第九章 小学数学中的几何变换.doc

第九章 小学数学中的几何变换世间万物都在变化之中。几何学是研究图形在变换过程中的不变性质。例如，我们通过折纸，可以将已经画好的半个蝴蝶，翻折拼成整个蝴蝶。左半个变化成右半个，位置变了，但是它们的大小没有变，线段的长度和有关的角度都没有改变。又如，在放大镜下，一个较小的圆却变成了一个较大的圆，一个较小的三角形变成了一个较大的三角形。但是，线段的长度发生变化（放大了固定的倍数）,而角度却没有变化，我们把一块三角板，移动、放置到另一个地方，它的位置变了，状态变了，但是线段的长短，以及两线段的夹角都没有改变。几何图形的变换是一个复杂的课题。在这一章，我们研究小学数学中有关的几种平面图形的几何变换。 第一节 全等变换：平移，旋转，反射什么是变换？其实，就是一个集合到另一个集合的映射。用aM表示M中的一个几何对象，或由许多对象构成的几何图形，T表示一个变换，T将a映射到bN，b称为a的象，记Ta=b。若M=N,我们称T是M上的变换。若T,S都是M上的变换，用P=ST表示先进行变换T,Ta=b,再进行变换S,Sb=c,即Pa=c,P称为TS的乘积。几何图形可以非常复杂，立体几何图形的状态已经很难描述。高维几何图形更是当代数学家正在研究的对象。本章涉及的图形，都限于平面图形。平面图像经过变换以后，可以千变万化。例如，把圆压扁成了椭圆，是变换，把圆在一点断开，成为一条曲线，也是变换。我们在这一节不研究这一类形状发生改变的变换，只研究刚体运动形成的变换。顾名思义，既然是刚体，那么，形状是不变的。经过变换之后，刚体的位置可以变化，形状还是原来的样子。综上所述，本节只研究平面上刚体运动所形成的变换。对于刚体运动来说，有三种运动形式最为基本，这就是平移、旋转与反射。以海平面上的一艘军舰为例（图9-1）。假定我们用卫星照相，把一艘船看作一个有向线段，箭头是船头的朝向。船的位置、状态随时可能发生变化。例如，军舰沿着某航向前进的移动就是平移变换。军舰靠码头时，船头B不动，全军舰AB转了一个角度，成为AB。这就是军舰的旋转运动。如果军舰还有一条一模一样的姐妹船，船头相对停在码头上，两条舰的几何图形就互相形成了反射变换，好像另一条军舰在镜头里一样。下面我们分别来阐述这些变换。1.1 平移、旋转与反射的初步描述在平面上，要想把一个点A变到另一个点B，需要什么变换呢？显然，只需要把点A“移”到B处就行了。具体来说，就是沿着AB的方向，移动AB之间的距离。 现在我们要移动平面内的一条线段MN（刚体），成为MN,位置变了，长度不变。这时，先运用平移，可以把M变换为M，N变为N。要变为MN，只需将M固定，绕A旋转一个角度，就能成功（图9-2）。即便两条长度相等的有向线段方向相反，我们只要将其中的一条掉一个头（即只要旋转180），再移动一下也可以做到。总之，对于两条长度相等的线段而言，无论如何摆放其位置，我们总可以从一条线段的位置和状态，通过平移和旋转两种变换，将其中的一条变成另外一条。在平面上，最简单的平面图形之一是三角形。要移动一个三角形会怎样呢？对于两个能够重合的三角形ABC与ABC，由其中的一个三角形，ABC,变成另一个ABC,有时用要平移变换，或者加上旋转变换就可以做到。有时必须要加上反射变换才行。例如，如图9-3所示，要将直角三角形ABC变换成为ABC。我们先通过平移使C和C重合，此时无论怎样旋转，都不能使两个三角形重合。实际上，这两个三角形，关于直线是对称图形，通过反射变换可以使得他们重合。一般的，平面上的刚体几何图形，尽管它可以处于不同位置，但是都能通过平移、旋转、反射三种变换及其组合，有一个位置变换为另一个位置。2. 全等变换 作为平面图形的三种基本运动形式-平移、旋转和反射，它们共同的特点在于能够保持图形的大小和形状不变。一般的，我们有：定义 如果在欧氏平面上定义的变换T,使得任意两点A,B和它们象AB，总有AB= AB,则称T是全等变换，也称保距变换，或者合同变换。这种图形运动也叫图形的刚体运动，即刚体运动所生成的变换是全等变换。1. 平移 也叫平移变换，是指平面到其自身的一种变换，它将平面上的任意一点P变换到P ,满足：1. 射线PP有给定的方向； 2. 线段PP有给定的长度。 其中，点P与P就是一对对应点。也就是说，这里的一组对应点P与P组成的线段PP平行于给定的射线，而且，线段PP的长度等于定长。事实上，一个图形F经过一次平移f而得到另一个图形F,意味着将图形F上的所有点，按照同一方向都移动了同样的距离。如图9-4所示，左边的月牙图按照向量n变成了右边的月牙图，左边上的每个点都平行移动了相同的距离n,而且移动的方向与n相同，比如，图中的对应点A与A,B与B满足AA=BB。在平面直角坐标系中，提心法F按向量a=(h,k)平移，得到图形F，那么，图形F上的任意一点P(x,y)与其对应点P(x,y)之间满足关系 ，其中a=(h,k)叫做平移向量。这就是平移的坐标表示。