趣味数学005：“怎样判断一个数能否被7整除”的道理.doc

有不少网友，对前面“怎样判断一个数能否被7整除”一文很感兴趣，并且问我，所介绍的方法是什么道理。下面就对这个问题做一些比较简要的解释：首先，任何一种方法的出发点，都是要把原来的数变得小一些，但是，无论怎样变，都不能改变原数对7的整除性，也就是说，原数在变小的过程中，减少的部分必须能被7整除。这是一个根本原则。1、去尾相加法：一个自然数，截去它的末位数字之后，再加上末位数字的5倍，如果得数能被7整除，这个自然数就能被7整除。道理是：一个自然数如果能被7整除，除到最后，那时的“被除数”一定是7的倍数，即7、14、21、28、35、42、49、56、63之一。观察发现：去掉这些数的末位数字后，再加上末位数字的5倍，所得的和能被7整除。如，14的末位数字是4，去掉4以后，新的末位数字是1，1加上4的5倍20，得21，21能被7整除。再如，28的末位数字是8，去掉8以后，新的末位数字是2，2加上8的5倍40得42，42能被7整除。再如，63的末位数字是3，去掉3以后，新的末位数字是6，6加上3的5倍15得21，21能被7整除。至于7，本来就是7的倍数，去掉7以后，新的末位数字是0，0加上7的5倍35得35，当然能被7整除。2、去尾相减法：一个自然数，截去它的末位数字之后，再减去末位数字的2倍，如果所得的差能被7整除，这个自然数就能被7整除。道理是：一个自然数如果能被7整除，除到最后，那时的“被除数”一定是7的倍数，即7、14、21、28、35、42、49、56、63之一。观察发现：去掉这些数的末位数字后，再减去末位数字的2倍，所得的差能被7整除。如，14的末位数字是4，去掉4以后，新的末位数字是1，1减去4的2倍8得7，7能被7整除。再如，28的末位数字是8，去掉8以后，新的末位数字是2，2减去8的2倍16得14，14能被7整除。再如，63的末位数字是3，去掉3以后，新的末位数字是6，6减去3的2倍6得0，0能被7整除。至于7，本来就是7的倍数，去掉7以后，新的末位数字是0，0减去7的2倍14得14，当然能被7整除。3、去头相加法：一个自然数(至少有3位)，去掉它的首位数，把首位数的2倍加在其余的数的前两位数上，如果得数能被7整除，这个自然数就能被7整除。道理是：设首位数为a，其余的数为b，原数是10nab，(n2)，后来的数是(2a10n2b)，比原数减少(10nab)(2a10n2b)10na2a10n2(10n210n2)a，因为10n210n2当n2、3、4、时，分别等于98、980、9800、这些数都能被7整除，不影响原数对于7的整除性。4、去头相减法：一个自然数(至少有4位)，去掉它的首位数，把首位数从其余的数的前三位数中减去，如果得数能被7整除，这个自然数就能被7整除。道理是：设首位数为a，其余的数为b，原数是10nab，(n3)，后来的数是(ba10n3)，比原数减少(10nab)(ba10n3)(10n10n3)a，因为(10n10n3)当n3、4、5、时，分别等于1001、10010、100100、这些数都能被7整除，不影响原数对于7的整除性。5、两段相加法：把一个自然数分成两段，末两位数为一段，其余的数为另一段。计算末两位数那段与其余的数那段的2倍之和。如果得数能被7整除，这个自然数就能被7整除。道理是：设末两位数为a，其余的数为b，原数是100ba，后来的数是a2b，比原数减少(100ba)(a2b)98b，98能被7整除，不影响原数对于7的整除性。6、两段相减法：把一个自然数分成两段，末三位数为一段，其余的数为另一段。计算末三位数那段与其余的数那段之差。如果得数能被7整除，这个自然数就能被7整除。道理是：设末三位数为a，其余的数为b，原数就是1000ba，后来的数是ab，比原数减少(1000ba)(ab)1001b，1001能被7整除，不影响原数对于7的整除性。7、三位分节法：一个自然数从个位向左数，3位一节(最后不足3位时也算一节)，右起第一节减第二节、加第三节、减第四节、照这样减加交错，如果得数能被7整除，这个自然数就能被7整除。道理是：设这个自然数(以4节为例)的右起各节分别是a、b、c、d，原数是109d106c103ba，后来的数是abcd，比原数减少(109d106c103ba)(abcd)(1091)d(1061)c(1031)b。因为(1091)1000000001，(1061)999999，(1031)1001，这些数都能被7整除，不影响原数对于7的整除性。8、两位分节法：一个自然数从个位向左，2位一节(最后不足2位时也算一节)，逐节依次用1，2，4，1，2，4，分别乘各节的数再相加，如果得数大于100，继续这样做，直到得数小于100，如果得数能被7整除，这个自然数就能被7整除。道理是：设这个自然数(以4节为例)的右起各节分别是a、b、c、d，原数是106d104c102ba，后来的数是a2b4cd，比原数减少(106d104c102ba)(a2b4cd)(1061)d(1044)c(1022)b。因为(1051)999999，(1044)9996，(1022)98，这些数都能被7整除，所以不影响原数对于7的整除性。9、逐位求和法：一个自然数从个位向左，逐位依次用1、3、2、1、3、2、1、3、2、1、3、2、分别乘各个数位上的数再相加，如果得数能被7整除，这个自然数就能被7整除。道理是：设这个自然数(以7位为例)的右起各位数字分别是a、b、c、d、e、f、g，原数是106g105f104e103d102c10ba，后来的数是a3b2cd3e2fg，比原数减少(106g105f104e103d102c10ba)(a3b2cd3e2fg)(1061)g(1052)f(1043)e(1031)d(1022)c(103)b。因为(1061)999999，(1052)100002，(1043)10003，(1031)1001，(1022)98，(103)7，这些数都能被