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寻找学生继续学习、发展提高的“生长点” 南平市教师进修学校 余 辉数学高年级有关数的整除这部分内容中有很多概念和规律，其中探求3的倍数特征一直是教师们教学研究的重点，在本课学习之前，学生刚刚学习了2、5的倍数特征，知道判断2、5的倍数特征是看数的个位数字。从观察数的个位的数字到观察整个数的数字之和，对于学生来说具有很大的思维跨度，没有教师的点拨引导，学生很难独立探究出3的倍数特征。教师采取怎样的策略才能帮助学生摆脱思维困境，促进学生高效、有价值的探究？这是一个在小学数学教学中具有一定代表性的问题，也是我们研究的问题所在。【课堂写真】教例一：（一）创设情境，揭示课题师：上节课我们学了2、5的倍数特征，主要是看这个数的个位数来加以判断，这节课我们来研究3的倍数特征（揭示课题）。下面我们来做个游戏，同学们任意报一个数，老师能很快猜出它是不是3的倍数。（学生报数，教师把是3的倍数与不是3的倍数分类写在黑板上。学生积极性很高）（二）引导探索，学习新知师：2、5的倍数特征只要看个位， 3的倍数是不是与判断2、5的倍数特征一样，只看这个数的“个位”呢?生1：看个位也可以，例如63、36、99它们的个位分别是3、6、9，这些数都是3的倍数。生2：（举手反对）不能只看个位。例如13. 16. 19，它们的个位虽然也是3、6、9，但这些数都不是3的倍数。生2：（接着补充）有的数，例如21、45，它们的个位不是3、6、9，可是这些数都是3的倍数。师：看来判断一个两位数是不是3的倍数，不能只看“个位”，还要看什么呢?师：下面请同学们来看一组个位上是2的两位数12， 22、32、42、52、62、72、82、92，请同学们判断哪些数是3的倍数。生：通过计算分成两类。（得到是3的倍数的一组数12、 42、 72）师：12、 42、 72这三个数的个位数字都是2，可是2不是3的倍数呀，但是通过计算我们得到12、 42、 72这三个数都是3的倍数，这是为什么呢？生：虽然12的个位上的2不是3的倍数，可是它十位上的1看成10个1除以3以后，还余下1，和2加起来是3，是3的倍数，所以12是3的倍数。（师结合学生回答板书：12=102=9112=913）师：那么22是不是3的倍数呢？生：22看成2个10和2个1组成，20除以3余下2，2加上2得4，4不是3的倍数，所以22不是3的倍数。生：我发现规律了。只要个位上的数和十位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。师：真的是这样吗？你能不能说出为什么？生：从上面几个例子，我们可以知道，前面是9的倍数，肯定是3的倍数，所以只要看其余两个数的和，而其余两个数正好就是个位和十位上的两个数。师：同学们不仅找到是3的倍数的两位数的特征，还说明了道理，那么，对于三位数、四位数呢？他们会有什么特征呢？学生举例子说明（略）【问题聚焦】本课的教学中，“猜数游戏”的情境创设调动和激发了学生的好奇心，并得到是3的倍数和不是3的倍数的两组数。从最初的类比： 2、5的倍数特征只要看个位上的数即可，那么3的倍数看个位行吗?学生通过对一些具体的例子的分析和研究，发现只看个位是不行的；接着又通过一组带2的两位数中，哪些数是3的倍数的判断、分类、变化活动，认识到3的倍数特征与一个数中每个数字所在的位置没有关系，只是跟它们的大小有关；接下来教师通过问题：“12这个数的个位是2，这2不是3的倍数，可是12却是3的倍数，这是为什么？”对学生进行实时恰当的引导，启发学生解决问题可以从选择简单的问题入手，不要只把注意力集中在个位数上，正是在教师引导下，学生从12这个两位数的探究中，找到十位上的数与个位上的数除以3的特点，进而扩大研究范围，直至发现规律。从本课的教学效果看，学生通过对知识的积极探索，掌握并获得了基本的知识，同时也获得了丰富的情感体验。