例如。在图9-5中，将整个图形按照水平方向向右平移8个单位，在向上平移1个单位，两个图形对应点的坐标（x,y）与(x,y)之间满足关系。2. 旋转 也叫做旋转变换，是指平面到自身的一种变换，它将平面上的任意一点A变换到点A,满足：1. 点A、A到定点O的距离OA、OA相等； 2. AOA等于定角 其中，定点O叫做旋转中心，定角叫做旋转角。事实上，一个图形F经过了一次旋转f而得到另一个图形F,意味着将图形F上的所有点绕着一个定点O、按照同一方向旋转了相同的角度。如图9-6所示，OAB绕旋转中心O旋转到OAB的位置，图形上的所有点都绕O点旋转了相同的角度，这个角就是旋转角。这就意味着，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等。特别地，旋转角为180时的旋转变换，称为中心对称（或点对称），如图9-7所示。ABC绕旋转中心O点到ABC的位置，此时，每一组对应点都共线，这时的旋转也叫中心对称。在实际运用中，常常是多种变换复合在一起。例如，如图9-8所示，甲、乙是两条“船”，如何将乙“船”变成甲“船”呢？事实上，作为一个图形，从乙图变成甲图，有种基本的思路：一是先将乙图平移，使得顶点重合，然后再绕顶点旋转一定角度就可以；第二个思路是，先将乙图绕某点旋转一个角度，再将乙图平移一定距离，也可以将乙图变成甲图。亦即，需要将乙“船”的位置与状态加以适当改变，移动（平移）旨在改变位置，状态（旋转）旨在改变摆放状态。先平移再旋转，或者先旋转后平移，都可以，方法并不唯一。在平面直角坐标系下，也可以用坐标的变换矩阵表示旋转（如图9-9所示）：对于一个给定的点P（x,y），将点P绕O点旋转角度，变成P(x,y),那么，当时为逆时针旋转，0时为顺时针旋转。例如，将图形绕坐标原点O按照逆时针方向旋转90，那么，点（0,1）就变成了点（1,0），亦即=1.2.3 反射变换图形经反射变换之后，彼此互为轴对称。定义 设是一条给定的直线，S是平面上的一个变换，它把平面图形F上的任一点变成点，使得与关于直线对称，则称为以为对称轴的反射变换。记为图形图形。如图9-10所示，图形经过以直线为对称轴的反射变换后，得到图形，显然，点与、点与、点与、点与、点与分别是关于直线的一组对称点，从而，对应点连成的线段、分别被直线垂直平分。容易证明，线段、分别等于、，图形与图形中的对应角、对应边（以及其他对应元素）分别对应相等，进而能够得出图形与图形全等。这表明，反射变换同样不改变图形的形状和大小，只是改变图形的位置。不仅如此，在反射变换下，对应线段相等，对应直线（段）或者平行，或者相交于对称轴上的一点，而且这两条直线的夹角被对称轴平分。事实上，如图9-11所示，如果对应的线段与不平分，由于对应点与、与连成的线段分别被对称轴垂直平分，四边形关于对称轴对称，从而，直线与直线的交点（如果相交的话）一定在对称轴上。需要指出的是，小学阶段的反射通常局限在方格纸上进行的，图9-12就是一个典型事例，RtPRQ别直线反射后变成RtPRQ，而且，RtPRQRtPRQ。1.3 几何变换的不变量世间万物都在变化之中。寻找变化中的不变性质，是探究自然和社会发展规律的一项基本任务。一个民族必须与时俱进，不断创新，但是，民族的传统精华不能变。京剧需要改革，可是，京剧的灵魂不能变。古典诗词的内容千变万化，但是，基本的格律不变。自然科学的任务是找出“变化中不变的规律”。物理学探究物体运动中的能量守恒、动量守恒；化学反应中有关方程式的平衡，分子量的总值不能变。唯有找出变化中的不变性，才有科学的、美学的价值。几何变换是一种变化，仅仅说变化是不够的，更重要的是寻求几何图形变化之后，存在哪些不变性质，存在哪些不变量。例如：l 前已述及，全等变换的不变量有对应线段相等，对应角相等。因此，两个对应图形全等。l 轴对称和中心对称，都是对称变换。对称之美，来源于对称之后的图形保持不变的性质。l 我们比较熟悉的还有相似变换。相似变换的定义是：欧氏平面上的变换，如果碎玉任意两点，其对应点为，总有线段的长度等于线段的倍。即，则称是相似变换。相似变换的不变量是对应线段的比值不变，由此可以推出线段形成的角度也不变。l 拓扑变换。俗称橡皮几何。一个图形的大小形状都可以改变，但是，线段的连接方式不变。在这种变换下，一笔画的性质不变，例如七桥问题，多面体的形状可以各异，但是，它的顶点数加上面数，一定比棱数多2，即。1872年，闻名世界的德国数学家F克莱因把几何学看作是研究各种变换群之下的不变量的一门学问，对后世的几何思想产生深远影响。1.4 图形全等变换的教学案例：简单邮路问题平面几何中的轴对称与中心对称概念，不仅在日常生活中应用广泛，同时，也是几何学的重要内容。简单邮路问题就是应用这类内容的典型案例。下面给出简单邮路问题的教学设计的一个典型案例。（1）提出问题邮递员从邮局出发，要把信件送到8个地方，再回到原点，请为邮递员设计送信的线路，在完成任务的前提下使得路程尽可能短。