牛吃草问题概念及公式.doc

牛吃草问题概念及公式牛吃草问题又称为消长问题或牛顿牧场，是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。由于吃的天数不同，草又是天天在生长的，所以草的存量随牛吃的天数不断地变化。解决牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是1) 设定一头牛一天吃草量为“1”1）草的生长速度（对应的牛头数吃的较多天数相应的牛头数吃的较少天数）（吃的较多天数吃的较少天数）；2）原有草量牛头数吃的天数草的生长速度吃的天数；3）吃的天数原有草量（牛头数草的生长速度）；4）牛头数原有草量吃的天数草的生长速度。这四个公式是解决消长问题的基础。由于牛在吃草的过程中，草是不断生长的，所以解决消长问题的重点是要想办法从变化中找到不变量。牧场上原有的草是不变的，新长的草虽然在变化，但由于是匀速生长，所以每天新长出的草量应该是不变的。正是由于这个不变量，才能够导出上面的四个基本公式。 牛吃草问题经常给出不同头数的牛吃同一片次的草，这块地既有原有的草，又有每天新长出的草。由于吃草的牛头数不同，求若干头牛吃的这片地的草可以吃多少天。解题关键是弄清楚已知条件，进行对比分析，从而求出每日新长草的数量，再求出草地里原有草的数量，进而解答题总所求的问题。这类问题的基本数量关系是：1.(牛的头数吃草较多的天数-牛头数吃草较少的天数)（吃的较多的天数-吃的较少的天数)=草地每天新长草的量。2.牛的头数吃草天数-每天新长量吃草天数=草地原有的草。 编辑本段解多块草地的方法多块草地的“牛吃草”问题，一般情况下找多块草地的最小公倍数，这样可以减少运算难度，但如果数据较大时，我们一般把面积统一为“1”相对简单些。 编辑本段、“牛吃草”问题分析【例1】有一块牧场，可供10头牛吃20天，15头牛吃10天，则它可供25头牛吃多少天？A.3 B.4 C.5 D.6 【华图名师姚璐答案】C【华图名师姚璐解析】设该牧场每天长草量恰可供X头牛吃一天，这片草场可供25头牛吃Y天根据核心公式 代入 (200-150)/(20-10)=5 10*20-5*20=100 100/(25-5)=5(天） 例2】有一块牧场，可供10头牛吃20天，15头牛吃10天，则它可供多少头牛吃4天？A.20 B.25 C.30 D.35 【案】C【解析】设该牧场每天长草量恰可供X头牛吃一天，根据核心公式代入 (2010-1510)=5 1020-520=100 1004+5=30(头）【例3】如果22头牛吃33公亩牧场的草，54天后可以吃尽，17头牛吃28公亩牧场的草，84天可以吃尽，那么要在24天内吃尽40公亩牧场的草，需要多少头牛？ A.50 B.46 C.38 D.35 【答案】D【解析】 设每公亩牧场每天新长出来的草可供X头牛吃1天，每公亩草场原有牧草量为Y ，24天内吃尽40公亩牧场的草，需要Z头牛、根据核心公式：，代入，因此 ，选择D【注释】这里面牧场的面积发生变化，所以每天长出的草量不再是常量。下面我们来看一下上述“牛吃草问题”解题方法，在真题中的应用。 【例4】有一个灌溉用的中转水池，一直开着进水管往里灌水，一段时间后，用2台抽水机排水，则用40分钟能排完；如果用4台同样的抽水机排水，则用16分钟排完。问如果计划用10分钟将水排完，需要多少台抽水机？、A.5台 B.6台 C.7台 D.8台 【答案】B【解析】设每分钟流入的水量相当于X台抽水机的排水量，共需Y台抽水机有恒等式： 解 ，得 ，代入恒等式 【例5】有一水池，池底有泉水不断涌出，要想把水池的水抽干，10台抽水机需抽8小时，8台抽水机需抽12小时，如果用6台抽水机，那么需抽多少小时？【北京社招2006】A.16 B.20 C.24 D.28【华图名师姚璐答案】C【解析】设每分钟流入的水量相当于X台抽水机的排水量，共需Y小时 有恒等式：解 ，得 ，代入恒等式 【例6】林子里有猴子喜欢吃的野果，23只猴子可在9周内吃光，21只猴子可在12周内吃光，问如果有33只猴子一起吃，则需要几周吃光？（假定野果生长的速度不变）、A.2周 B.3周 C.4周 D.5周【答案】C【华图名师姚璐解析】设每天新生长的野果足够X只猴子吃，33只猴子共需Y周吃完 有恒等式： 解 ，得 ，代入恒等式 【例7】物美超市的收银台平均每小时有60名顾客前来排队付款，每一个收银台每小时能应付80名顾客付款。