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文档简介
第四章平面向量 数系的扩充与复数的引入第一节平面向量的概念及线性运算 1 向量的有关概念 1 定义 既有 又有 的量统称为向量 2 表示方法 用 来表示 有向线段的长度表示向量的 用箭头所指的方向表示向量的 用黑体小写字母如a b 来表示 3 模 向量的 叫作向量的模 记作 a b 或 大小 方向 有向线段 大小 方向 长度 2 特殊向量 0 任意的 单位1 平行 重合 任一向量 相同 相反 3 向量的加法与减法 三角形 平行四边形 b a a b c 三角形 4 向量的数乘与向量共线的判定定理和性质定理 1 向量的数乘 一般地 实数 与向量a的积 a是一个向量 其 长度 a 方向 当 0时 a的方向与a的方向 当 0时 a的方向与a的方向 当 0时 a 其方向是任意的 a 相同 相反 0 2 向量数乘的运算律 设 为实数 则 a a a b a a a a b 3 向量共线的判定定理和性质定理 向量共线的判定定理 a是一个非零向量 若存在一个实数 使得 则向量b与非零向量a共线 即 a 0 r a b 向量共线的性质定理 若向量b与非零向量a共线 则存在一个实数 使得 即a b a 0 b a b a b a b a r 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 向量与有向线段是一样的 因此可以用有向线段来表示向量 2 两向量不能比较大小 3 若向量a b共线 则向量a b的方向相同或相反 4 a b 与a b的方向无关 5 6 共线向量定理b a中 当a 0时 则实数 不唯一 解析 1 错误 向量是可以自由平移的 而有向线段是有端点的 端点不同 则有向线段不同 故向量与有向线段不同 但向量可用有向线段来表示 故不正确 2 正确 由于向量是具有大小和方向的量 因此无法比较大小 故正确 3 错误 当a b中有一个为0时 其方向是不确定的 故不正确 4 正确 a b 时 说明a b的模相等 与方向无关 故正确 5 正确 首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量 故正确 6 错误 当a 0且b 0时 则实数 可为任意实数 故不唯一 当a 0且b 0时 不存在 故不正确 答案 1 2 3 4 5 6 1 d是 abc的边ab上的中点 则向量等于 a b c d 解析 选a 如图 2 判断下列四个命题 若a b 则a b 若 a b 则a b 若 a b 则a b 若a b 则 a b 其中正确的个数是 a 1 b 2 c 3 d 4 解析 选a 中两向量共线 但这两向量的方向 模均不一定相同 故不一定相等 中两向量的模相等 但方向不一定相同 故这两向量不一定相等 中两向量的模相等 但两向量不一定共线 中两向量相等 则模一定相等 故正确 3 若o e f是不共线的任意三点 则以下各式中成立的是 解析 选b 4 如图 正六边形abcdef中 a 0 b c d 解析 选d 5 设a b是两个不共线的向量 且向量a b与2a b共线 则 解析 由题意知a b k 2a b 则有答案 考向1平面向量的有关概念 典例1 1 下列命题中 时间 速度 加速度都是向量 向量的模是一个正实数 所有的单位向量都相等 共线向量一定在同一直线上 其中真命题的个数是 a 0 b 1 c 2 d 3 2 下列结论中 不正确的是 a 向量共线与向量意义相同 b 向量则向量 c 若a b b c 则a c d 若向量a b满足 a b 则向量a与b的方向相同 3 给出下列命题 两个具有共同终点的向量 一定是共线向量 若a与b同向 且 a b 则a b 为实数 若 a b 则a与b共线 其中错误命题的序号为 思路点拨 1 根据向量及其有关概念分析解题即可 2 根据向量共线 相等的定义逐一分析即可 3 根据共线向量的概念逐一分析判断可得结论 规范解答 1 选a 中时间不是向量 不正确 中向量的模可以为0 故不正确 中单位向量的模相等 但方向不一定相同 故不正确 中共线向量所在的直线可能平行 故不正确 综上选a 2 选d 向量的共线与向量的平行是同义的 故a正确 根据相反向量的概念可得b正确 由向量相等的概念可知c正确 当两向量的模相等时 方向不一定相同 故d不正确 3 不正确 虽然终点相同 但两个向量也可能不共线 如图 a b不共线 不正确 向量不能比较大小 不正确 当 0时 a与b可为任意向量 不一定共线 综上 都不正确 答案 拓展提升 平面向量中常用的几个结论 1 相等向量具有传递性 非零向量的平行也具有传递性 2 向量可以平移 平移后的向量与原向量是相等向量 3 a是非零向量 则是a方向上的单位向量 变式训练 1 设a是任一向量 e是单位向量 且a e 则下列表示形式中正确的是 a b a a e c a a e d a a e 解析 选d 对于a 当a 0时 没有意义 错误 对于b c d当a 0时 选项b c d都对 当a 0时 由a e可知 a与e同向或反向 选d 2 给出下列命题 若a b c d是不共线的四点 则是四边形abcd为平行四边形的充要条件 0 a 0 a b的充要条件是 a b 且a b 若a与b均为非零向量 则 a b 与 a b 一定相等 其中正确命题的序号是 解析 正确 数与向量的积为向量 而不是数 故不正确 当a b时 a b 且a b 反之不成立 故错误 当a b不同向时不成立 故错误 答案 考向2平面向量的线性运算 典例2 1 如图 d e f分别是 abc的边ab bc ca的中点 则 2 已知p a b c是平面内四点 且那么一定有 3 已知 任意四边形abcd中 e f分别是ad bc的中点 求证 思路点拨 1 利用平面向量的线性运算并结合图形求解 2 将向量ac分解为以点p为起点的两向量的差 