即如图9-13所示，有33=9（个）整齐排列的点，其中左上角带的点表示邮局，请用线段把这些点连接起来，并且线段不重复。 （2）解决问题 发给学生每人16个如图9-13所示的图形。 先由学生根据要求，独立画出线路图； 通过组内交流去掉重复的线路图； 选取其中一个小组的所有设计方案，将其贴在黑板上。要求学生：一方面，去掉不合理的线路图，即去掉从邮局出发而没法回到邮局的情况，以及8个送信地点中有遗漏或重复的情况。另一方面，挑选其中的最优设计方案。那么，怎么样的设计方案才是符合问题要求的最优方案呢？回答是“线路不重复，而且距离必须最短”。图9-13中9点之间的连线有直线段和斜线段两种，种设计方案最后的送信距离，我们可以用“m条直线段+n条斜线段”来表示。于是，引导学生计算每一个方案中的直线段和斜线段的数目，比如有：直线段（m）：8 7 8 斜线段（n）：1 2 2 要使距离最短，必须满足什么条件呢？由于连接九个点，至少要有九条线段，而且斜线段长于直线段，所以，尽可能使斜线段的数目最少。因为连接九点的九条线段中，必须有一条是斜线段。因此，满足最短距离的设计方案其直线段是8条，其斜线段是1条。（3）组际交流在得到什么是最优设计方案的基础上，要求其他小组的学生，根据判断标准，补充符合要求的不同的最优设计方案。（4）归纳总结将实际问题转化为数学问题，把设计方案抽象为几何图形。通过对图形的观察、比较，发现其中的关系和规律。比如：一个图形可以通过另一个图形的旋转而得到。一个图形可以通过另一个图形的反射（即翻转）而得到。一个图形可以通过另一个图形的反射（即翻转）再旋转而的得到。 通过分类，总结归纳出所有可能的图形。比如：按斜线的缺口方向可分为四类，每个方向有两个图形，所以，一共有8个图形。将其中一个图形按顺时针方向各旋转90，得到四个图形；将其中的一个图形翻转，再按顺时针方向各旋转90，又可以得到四个图形。即： 其中：a与e, b与h, c与g, d与f是上下反射关系，a与g, b与f, c与e, d与h是左右反射关系，而任意一个图形，都可以通过另一个图形的旋转和反射而得到（图9-14）。 由图形再回到实际问题。由的讨论，我们得到，符号条件的最优设计方案的图形共有8种，考虑到实际问题，对每种图形，邮递员可有顺时针和逆时针两种行走方向，所以，原问题的最优线路有16种。注释 “简单的邮路问题”是一个可以进一步开发和挖掘的好课题，比如，上面已经提到的，如果要先到某个点，又要满足距离最短的条件，如何设计？把9个点扩展到16、25、36、个点，原问题如何解？如果再考虑有加急电报，又如何设计？将平面扩充到空间，情况又如何？开放度之大，教育内涵之丰富，也许不仅适合于小学，而且还可能适合于初中和高中，甚至大学。1.5“平移，旋转、反射”变换的操作性教学 20世纪80年代，几何图形运动的内容大幅度进入欧美各国的小学数学课程，原因是学生在生活中常常有机会接触翻转、平移、旋转，并积累了有关的经验；特别是玩各种积木的时候，已经大量接触几何图形的拼接。我国在21世纪的数学课程改革中也十分强调几何图形运动形成空间想象能力的重要性。 欧美国家的小学数学课程，都是通过活动来处理“翻转、平移、旋转”这些概念，并不下定义。下面以德国教材数的世界的四个问题为例，叙述他们的呈现方法，义工研究。在方格纸上画出下列图案（图9-15），并对只需通过平移就能达到对方位置的图形着上相同的颜色。在第问的图案中，对只需通过旋转就能达到对方位置的图形着上相同的颜色。对第问中只需通过翻转就能达到对方位置的图形着上相同的颜色。对第问中只需通过旋转或翻转或两种变换依次进行，就能达到对方位置的图形着上相同的颜色。 关于： 为了使学生较好地理解题意，可以先在黑板上或纸条上绘出图案。接着将其中的一个图形用记号标出，并做说明：现在这个图形想访问图案中的另一个图形，但他只能平移不许翻转，也不需旋转。 答案（图9-16） 关于：旋转是围绕图形上的一个点来旋转。为了使孩子们容易理解题意，可沿用第问的方法来说：现在这个图形想通过旋转访问图案中的另一个图形。 答案（图9-17中的点为旋转点） 关于（3）：如果这些图形都是实在的图形片，这谈到的当然应该“翻转”而不是镜像的“反射”。例如:值得注意的是，要特别强调“翻转引入时要通过镜像来进行”，因为轴镜面反射就是反射，即轴对称。从思维发展的角度来考虑，小学生尚处于直观思维阶段，通过镜子来观察镜像，然后再让学生动手翻转图形，并与镜像对照是一个很好的途径。此外，还可以通过折叠，积累轴对称图形的有关经验。 平移与旋转中均不出现“平移了几格？”、“旋转了几度？”此类问题。因为要回答此类问题，学生必须掌握有关平移与旋转的数学定义才行，而这部分内容一般都放到高年级。第二节 图形的对称2.1 对称 我们研究图形的运动，目的之一在于考察图形的对称性质。