某天某时刻，超市如果只开设一个收银台，付款开始4小时就没有顾客排队了，问如果当时开设两个收银台，则付款开始几小时就没有顾客排队了【浙江2006】A.2小时 B.1.8小时 C.1.6小时 D.0.8小时 【璐答案】D【解析】设共需X小时就无人排队了。 例题1、旅客在车站候车室等车,并且排队的乘客按一定速度增加,检查速度也一定,当车站放一个检票口,需用半小时把所有乘客解决完毕,当开放2个检票口时,只要10分钟就把所有乘客OK了 求增加人数的速度还有原来的人数 设一个检票口一分钟一个人 1个检票口30分钟30个人 2个检票口10分钟20个人 (30-20)(30-10)=0.5个人 原有130-300.5=15人 或210-100.5=15人 2、有三块草地，面积分别是5，15，24亩。草地上的草一样厚，而且长得一样快。第一块草地可供10头牛吃30天，第二块草地可供28头牛吃45天，问第三块地可供多少头牛吃80天？这是一道牛吃草问题，是比较复杂的牛吃草问题。把每头牛每天吃的草看作1份。因为第一块草地5亩面积原有草量5亩面积30天长的草1030300份所以每亩面积原有草量和每亩面积30天长的草是300560份因为第二块草地15亩面积原有草量15亩面积45天长的草28451260份所以每亩面积原有草量和每亩面积45天长的草是12601584份所以453015天，每亩面积长846024份所以，每亩面积每天长24151.6份所以，每亩原有草量60301.612份第三块地面积是24亩，所以每天要长1.62438.4份，原有草就有2412288份新生长的每天就要用38.4头牛去吃，其余的牛每天去吃原有的草，那么原有的草就要够吃80天，因此288803.6头牛所以，一共需要38.43.642头牛来吃。两种解法：解法一：设每头牛每天的吃草量为1，则每亩30天的总草量为：10*30/5=60；每亩45天的总草量为：28*45/15=84那么每亩每天的新生长草量为(84-60)/(45-30)=1.6每亩原有草量为60-1.6*30=12，那么24亩原有草量为12*24=288，24亩80天新长草量为24*1.6*80=3072，24亩80天共有草量3072+288=3360，所有3360/80=42(头)解法二：10头牛30天吃5亩可推出30头牛30天吃15亩，根据28头牛45天吃15木，可以推出15亩每天新长草量 (2845-3030)/(45-30)=24；15亩原有草量：1260-2445=180；15亩80天所需牛180/80+24(头)24亩需牛：(180/80+24)*(24/15)=42头草在以均匀的速度生长。四头牛一起吃，120天吃完；九头牛一起吃，45天吃完；十六头牛一起吃，多少天吃完？是不是这种的？我的解答：24天 设 草生长速度v,牛吃草速度x,原有草y 列式如下 4*120x=v*120+y 9*45x=v*45+y 两式相减： x=v 即一只牛吃草得速度和草增长得速度相同 所以求得y=360x 十六头牛一起吃，要吃n天 16*x*n=y+v*n=y+x*n n*15x=360x 所以n=24,需要24天。一片牧草，每天生长速度相同，这片牧草可供27头牛吃6天，可供46头羊吃9天，如果一头牛的吃草量是2只羊的吃草量，那么11头牛和20只羊一起吃，可以吃几天？ 最佳答案牛吃草的关键就是要求出原来有多少草和每天会长多少草，这两个条件一定要求出来。根据条件：一头牛的吃草量是2只羊的吃草量可以设一只羊每天吃1份草，那么一头牛每天就是吃2份草2762=324 份4691=414 份吃9天的比吃6天的多：414-324=90 份，也就是3天长了90份90（9-6）=30 份每天长30份草306=180份是6天总共长了180份，而上面求出6天总共吃了324份，除了长出来的，还有吃的就是原来草地上就有的324-180=144 份原来草地上有144份草现在有11头牛和20只羊，每天一共吃112+201=42份草，而每天又会长30份草。一共有144份草，每天吃42份张30份，假设每天先把长的吃掉，那么144份草，每天就会吃掉42-30=12份，14412=12天就会吃完，所以可以吃12天。完整的过程是：2762=324 份 4691=414 份 414-324=90 份90（9-6）=30 份 306=180份 324-180=144 份112+201=42份 42-30=12份有一个牧场长满早，每天牧草匀速生长。这个牧场可供17头牛吃30天，可供19头牛吃24天。现有若干头牛吃草，6天后，4头牛死亡，余下的牛吃了2天将草吃完。求原有牛的头数。最佳答案 解：设每头牛每天的吃草量为117头牛30天的吃草量为：1730=51019头牛24