综合题研究 代数与图形综合问题(一).doc

综合题研究之代数与图形综合问题（一）【考点知晓】考查内容：代数与图形综合问题重点考查运用函数知识、方程的知识及几何知识.解决综合题的能力，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式，同时还要注意自变量的取值范围，它要求考生具有较强的分析问题的能力，会解答代数与几何的综合问题，具有拉大考生分数差距的作用.考点评说：考查方式多为最后的压轴题，其难度较大，运算量较大，复习时要注意此类题型的训练.【考题漫步】例1（06，长春）P为正比例函数y=x图象上的一个动点，P的半径为3，设点P的坐标为（x，y），（1）求P与直线x=2相切时点P的坐标，（2）请直接写出P与直线x=2相交，相离时x的取值范围.思路分析：先求出O的圆心P到直线x=2的距离，再根据直线和圆的位置关系中的圆心到直线的距离与半径的数量关系进行求解.解：（1）过P作直线x=2的垂线，垂足为A，当点P在直线x=2右侧时，AP=x2=3，得x=5，P（5，）当点P在直线x=2左侧时，PA=2x=3，得x=1，P（1，） 当P与直线 =2相切时，点P的坐标为（5，）或（1，）（2）当1x5时,P与直线x=2相交,当x5时, P与直线x=2相离重要提醒:此题是一个动点问题,将一次函数与直线和圆的位置关系结合考查,学生容易忽略的是考虑点P在直线x=2的左右两边的两种情况触类旁通: (2005年甘肃省)反比例函数y=与一次函数y=x+2的图象交于A、B两点，（1）求A、B两点的坐标；（2）求AOB的面积.解： （1）解方程组得， A、B两点的坐标分别为（2，4）（4，2）（2）直线y=x+2与y轴交点D的坐标是（0，2）.SAOD=22=2，SBOD=24=4， SAOB=2+4=6例2（05南京）在一块长方形镜面玻璃的四周镶上与它的周长相等的边框，制成一面镜子，镜子的长与宽的比是2：1，已知镜面玻璃的价格是每平方米120元，边框的价格是每米30元，另外制作这面镜子还需加工费45元，设制作这面镜子的总费用是y元，镜子的宽是x米.（1）求y与x之间的关系式；（2）如果制作这面镜子共花了195元，求这面镜子的长和宽.思路分析：仔细阅读题目，了解总费用包括镜面玻璃的价格，边框的价格以及加工费，然后用代数式准确表达出来，解：（1）y与x之间的关系式是：y=1202xx+302（2x+x）+45，即y=240x2+180x+45（2）当y=195时，195=240x2+180x+45 解这个方程得：x1=，x2=，x2=不合题意，舍去，当x=时，2x=1.答：这面镜子的长为1m，宽为m重要提醒：这道题难度不大，关键是同学们要明白长方形的面积公式，周长公式，熟练地运用代数式表达数量关系.触类旁通（05黄冈）张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分则刚好能围成一个容积为15米3的无盖长方体运输箱，且此长方体运输箱底面的长比宽多2米，现已知购买了这种铁皮每平方米需20元钱，问张大叔购回这张矩形铁皮共花了多少钱？解：设这种运输箱底部宽为x米，则长为（x+2）米，依题意得： x（x+2）1=15 ， 化简得：x2+2x15=0x1=5（舍去）x2=3这种运输箱底部长为5米，宽为3米，由长方体展开图知：要购买矩形铁皮面积为（5+2）（3+2）=35（m2）做一个这样的水箱要花3520=700元钱.例3（06安徽）汪老师要装修自己带阁楼的新居（右图为新居剖面图），在建造客厅到阁楼的楼梯 AC 时，为避免上楼时墙角F碰头，设计墙角 F 到楼梯的竖直距离 FG为 1 . 75m 他量得客厅高 AB = 2 . 8m，楼梯洞口宽AF=2m., 阁楼阳台宽 EF = 3m 请你帮助汪老师解决下列问题：（1）要使墙角F到楼梯的竖直距离FG为1.75m,楼梯底端C到墙角D的距离CD是多少米？（2）在（1）的条件下，为保证上楼时的舒适感，楼梯的每个台阶小于 20cm，每个台阶宽要大于20cm, 问汪老师应该将楼梯建几个台阶？为什么？思路分析：本题为综合性实际应用题，此类题目要认真分析所给条件，发现ABCGFA从而求出CD的值.第（2）问可由题意列不等式解决问题.解： （1）根据题意得：AFBCACB=GAF，又ABC=AFG=90ABCGFA=是 BC=3.2(m),CD=(2+3)3.2=1.8(m)(2)设楼梯应建n个台阶,则解得:14n15,楼梯应建15个台阶重要提醒:本题为综合运用相似、不等式等知识的实际问题,中考中关于实际经济生活的应用题为一大热点,题目文字多,数据多,数量关系多,因此理解题意,列出不等式方程是关键,往往需要在给出的问题中设计不同的方案,进而比较择优,寻求最佳方案.