对称是指图形或物体对某一点、某条直线或某个平面的反射运动，在形状、大小、长短和排列等方面都相等或相当，具有一一对应的关系。对称是自然界中一种普遍而又奇妙有趣的现象：镶嵌天际的恒星、行星呈球状对称;小巧玲珑的雪花，精巧细腻的蜂巢呈现平面对称；食盐、白糖是一些规则的对称晶体；大多数花朵辐射对称，有中央叶脉的叶片左右对称；人和鸟兽虫鱼的五官、四肢左右无不对称；有些植物的叶就是对称生长的（图920），昆虫的触角、眼、足，鸟的翅膀，鱼的胸鳍、腹鳍，哺乳动物的眼、耳、足等等，也都是对称生长的；。 人类在赞叹大自然的对称美之余，也利用对称为自身服务，小到衣物装饰，大到房屋建筑，都有人工创造的极其丰富的对称。在现代，对称的应用更是比比皆是。各种飞机、轮船是模仿生物对称形体而制造的。导弹采用了蜂巢对称结构之后，节省了材料，减轻了重量，甚至家庭用的电风扇，服装的设计，窗上的剪纸，无不采用对称的形状。正如20世纪著名数学家赫尔曼.外尔所说的，“对称是一种思想，通过它，人们毕生追求了解，并创造秩序、美丽和完善.”。了解和初步掌握图形对称的奥妙，不仅可以提高我们的生活质量，而且还可以依照你自己的设想，创造自己的对称图案作品，装点你的生活。2.2 轴对称作为一种特殊的对称，轴对称是现实生活中广泛存在的一种现象。定义 两个图形具有一一变换的关系，如果以每对对应点为断点的线段都和同一条直线垂直且被平分，那么称这种变换为轴对称（或直线反射），每对对应点互称对称点，垂直平分对称点所连线段叫做轴对称。事实上，轴对称刻画的是两个图形之间的一种关系，也就是说，如果两个图形中的一个图形通过反射变换，变成了另一个图形，那么，这两个图形就是以反射轴为对称轴的轴对称图形。这也就是说，对于某两个图形，如果沿着某条直线对折，两个图形在直线两旁的部分能完全重合，那么，这样的两个图形通常叫成轴对称的（两个图形），简称成轴对称。特别的，如果一个图形的一部分通过反射变成了这个图形的另一部分，那么，这个图形就是一个轴对称图形。如图921所示，两个图形就是利用墨迹折出的（轴对称）图案（即，取一张质地较软、吸水性能较好的纸，如，报纸、餐巾纸，在其上滴一滴墨水，沿纸的中部将纸迅速对折、压平，并用手指压出清晰的折痕，将纸打开、铺平，所得到的图案就可能是图921所示的图案。）当然，有的图形不仅是轴对称图形，而且，具有多条对称轴，例如，正方形不仅是轴对称图形，而且，有多条对称轴。这时的对称轴就变得特别重要，如何合理地选择对称轴就变成问题的关键。2.3 类比：数学的对称和文学上的对仗对称，既相对又对称。这在人类早期文明中就有体现。特别的，文学中的对仗也是一种对称。王维的“明月松间照，清泉石上流”具有自然意境之美，也有文字对仗工整之美。中国文化特有的对联，更把“对称”的要求提到非常高的程度。据说明代文学家徐文长有一天约几位文人墨客到西湖划船，不料有一位朋友迟到，俆文长随口吟一副上联：一叶孤舟，坐了二三个骚客，启用四桨五帆，经由六滩七湾，历尽八颠九簸，可叹十分来迟。这位苦读诗书的朋友也是才华横溢，自是不甘示弱，随即对出下联：十年寒窗，进了九八家书院，抛却了七情六欲，苦读五经四书，考了三番两次，今日一定考中。上下联对仗工整，一到十数字循环往复应对自如，把游历与苦读的情怀刻画得淋漓尽致王维诗中的对仗，无非是“明月”变换到“清泉”，而不变的是语词的性质。形容词“明”对形容词“清”，名词“月”对“泉”。同时不变的还有：二者都是自然景物。他词语的对仗，同样有一种不变性。因此，对称和对仗，都具有变化中的不变性，二者在文化上是相通的。2.4 中心对称中心对称实际上是一种特殊的对称，它既与旋转有关，也与点的轴对称有关。定义 如果把一个图形绕着某一点旋转180后能与另一个图形完全重合，那么，我们就说，这两个图形构成中性对称。 特别地，如果把一个图形绕着某一点旋转180后能与自身重合，那么，我们就说，这个图形成中心对称图形。 更一般地，如果一个图形绕着某一定点旋转一定角度（小于周角）后，能与其自身重合，那么，这个图形叫做旋转对称图形。例如，正三角形不仅有三根对称轴，而且也是旋转对称图形将正三角形绕着其中心旋转120，总能和本身重合。如图922所示。如图923所示，正五边形与五角星都是轴对称图形，他们都有五根对称轴；同时，它们也都是旋转对称图形，旋转72都能和其本身重合。而电扇的叶片转动120后，都能与自身重合（如图925（3）所示）相比之下，平行四边形不是轴对称图形，而是中心对称图形，将其旋转180能和自己重合（如图924所示）。而圆是旋转对称图形，将其绕圆心旋转任意角度都能和其自身完全重合。（注意，现在的中学数学教材中规定只有旋转180后完全重合，才叫中心对称，应该拓广。）2.5 “对称”的价值2.5.1 对称性：科学研究的对象之一 对称性普遍存在与宇宙之中。在日常生活中处处都可见到对称，洁白的雪花，彩色的蝴蝶，绚丽的花瓣，雄伟的建筑，精美的工艺品，无不呈现出妙趣天成的对称性。