高考数学一轮复习 第三章 第3课时 导数的应用（二）极值与最值课件 理.ppt

第三章导数及应用 理解极值的概念 会用导数求多项式函数的极大值 极小值及闭区间上的最大值 最小值或以极值 最值为载体求参数的范围 请注意极值与最值也是高考中的重中之重 每年必考 并且考查形式多样 1 函数的极值 1 设函数f x 在点x0附近有定义 如果对x0附近的所有的点 都有f x f x0 那么f x0 是函数f x 的一个极大值 记作y极大值 f x0 如果对x0附近的所有的点 都有f x f x0 那么f x0 是函数f x 的一个极小值 记作y极小值 f x0 极大值与极小值统称为极值 2 当函数f x 在x0处连续时 判别f x0 是极大 小 值的方法 如果xx0有f x 0 那么f x0 是极大值 如果xx0有f x 0 那么f x0 是极小值 2 求可导函数f x 极值的步骤 1 2 3 检验f x 在方程f x 0的的符号 如果在根的左侧附近为正 右侧附近为负 那么函数y f x 在这个根处取得 如果在根的左侧附近为负 右侧附近为正 那么函数y f x 在这个根处取得 求导数f x 求方程f x 0的根 根左右的值 极大值 极小值 3 函数的最值的概念设函数y f x 在上连续 在内可导 函数f x 在 a b 上一切函数值中的最大 最小 值 叫做函数y f x 的最大 最小 值 4 求函数最值的步骤设函数y f x 在 a b 上连续 在 a b 内可导 求f x 在 a b 上的最值 可分两步进行 1 2 a b a b 求f x 在 a b 内的极值 将f x 的各极值与f a f b 比较 其中最大的一个 是最大值 最小的一个是最小值 1 判断下列说法是否正确 打 或 1 函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的 2 函数的极大值不一定比极小值大 3 导数等于0的点一定是函数的极值点 4 若x0是函数y f x 的极值点 则一定有f x0 0 5 函数的最大值不一定是极大值 函数的最小值也不一定是极小值 6 函数f x xsinx有无数个极值点 答案 1 2 3 4 5 6 2 函数y x3 3x2 9x 2 x 2 有 a 极大值为5 极小值为 27b 极大值为5 极小值为 11c 极大值为5 无极小值d 极大值为 27 无极小值答案c解析y 3x2 6x 9 3 x2 2x 3 3 x 3 x 1 y 0时 x 3或x 1 2 x 2 x 1时 y 5 x 1为极大值点 极大值为5 无极小值 3 函数y 2x3 3x2 12x 5在 0 3 上的最大值 最小值分别是 a 5 15b 5 4c 4 15d 5 16答案a解析 y 6x2 6x 12 0 得x 1 舍去 或2 故函数y f x 2x3 3x2 12x 5在 0 3 上的最值可能是x取0 2 3时的函数值 而f 0 5 f 2 15 f 3 4 故最大值为5 最小值为 15 选a 4 若函数y ex mx有极值 则实数m的取值范围 a m 0b m1d m 1答案b解析y ex m 则ex m 0必有根 m ex 0 5 若函数f x 的导函数f x 的图像 如右图所示 则 a x 1是最小值点b x 0是极小值点c x 2是极小值点d 函数f x 在 1 2 上单调递增答案c解析由导数图像可知 x 0 x 2为两极值点 x 0为极大值点 x 2为极小值点 选c 题型一利用导数研究函数极值 探究1掌握可导函数求极值的步骤 1 确定函数的定义域 2 求方程f x 0的根 3 用方程f x 0的根和不可导点的x的值顺次将函数的定义域分成若干个小开区间 并形成表格 4 由f x 0的根左右的符号以及f x 在不可导点左右的符号来判断f x 在这个根或不可导点处取极值的情况 此步骤不可缺少 f x 0是函数有极值的必要条件 已知函数f x x2 1 2alnx a 0 求函数f x 的极值 思考题1 答案 a0时极小值为a 1 alna 例2已知f x ax5 bx3 c a 0 若f x 在x 1处有极值 且极大值为4 极小值为1 求a b c 思路 显然有f 1 f 1 0 难点区分 x为何值f x 取得极大值 x为何值f x 取得极小值 题型二利用极值求参数值 探究2已知极值求参数值或范围时 关键是利用单调性判断出哪个是极大值点 哪个是极小值点 1 若函数f x x3 3ax2 3 a 2 x 6有极大值又有极小值 则实数a的取值范围是 解析 f x 3x2 6ax 3 a 2 令3x2 6ax 3 a 2 0 即x2 2ax a 2 0 函数f x 有极大值和极小值 方程x2 2ax a 2 0有两个不相等的实根 即 4a2 4a 8 0 a 2或a2或a 1 思考题2 2 已知函数f x x3 3ax2 3x 1 设a 2 求f x 的单调区间 设f x 在区间 2 3 中至少有一个极值点 求实数a的取值范围 例3 2014 衡水中学调研 已知a为实数 且函数f x x2 4 x a 1 求导函数f x 2 若f 1 0 求函数f x 在 2 2 上的最大值 最小值 解析 1 由f x x3 ax2 4x 4a 得f x 3x2 2ax 4 题型三利用导数求函数的最值 探究3 1 求闭区间上可导函数的最值时 对函数极值是极大值还是极小值 可不再作判断 只需要直接与端点的函数值比较即可获得 2 当连续函数的极值点只有一个时 相应的极值点必为函数的最值 已知函数f x lnx ax a r 1 求函数f x 的单调区间 2 当a 0时 求函数f x 在 1 2 上的最小值 思考题3 当ln2 a 1时 最小值为f 2 ln2 2a 综上可知 当0 a ln2时 函数f x 的最小值是 a 当a ln2时 函数f x 的最小值是ln2 2a 题型四利用最值求参数值 答案 1 单调递增区间为 1 e 单调递减区间为 0 1 极小值为1 2 略 3 存在a e2 探究4利用最值求参数的值或范围是高考命题的热点 热度一直不减 常考常新 具有非常旺盛的生命力 一定要引起重视 有时与恒成立问题综合命题 已知函数f x ax3 6ax2 b 是否存在参数a b 使f x 在 1 2 上取得最大值3 最小值 29 若存在 求出a b的值 若不存在 请说明理由 解析 显然a 0 f x 3ax2 12ax 3a x2 4x 令f x 0 得x 0或x 4 舍去 当a 0时 如下表 思考题4 当x 0时 f x 取得最大值 f 0 3 b 3 又f 1 7a 3 f 2 16a 3 最小值f 2 16a 3 29 a 2 当a 0时 如下表 1 函数的最值是整个定义域上的问题 而函数的极值只是定义域的局部问题 2 f x0 0是f x 在x x0处取得极值的必要非充分条件 因为求函数的极值 还必须判断x0两侧的f x 的符号是否相反 3 求f x 的最值应注意在闭区间上研究 还是在开区间上研究 若闭区间上最值问题只需比较端点值与极值即可 若开区间上最值问题 注意考查f x 的有界性 1 设函数f x xex 则 a x 1为f x 的极大值点b x 1为f x 的极小值点c x 1为f x 的极大值点d x 1为f x 的极小值点答案d解析f x x 1 ex 当x 1时 f x 0 所以x 1为f x 的极小值点 故选d 答案b 答案b 答案a 5 已知f x x3 px2 qx的图像与x轴相切于非原点的一点 且f x 极小值 4 那么p q值分别为 a 6 9b 9 6c 4 2d 8 6答案a 6 2014 安徽