然后化简即可 3 结合图形 利用向量加法的法则可证得结论 规范解答 1 选a 即 2 选d 由题意得即 3 如图所示 e f分别是ad与bc的中点 又 同理 由 得 拓展提升 1 向量线性运算的几个关系 1 当向量a b不共线时 a b的方向与a b的方向都不相同 且满足 a b b 则a b与a同向 且 a b a b 若 a b 则a b与b同向 且 a b b a 若 a b 则a b与a b 同向 且 a b 0 2 两个结论 1 若p为线段ab中点 则 2 向量加法的多边形法则 提醒 向量加法的平行四边形法则与三角形法则在本质上是一致的 但当两个向量共线 平行 时 平行四边形法则就不适用了 变式训练 1 在 abc中 若点d满足则 a b c d 解析 选a 2 若a b c d是平面内任意四点 给出下列式子 其中正确式子的序号为 解析 由得 从而即故不正确 由得 即故正确 由得即故正确 综上可得 正确 答案 考向3共线向量定理及其应用 典例3 1 已知向量a b c中任意两个都不共线 并且a b与c共线 b c与a共线 那么a b c等于 a a b b c c d 0 2 2013 西安模拟 设两个非零向量a与b不共线 若求证 a b d三点共线 试确定实数k 使ka b和a kb共线 思路点拨 1 根据向量共线的充要条件得到向量的关系式 比较系数可得结论 2 先证明共线 再说明它们有一个公共点 从而得证 利用共线向量定理列出方程组求k 规范解答 1 选d a b与c共线 a b 1c 又 b c与a共线 b c 2a 由 得 b 1c a b c 1 1 c a 2a 即 a b c c c 0 2 共线 又与有公共点b a b d三点共线 ka b与a kb共线 存在实数 使ka b a kb k 1 互动探究 本例 2 条件不变 结论若改为 若向量ka b和向量a kb共线且反向 则k的值如何 解析 ka b与a kb共线反向 存在实数 使ka b a kb 0 k 1 又 0 k 1 故当k 1时两向量共线反向 拓展提升 三点共线的表示a p b三点共线 o为平面内任一点 t r o为平面内任一点 x r y r x y 1 变式备选 已知点g是 abo的重心 m是ab边的中点 1 求 2 若pq过 abo的重心g 且求证 解析 1 又 2 显然因为g是 abo的重心 所以由p g q三点共线 得所以 有且只有一个实数 使而 所以又因为a b不共线 所以消去 整理得3mn m n 故 易错误区 忽视题目中的条件致误 典例 2013 郑州模拟 已知向量a b不共线 且c a b d a 2 1 b 若c与d同向 则实数 的值为 误区警示 解答本题时 由于对两个向量共线 同向 反向等概念理解不清 混淆它们之间的关系 导致错解 规范解答 由于c与d同向 所以c kd k 0 于是 a b k a 2 1 b 整理得 a b ka 2 k k b 由于a b不共线 所以有整理得2 2 1 0 所以 1或又因为k 0 所以 0 故 1 答案 1 思考点评 1 准确理解向量共线的概念两个向量共线 是指两个向量的方向相同或相反 也称平行向量 因此共线包含两种情况 同向共线和反向共线 2 共线定理的理解 1 若a b 那么a与b共线 2 若a b 则当 0时 a与b同向 当 0时 a与b反向 1 2013 安康模拟 已知o a b是平面上的三个点 直线ab上有一点c 满足则等于 a b c d 解析 选a 2 2013 蚌埠模拟 o是平面上一定点 a b c是平面上不共线的三个点 动点p满足 0 则点p的轨迹一定通过 abc的 a 重心 b 垂心 c 内心 d 外心 解析 选a 由题意得 令则ad与bc互相平分 则即p点在直线ad上 而ad在bc边的中线上 所以p点的轨迹必经过 abc的重心 3 2013 宝鸡模拟 已知向量a b不共线 c ka b k r d a b 如果c d 那么 a k 1且c与d同向 b k 1且c与d反向 c k 1且c与d同向 d k 1且c与d反向 解析 选d 由c d得c d 即ka b a b k 1 向量c与d共线反向 4 2013 大连模拟 设a b都是非零向量 则下列四个条件 a b a b a 2b a b 其中可作为使成立的充分条件的有 a 0个 b 1个 c 2个 d 3个 解析 选b 对于 当a b时 与方向显然不同 故不成立 对于 当a b时 a b不一定同向 故等式不一定成立 对于 当a 2b时 等式成立 对于 与的方向不一定相同 故等式不一定成立 综上只有 可作为充分条件 5 2013 九江模拟 给出下列命题 向量长度与向量的长度相等 两个有共同起点且长度相等的向量 其终点必相同 两个有公共终点的向量 一定是共线向量 向量则a b c d必在一条直线上 其中真命题的序号为 写出所有真命题的序号 解析 真命题 假命题 起点相同长度相等的两向量方向不一定相同 故不正确 假命题 向量的终点相同并不能说明向量的方向相同或相反 假命题 时 直线ab cd可能平行也可能重合 综上可得 命题 为真命题 答案 1 设a b为不共线的非零向量 那么 a 与同向 且 b 与同向 且 c 与反向 且 d 解析 选a 又 与同向 且 2 已知o是三角形abc的重心 动点p满足则点p一定为三角形abc的 a ab边中线的中点 b ab边中线的三等分点 非重心 c 重心 d ab边的中点 解析 选b 取ab的中点d 则故故点p为中线cd的三等分点 非重心 3 对于非零向量m n 定义运算 m n m n sin 其中 为m n的夹角 有两两不共线的三个向量a b c 若a b a c 则b c a b b a 若a b 0 则a b a b c a c b c a b a b 其中正确的个数有
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