随着人类社会的进步，科学技术的发展，对称性的研究已普及到各个学科领域之中，对称性已成为物质世界的基本属性之一。因而，对称性已是科学研究的对象之一。物质结构是用对称语言写成的，如果把对称仅仅看作是表示一些几何图形的轴对称和旋转对称而已，那么，就太小看对称了。诺贝尔物理学奖获得者杨振宁回忆他的大学生活时说，对我后来的工作有决定性影响的一个领域叫做对称原理。杨振宁和李政道获得诺贝尔奖的工作“宇称不守恒”的发现，就和对称密切相关。另外一个被称为“杨振宁米尔斯规范场”的著名成果，更是研究“规范对称”的直接结果。杨振宁在“对称与物理学”一文的最后这样写道:在理解物理世界的过程中，21世纪会目睹对称概念的新方面吗？我的回答是，十分可能。2.2.5 对称性：不仅是数学的研究对象，更是数学研究的工具 对称是自然界常见的一种重要的现象，也是我们在生活中经常接触到的一种现象。当我们欣赏一栋和建筑物的外形时，常常因为发现建筑结构在某些不同部位微妙的相似而获得美的感受，这种美感是由物体特定的几何对称性而形成的。“对称”在自然界以及人们的日常生活中无处不在，“对称”是现代数学不可 回避的研究对象，它在各领域都有广泛的应用价值。数学上的对称本来只是几何学研究的对象，后来数学家广到代数中。例如，二次式 ，当把x变换为y, y变换为x后，原来的式子就成了 + ，结果仍旧等于 ，没有变化。由于这个代数式经过x与y变换后形式上与先前完全一样，所以，把它称为对称的二项式。韦达定理中的两根之和、两根之积都是对称的代数式。对称性概念无论在宏观上还是微观上都是现代科学研究的重要对象。由于对称是自然界中的一种如此重要、如此基本的物质存在形式和运动形式，而对称可以用“群”来表示，从而，各色各样的对称群成为描述大自然的数学工具。“对称与群”的理论已经成为现代数学中的基础理论。2.5.3 对称导致美对称性的美学价值是一个神秘而有趣的问题。人们对于对称性美的体验，来自对于人体、动物、植物、山川、河流等外形美的观感上，自然美的外观表现是自然美的形式美，自然美的内在规律是自然美的内容美，科学美学就是研究没美内容与形式没的辩论统一关系。在中国的国粹文化中，对称美具有独特的地位，中国的建筑、绘画、诗歌、楹联、图章、书法等，都闪耀这对称美的光辉。中国方块字的形、音、结构、神韵都具有对称美。有人提出，字的“字心”在左上角与右下角连线自下起的0.618处，这是中国字特有的美，特有的对称美。对称性美是客观存在的，对称性美又是发展变化的，对对称性美的探索又是无止境的，这正是对称性的美学价值。对称图形是美的，对称观念是美的，对称理论更是美的。大自然的结构是用对称语言写的。2.5.4 对称性：哲学上的一种关系从哲学高度进行思考，对称性就是自然界的物质和过程之间的一种关系，这种关系包括他们在现象上的相同，形态上的对应，性质上的一致，结构上的反复，规律性的不变。从认识论角度说，对称就是建立在一定假设基础上的不以人的、认识条件和方式而变化的，人类认识的不变性。认识和假设的对称状态被打破就建立新的对称，自然界的各种事物都是对称与非对称的辩论统一。对称中包含着非对称，非对称是对称的破缺。二者都可以相互转换，人脑左右半球是镜像对称，但激素含量，功能又是不对称的，左右半球互相配合，功能互补才能充分发挥脑功能。人类精神的互补，东西方文明的互补，东西方思维的互补这已是客观的发展趋势。人类的认识过程就是一个“对称性和对称破缺不断交替形成的过程”，沿着对称性对称破缺新的对称性的方式不断进行下去。对称与对称破缺是物质世界进化和人类认识不断深化的表现，自组织过程就是由对称到对称破缺达到新的对称的一个过程。对称性、对称破缺是普遍存在的。第三节 平面图形初等变换的数学研究在前面两节，我们讨论了平移、旋转、反射的初步性质，分析了对称的文化属性。我们发现，平移、旋转、反射三种变换都具有不改变图形的形状和大小的特性。在这一节，我们进一步指出，平移、旋转可以通过几次反射变换的普遍存在。3.1 平移、旋转、反射变换是全等变换前已提及，平移、旋转、轴对称都是全等变换。在这里，我们给出完整的证明。事实上，在平移（变换）下，每对对应点所确定的线段（例如，图9-26中的线段AE、DH等等）都是同平行且相等，进而，变换前后的图形之间一一变幻的关系，如图9-26所示，任意一对对应线段（例如，图9-26中的AD与EH）以及相应的对应点之间的连线（图9-26中的线段AE、DH）构成一个平行四边形，进而可以推得，对应线段平行切相等。从而，对应角相等，对应图形全等。这种变换是全等变换。同样地，在旋转（变换）下，每对对应点到某一定点的距离相等，从该点向每对对应点所引射线所成的角都相等且同向，如图9-27所示， 绕着定点O旋转同一个角度 ，转动到了 的位置，从此， , , , ,进而发现， ， ， ,必然有 ,这时 与 的点与点之间建立了一一对应关系，而且，保持线段的长度不改变，因此，从 到 的变换是全等变换。