题的需要 将常用三角函数式表示出来 构成适合公式的形式 从而达到化简的目的 变式训练 1 化简sin cos cos sin 解析 原式 sin cos cos sin sin sin 答案 sin 2 2015 西宁模拟 计算 解析 tan 45 15 tan30 答案 加固训练 1 化简的结果是 a cos1b cos1c cos1d cos1 解析 选c 原式 2 化简 解析 答案 3 计算 解析 因为tan 20 40 所以tan20 tan40 1 tan20 tan40 所以原式 答案 考点2三角函数求值 典例2 1 2015 临沂模拟 计算的值为 2 计算 4sin40 tan40 3 2015 成都模拟 计算cos40 1 tan10 解题提示 1 利用诱导公式化大角为小角 然后逆用二倍角公式求值 2 切化弦 通分化简求值 3 切化弦 通分 注意逆用两角和与差的三角函数公式 规范解答 1 选a 原式 答案 1 一题多解 解答本例 2 你还有其他解法吗 解答本例 2 还可有如下解法 原式 4sin40 答案 规律方法 给角求值问题的三个变换技巧 1 变角 分析角之间的差异 巧用诱导公式把大角统一到小角上来 或把某一非特殊角拆分成一特殊角与另一非特殊角的和 2 变名 尽可能使得函数统一名称 常化弦为切 3 变式 观察结构 利用公式 整体化简 提醒 变式 时常用的方法有 常值代换 逆用变用公式 通分与约分 分解与组合 配方与平方 等 变式训练 2015 南宁模拟 计算 解析 答案 2 加固训练 1 2015 昆明模拟 计算 a 4b 2c 2d 4 解析 选d 2 2015 三明模拟 计算 解析 原式 答案 考点3三角函数的条件求值知 考情利用和 差公式及倍角公式在已知条件下的求值问题是高考的热点 常与平面向量的知识相结合 题型是三种类型都有 但近几年常以解答题的形式出现 明 角度命题角度1 与平面向量相结合的条件求值 典例3 2014 陕西高考改编 设0 向量a sin2 cos b 1 cos 若a b 0 则sin2 cos2 解题提示 先由向量的运算得到sin 与cos 的关系 再由此关系式确定方向 求sin2 cos2 的值 规范解答 因为a b 0 所以sin2 cos2 0 即2sin cos cos2 因为 0 所以2sin cos 即tan 所以sin2 cos2 答案 命题角度2 三角函数的给值求值 典例4 2014 江苏高考 已知 sin 1 求sin 的值 2 求cos 2 的值 解题提示 1 先由条件求cos 的值 再求sin 的值 2 由sin cos 的值 先求sin2 cos2 的值 再求cos 2 的值 规范解答 1 由题意cos 所以sin sincos cossin 命题角度3 和函数相结合的条件求值 典例5 2014 广东高考 已知函数f x asin x x r 且 1 求a的值 2 若f f 0 求f 解题提示 1 属于给角求值问题 把代入解析式求得a 2 利用两角和与差的正弦和诱导公式及同角三角函数的关系求解 解析 1 由 2 f f 悟 技法1 与向量有关的求值问题的解法三角函数的求值问题常与向量的坐标运算有关联 这类问题需要先用向量公式进行运算后 再用三角公式进行化简和求值 2 给值求值问题的解法已知条件下的求值问题常先化简需求值的式子 再观察已知条件与所求值的式子之间的联系 从三角函数名及角入手 最后将已知条件及其变形代入所求式子 化简求值 3 和三角函数相结合的条件求值的解法该类问题的解答常先根据条件确定解析式并化简函数解析式 然后把已知条件代入函数解析式化简并求相关的值 变形成要求的式子并代入前面所求的值计算 通 一类1 2013 江西高考改编 若则cos2 解析 因为所以cos cos2 2cos2 1 答案 2 2015 大同模拟 已知向量a 4 5cos b 3 4tan 若a b 且 0 则cos 2 解析 因为a b 所以a b 0 即12 20cos tan 0 所以12 20sin 0 即sin 因为 0 所以cos 所以sin2 2sin cos cos2 1 2sin2 所以cos 2 cos2 cos sin2 sin答案 3 2014 四川高考改编 已知函数f x sin 3x 若 是第二象限角 f cos cos2 求cos sin 的值 解析 由已知 有sin cos cos2 所以sin cos cos sin cos cos sin sin cos2 sin2 即sin cos cos sin 2 cos sin 当sin cos 0时 由 是第二象限角 知 2k k z 此时cos sin cos sin 当sin cos 0时 有 cos sin 2 由 是第二象限角 知cos sin 0 此时cos sin 综上 cos sin 或cos sin 自我纠错10条件求值问题 典例 2015 南京模拟 已知sin x x 2 则 解题过程 错解分析 分析上面解题过程 你知道错在哪里吗