更重要的是学生在观察、推理、验证、说理的过程中，发展了数学思维能力，启迪了数学思想方法。需要探究的问题是：1、学生为什么总是难以想到3的倍数特征？其根本原因究竟是什么？从现代认知科学的角度进行分析，学生对新的知识的学习是建立在已有知识基础和经验之上，学习是原有经验获得丰富、调整或者改造的过程。那么，学生学习3的倍数特征之前，是否具备了相应的知识基础和经验呢？我们首先从知识角度来看，学生学习3的倍数特征之前，刚刚学习了2、5的倍数特征，知道判断2、5的倍数特征是看个位数的数字。因此当学生自然而然的把看“个位”迁移到3的倍数特征学习并发现这种方法无效时，学生表现出束手无策，这时没有教师的点拨引导，从观察数的个位的数字到观察整个数的数字之和，这个思维跨度很大的问题，对于学生来说是很难逾越的。从知识角度来看，学生学习2、5的倍数特征，采用的方法是学生在校五年来，最常用的找规律的方法不完全归纳法。当学生发现这种惯用的举例归纳的方法，在寻求3的倍数特征时无效了以后，他们茫然无措了。也就是说，研究3的倍数特征，无论是知识还是方法的迁移，学生都没有应有的知识经验基础，没有了这种知识经验基础的支撑，也就失去了学生继续学习、发展提高的“生长点”，所以学生始终难以想到3的倍数特征也就不足以为奇了。2、如何帮助学生建构起对数的整除特征的整体认知？美国数学家哈尔莫斯曾经说过：数学究竟是由什么组成的?是概念?公理?定理?定义?公式?证明?诚然，没有这些组成部分，数学就不存在了，这些都是数学的组成部分。但是，它们中的任何一个都不是数学的核心所在。数学的核心应该是越过这些表面知识的内在问题、思想和方法，并且问题是数学的心脏，思想是数学的灵魂，方法是数学的行为。按照哈尔莫斯的这一观点，判断一个数的整除特征的规律当然是数学的组成部分，但不是核心，只是边缘、外围或表面。如果我们的教学只是达到这个境界，学生没有受到数学思想方法的训练和熏陶，也就不可能产生探索数学的行为，这样的教学只是一种复制式的或记忆式的活动。从短期看，知识掌握的效率比较高，但从长远看，学生学不会自我扩展，反而降低了学习的效率。那么，学生继续学习、发展提高的“生长点”在哪里呢？应该是学生学习2和5的倍数特征时，当学生通过举例归纳出2或者5的倍数特征的结论时，我们不妨追问一句：“为什么2或者5的倍数特征只与它的个位有关？”我们引导学生从简单的拆数开始研究，如12=102，15=105，每个数都可以拆成一个整十数和一个个位数，整十数当然是2或者5的倍数，所以判断一个数是不是2或者5的倍数的关键，就是看这个数的个位数是几了。在这一研究过程中，学生不仅知道了2或者5的倍数特征，还懂得了其基本原理，同时掌握了“拆数再除”的研究方法。在学习3的倍数特征时，当学生发现3的倍数特征与个位无关，通过举例找不到3的倍数特征时，就会自然而然想到“拆数再除”的研究方法，通过拆数分析：13=103，虽然个位上的3是3的倍数，但是10不是3的倍数，12=102=912=93，运用这种方法继续研究其他两位数、三位数、四位数， 3的倍数的特征在学生的脑中就会越来越清晰起来。显然， 2或者5的倍数特征与3的倍数特征的研究方法是相通的，都可以通过“拆数再除”进行探究，特征的本质也是相通的，都可以把一个数拆成两个数，这两个数的和是2或者3或者5的倍数，这个数就是2或者3或者5的倍数。这种研究方法和特征本质的沟通就会激发起学生探究能够被4、6、7、8、9的倍数特征的好奇心，并在探究过程中建构起对数的倍数特征的整体认知，真切感悟到数学其实就是以一驭万，以简化繁。教师在分享学生快乐的同时，要清醒认识到：寻求学生合适的继续学习、发展提高的“生长点”，并不仅仅是为了解决一节课的问题，课堂不是句号，教材只是例子，学生凭借例子走出课堂，达到方法的融会贯通，发现掌握令自己终身受用的东西，才是数学教育的真正价值所在。从对此课例的研究中，我们要明确：学数学不能只是理解知识的结论和结论的运用，更重要的是要通过对数学知识的探索，掌握获得知识和运用知识的方