同样地，在轴对称（变换）下，将一个图形（如9-28中的 ）沿着一条对称轴反射到 的位置，如图9-28所示，此时，以每对对应点为端点的线段都被对称轴所在的直线垂直平分，从而， 必与 全等，两个图形的点与点之间建立了一一对应关系，而且，保持线段的长度不改变，这种变换也是全等变换。3.2 平移、旋转都可以由若干次反射（轴对称）的复合而得到对于平移、旋转和轴对称（反射）来说，虽然三者都是全等变换，但是，容易发现，其中，轴对称（变换）更为基本。（1）对同一个图形连续进行两次轴对称，如果两个对称轴互相平行，那么，这两次轴对称的结果等同于一次平移。（2）对同一个图形连续进行两次轴对称，如果两个轴对称相交，那么，这两次轴对称的结果等同于一次旋转，旋转中心就是两条对称轴的交点。反过来，对一个图形实施一次平移，都可以通过连续的两次轴对称来代替完成；对一个图形实施一次旋转，可以通过连续的两次轴对称来完成。事实上，如果一个图形F经过连续两次轴对称 、 ，得到图形 ， 。在图形F上任意取两点P 、Q，在轴对称 、 下，点P 、Q依次变成点 、 与 、 （如图9-29、图9-30所示）。如果两条对称轴互相平行，如图9-29所示，依据轴对称的性质，此时，对应线段满足PQ、 、 与对称轴的夹角相等，但是，这些夹角（即从这些线段到对称轴所成的角）依次反序，且PQ= = ，从而PQ/ ，即线段PQ与 平行且相等。 如图9-30所示，由P作对称轴 、 的垂线，垂足分别为 、 。此时， 是P关于 的对称点， 是 关于 的对称点。不论P点在平面上什么位置，应用有向线段的加法，总有： 所以，以两条平行线 和 为对称轴的两次轴对称的积等于一个平移，平移的方向是直线 、 的法线方向，平移的距离为 和 之间的两倍。这就是说，在变换 、 下，图形F变成图形 ,相当于沿着垂直于对称轴的方向进行平移，平移的距离等于对称轴之间距离的2倍。反之，如果图形F在平移变换p下，变成图形 ，那么，任意作一条垂直于平移方向的直线 ，以 为对称轴作轴对称 ，图形F变为 。容易证明，图形 与图形 依然构成轴对称关系。从而，从图形F到图形 的平移，等同于图形F到图形 的轴对称 再到图形 的轴对称 。这就是说，一次平移可以分解为两次连续的轴对称的积。当轴对称 、 的对称轴相互平行时，同理可证，结论依然成立（详细的过程请感兴趣的读者完成）。3.3 折纸中的数学通过折纸活动，分析留在纸张上的折痕，我们能够揭示出大量几何的对象和性质：轴对称、中心对称、全等、相似形、比例及类似于几何分形结构的迭代（在图形内不断地重复图案）等几何性质。折纸过程中还能够体现出许多几何概念和规律，诸如正方形、矩形、直角三角形、梯形等几何图形，对角线、重点、垂直平分线等几何名称，全等、勾股定理等几何法则，内接、面积及其他一些几何代数的概念，这些鲜活的、可视过程，给学生提供了弥补思维过程的斷缺部分，更能符合学生的认知习惯。折纸可以探索二维和三维图形之间的关系。例如一张正方形（二维物体）的二维纸张可以折成一个立方体（三维物体）。然后将它摊开，研究留在正方形纸上的折痕，正好体现了一个二维物体到三维物体，又回到二维的过程。在缤纷多彩的折纸活动中，有很多数学活动值得研究。在这里，我们精选了其中的一些，展示如下：（1）将一个矩形式样的纸张，折成一个正方形（如图9-31所示）。（2）将一张正方形的纸沿着对角线对折，变成四个全等的直角三角形（如图9-32所示）。（3）找出正方形一条边的中点（如图9-33所示）。（4）在正方形的纸中折出一个内接正方形（如图9-34所示）。研究纸的折痕，可以发现，内接正方形的面积是大正方形面积的 （5）将一个正方形纸张折叠，使折痕过正方形中心，便会构成两个全等的梯形（如图9-35所示）。（6）把一个正方形折成两半，那么，折痕将成为正方形两条边的垂直平分线（如图9-36所示）。（7）折出四面体（按图9-37所示的方法）。（8）折出正方形（按图9-38所示的方法）。不仅如此，折纸还可以做出其他的一些重要内容：（9）折出黄金分割比众所周知，黄金分割比 0.618是一个美妙的比例，其实质是，“将线段分为不相等的两段，使长线段的长为全线段的长和短线段的长的比例中项”。黄金分割比的作图并不难，但其步骤较为复杂。如果用折纸的办法，我们就可以轻松地将它展示出来，如图9-39所示，D为正方形纸片EF的中点，将AD折叠到AB上，折痕为AC，则 = ,也即C为边BF的黄金分割点。事实上，令 ,由折纸的对称性知， ,又 ,从而求得; = ,即 = 。（10）折出 和 角对于经常折纸的人来说，折出 和 角几乎是一种本能，而折出 和 角，其中包含的数学内容就稍微难理解一些。其实，折出 和 角的方法，主要基于直角三角形的一个性质： 角所对的直角边等于斜边的一半。图9-40所展示的是过长方形纸片的一条边中点折出 角的方法。将左上角顶点折叠到右边一条 处的折痕上，可以在纸片上边的中点产生三个相等的 角。