触类旁通(2005济南)如图，在一个长40m，宽30m的长方形小操场上，王刚从A点出发，沿着A的路线以3m/s的速度跑向C地，当他出发4s后，张华有东西需要交给他，就从A地出发沿王刚走的路线追赶，当张华跑到距B地2m的D处时，他和王刚在阳光下的影子也恰好落在对角线AC上.（1）求他们的影子重叠时，两人相距多少米（DE的长）？（2）求张华追赶王刚的速度是多少（精确到0.1m/s）解: (1)由阳光与影子的性质可知DEAC,BDE=BAC,BED=BCABDEBAC, AC=BD=2(m)= (m), AB=40mDE=(2)BE=2,王刚到达E点所用的时间为张华到达D点所用时间为144=10(s),张华追赶王刚的速度为(40)103.7(m/s)例4(2006旅顺) 已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE（如图），其中AF2，BF1试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积思路分析：要求矩形PNDM的面积，应设DN=x，NP=y，则矩形PNDM的面积S=xy再结合已知找出y与x的关系，代入后便可求解.解：设矩形PNDM的边DN=x，NP=y，则矩形PNDM的面积S=xy（2x4）， 易知CN=4x，EM=4y，且有即：y=x+5S=xy=x2+5x（2x4）此二次函数的图象开口向下，对称轴为x=5当x5时，函数值是随x的增大而增大.对2x4来说，当x=4时，S有最大值，S最大=42+54=12重要提醒：此题综合考查比例线段，二次函数等知识，解决此题的关键在于在AB上找一点P，转变为求PM、PN的长.y xONMC A BP触类旁通（05连云港）如图，将一块直角三角形纸板的直角顶点放在处，两直角边分别与轴平行，纸板的另两个顶点恰好是直线与双曲线的交点（1）求和的值；（2）设双曲线在之间的部分为，让一把三角尺的直角顶点在上滑动，两直角边始终与坐标轴平行，且与线段交于两点，请探究是否存在点使得，写出你的探究过程和结论解：（1）在双曲线上，轴，轴，A，B的坐标分别， 又点A，B在直线上， 解得或 当且时，点A，B的坐标都是，不合题意，应舍去；当且时，点A，B的坐标分别为,符合题意且（2）假设存在点使得 轴，轴，RtRt,设点P坐标为（1x8），则M点坐标为，.又，即方程无实数根，所以不存在点使得 轻松演练：1如图，直线y=2x+2与x轴、y轴分别相交于A、B两点，将AOB绕点O顺时针旋转90得到A1OB1（1）在图中画出A1OB1（2）求经过A、A1、B1三点的抛物线的解析式.解：（1）图略(2)设该抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c由题意知：A、A1、B1三点的坐标分别是（1，0）、（0，1）、（2，0） 解这个方程组得抛物线的解析式是y=2.如图，边长为1的正方形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，将正方形OABC绕点O顺时针旋转30，使点A落在抛物线y=ax2（a0 的图象上，（1）求抛物线y=ax2的函数关系式.（2）正方形OABC继续接顺时针旋转多少度时，点A再次落在抛物线y=ax2的图象上？并求这个点的坐标.解：设旋转后点A落在抛物线上点A1处，OA1=1，过A1作A1Mx轴于M，则OM=，A1M=，A1（，）由A1在y=ax2上，则=a（）2，解得a= y=x2（2）由抛物线关于y轴对称，再次旋转后点A落在抛物线点A2处，点A2与点A1关于y轴对称，因此，再次旋转120，点A2的坐标为（，）3.(05淄博市)如图，在正方形ABCD中，AB=2，E是AD边上一点（点E与点A，D不重合），BE的垂直平分线交AB于点M，交DC于点N，（1）设AE=x，四边形ADMN的面积为S，写出S关于x的函数关系式，ABCDEMN（2）当AE为何值时，四边形ADMN的面积最大？最大值是多少？解：（1）连结ME，设MN交BE于P，根据题意得：MB=ME，MNBE，过点N作NFAB于点F，在RtMBP和RtMNF中，MBP+BMP=90，FNM+BMN=90MBP=MNF，又AB=FN， REBARMNF MF=AE=x在RAME中，由勾股定理得： ME2=AE2+AM2 ， MB2= x2+AM2即（2AM）2= x2+AM2，解得：AM=1四边形ADNM的面积S=，即所求关系式为S=（2）S=第4题图DOCBA4.（2006年兰州）在O的内接ABC中，ABAC=12，ADBC，垂足为D，且AD=3，设O的半径为y，AB的长为x.(1)求y关于x的函数关系式；(2)当AB的长等于多少时，O的面积最大，并求出O的最大面积.解：（1）作直径AE，连结CE，如图所示，则ACE=90，ADBC，ACE=ADB=90又B=EABDAEC 即 整理得y=(2)由（1）知y=，则当x=6时