如果我们再将右上角也折叠过来，使两个角的顶点重合，那么，此时右边的 角就分成了两个 角。如图9-41，当然，我们也可以直接将右上角顶点折叠到右边第一条 折痕上形成 角。其实，我们还可以像图9-42这样以正方形的角或中心为顶点，折出 或 角。（11）将长方形纸片折成三等份大多数人将长方形纸片折成三等份的惯用方法是：先从纸片的一边开始，估计地叠起纸片的 ；然后，将对边也折起来，根据三份是否重合来进行调整。当然，这种折法蕴涵这朴素的极限思想。反复折叠中，一次比一次地更趋近三等份。另外一种完美不同的折法是：1.如图9-43所示，先将整张纸片的一条边DF对折，找到其中点E点；2.折出整张纸片的对角线AF，以及E点与C点的连线EC，两条折痕相交于点X；3.最后，使折痕过交点X折叠纸片，使CG重叠在AG上。则CG为AC的 。充分利用相似三角形的性质是这种折法的核心，我们可以很容易证明它，此处不再赘述。当前，折纸活动被广泛运用于中小学数学教学之中，包括课堂上的专业讨论，课堂上应用折纸作为辅助数学教学工具掩饰几何形态，提供课后学习思考的操作题，出现在试题中的探索、开放性的折纸题（操作+分析）等等。例如，在课堂上讨论“用纸片折几何图形”的课题。其中的问题是：让学生思考能否将一张长方形纸片折出等腰三角形，用直角三角形以及任意三角形纸片折成一个长方形（要求重叠部分只能有两层纸）。学生们通过折纸活动和小组交流，可以发现很多不同的折法，然后各自分别在实物投影上演示折纸过程中，并说明理由。实践证明，这种探索对于促进学生的几何学生的几何学习十分有帮助。第四节 小学几何变换教学问题研究在小学教学课程教学实践实施中，如何开展几何变换的教学，这是广大教师普遍关注的问题，也是课程理论研究者普遍关注的话题之一。本节对此做些探讨，提出课程教学实施的一些建议。4.1 义务教育阶段的几何变换的课程教学必须分层实施正如前文讨论的，义务教育阶段的几何变换课程教学目标在于，让学生经历几何抽象的过程，构建几何概念，认识基本图形之间的关系，形成空间观念，发展几何直觉，积累几何活动经验。而这个过程是随着学生身心的发展而逐步深化的、发展的，依据学生的发展特点分层实施，就变得十分必要，更是数学学习所必需的。在小学阶段，几何变换的课程教学基本定位在实验几何、操作几何。不仅如此，这种活动还可以分为如下三个不同的层次：4.1.1 具体的、直观的操作让学生亲自经历直观操作，这是一年级学生几何学习所必须的。事实上，一年级学生的数学学习立足在生活经验基础之上，这些生活化、零散的经验和常识，为开展直观的几何学习奠定了必要的基础。对于几何概念的初次学习来说，这是非常重要的。只有在丰富的生活经验基础上进行几何抽象，才能逐步撇开具体的属性抽象出点、线、面、角、三角形、圆等几何概念。4.1.2 基于具体图形的直观操作这是小学2、3年级学生数学教学学习的必经阶段。与第一阶段相比，这一阶段的几何抽象已经不再停留在直接的生活常识层面，而是建立在已有的几何概念、具体的图形之上，也就是通常所说的“一级抽象、二级抽象”，而不是元抽象、原始抽象。对于小学几何学习的整个历程来说，这个阶段相对较长。例如，在本章的“邮路问题”中，利用平移、旋转、反射，研究具体的线路图，而不是直接研究尚未抽象出来的具体食物。这种研究已经具有一定的抽象度。同时，这也是几何学习所必需的，即使承上，又是启下，亦即，上一阶段的学习具有一定的结果抽象出来的概念是这次研究的对象，而这次获得的概念、图形又是进一步学习的对象。4.1.3 简单图形之间关系的初步分析例如，圆的移动主要是围绕圆心、半径的变化来分析；而平行四边形、梯形的研究，需要建立在将图形分解为三角形、矩形基础上，而三角形、矩形的分析又借助对角线，角的分析来完成。这一阶段自小学高段一直延续到初中阶段。其难度定位在刚体运动，即物理意义上的图形的概念，图形又是进一步学习的运动变化。4.2 小学几何变换的课程教学仅限于在方格纸上进行正如前文所述的，小学几何变换立足在直观几何之上，旨在通过平移、旋转、轴对称，研究几何图形的有关性质，获得几何活动经验；同时，几何变换的学习有一定难度。因而，小学几何变换的课程教学仅限在方格纸上进行，亦即沿着平行、垂直于方格纸的两个格的边缘线进行，不涉及直接按斜线方向运动的情形（可以先按照平行方向运动若干个格，在沿着垂直方向运动若干个格）。4.3 获得亲身经历和几何活动经验是小学几何变换教学的核心目标之一正如前文所分析的，几何学习的重要目标在于积累几何经验、建立几何直观，发展空间观念，逐步发展推理能力。对于小学生的几何学习来说，其推理能力的发展仅仅是初级阶段，更主要的任务是发展几何直观，积累几何活动经验，发展空间观念。事实上，对于青少年的数学学习而言，小学阶段对于空间观念的发展、几何活动积累非常重要而关键，这是进一步学习的基础前提。4.4 小学几何变换的教学必须重视图形及其运动规律这里的基本不图形主要是指线段、角、矩形、正方形圆等图形。突出将一个复杂图形分解为几个基本图形，将一个基本图形分解为为基本元素及其基本关系。在小学几何变换的教学中，重视基本图形及其运动规律，即是获得几何概念、几何事实的必经途径，也是作为几何图形经验、发展空间概念、几何直观的重要手段。思考题 1.在平移、旋转、轴对称变换下，图形的哪些性质变换不发生变化？2.如何理解图形的对称性及其重要性？3.请用折纸的方法折或撕出一个轴对称图形？4.如何理解全等变换之间的关系?对于任意两个全等的图形，能否通过若干次反射，将其中的一个变成另外一个？5.试用折纸的方法做出互相平行的两条折痕，并说明你的做法的合理性。第十章 小学数学中的概率计算研究随机性数量关系的概率计算统计，是20世纪发展最快的学科之一。1959年，我国大学数学系开始设“概率统计”课程。但是，中小学数学课程没有涉及。20世纪80年代初，概率统计和微积分等一度列入中学数学教学大纲，不久又退出大纲。到了20世纪90年代，高中数学教学大纲再次列入概率内容，而课时确很少。直至21世纪的数学课程改革，一举将概率统计作为单独的一个学习领域，和“数与代数”、“几何与图形”等并列，并且从小学开始。这是一个重大的突破。小学数学要研究随机性数学，是一个历史性事件，具有深远的意义。第一节概率统计：公民数学素质的重要组成部分20世纪以来，概率统计知识逐步进入日常社会生活，成为现代公民所应具有的一种数学素质。因而，概率统计常识进入小学数学教学课程，乃是社会发展的必要。1.1日常生活大量涉及不确定性的数量关系所谓不确定性现象，是指在相同的条件下，重复同样的实验或观测，所得的结果不确定，以至于在实验之前无法预测实验结果。我们列举一些儿童们在日常生活中接触的不确定数量关系。l“这场篮球赛，A对赢的可能性较大”。l“坐火车旅游也许比乘飞机旅行更安全”。l 足球比赛用抽签方法决定分组名单，不幸抽到“死亡之组”。l 天气预报：今日降水概率90%。l 某商场实行购物抽奖，中奖面积达三分之一。l 做某事，有九成把握，即成功的可能性是90%。l 设计飞机，可能性是0.9999999。即失败的可能性是千万分之一， 乃是“极不可能”事件。 当社会生活大量出现不确定的现象，而且用数字标志可能性的时候，小学数学包括一些概率统计的内容就是顺理成章的事情了。 有些随机性现象，比较隐蔽。例如，打电话是一个随即事件。电话不是一直这样，出现1的机会共有8个，可能出现的所有情况是20个。因此其概率是 ，即 。 2.1.2 几何概率 在概率论发展的早期，人们就注意到古典概率仅考虑等可能性是不够的。比如，一个圆形转盘分成若干个扇形。转动指针，指针可以随机地落在某个扇形区域内。我们问，落在某区域内的概率是多少？ 如果圆形平均分为 个扇形，那么落在某一个扇形内的可能性都一样，是等可能问题。但是，如果划分的这些扇形的面积大小不同，那么落在各个扇形内的概率就和该扇形在整个圆内所占弟弟面积比例有关了。这就产生了几何概率。 几何概率的基本思想是把事件与几何区域对应，利用几何区域的度量来计算事件发生的概率。假设区域S以及其中任何可能出现的小区域 都是可以度量的，其度量的大小分别用 和 表示。如一维空间的长度，二维空间的面积，三维空间的体积等。事件 发生的概率定义为： 这样计算的概率称为几何概率。 若 是不可能事件，即 为 中的空的区域，其量度大小为0，故其概率 。 在中小学数学中，几何概率的大小局限于与面积大小有关，即事件发生的概率等于此事件所有可能结果所组成的图形的面积除以所有可能结果组成图形的面积。 例如，某教科书七年级下册设置的如下问题就是两道典型的几何概率问题 如图，假设可以随机在图10 4 中取点，那么这个点取在阴影部分的概率是多少？请你重新设计图案，使得这个点取在阴影部分的概率为 。 图10 5是卧室和书房地板的示意图，图中每一块砖除颜色外完全相同，小猫分别在卧室和书房中自由地走来走去，并随意停留在某块方砖上，在哪个房间里，小猫停留在黑砖上的概率大？2.2 实验概率：概率的统计定义等可能性的随机现象，人们比较容易理解。但是，古典概率，也包括集合概率，不能解释许多随机现象。例如，初生婴儿的性别是随机的，凭经验是男女各半，但究竟男女性别发生的概率是不是二分之一，还是靠统计数据来做最后的定论。至于通常所说的“明天降水的概率是90%，我们是根据过去的气象数据推断出来的，并不是等可能性问题。我们说，本校小学生戴眼镜的概率是 ，那也是根据调查得来的数据所作的结论，也和等可能性的理论分析无关。 随着经验积累，人们逐渐认识到，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的概率，总在一个固定数的附近摆动，显示一定的稳定性。于是，我们有如下概率的统计的定义。 定义 在一定条件下，重复做 次试验， 为 次试验中事件 发生的次数，如果随着 逐渐增大，频率 逐渐稳定在某一数值 附近，则数据 称为事件 在该条件下发生的概率，记做 。这个定义也称为频率定义。