高考数学总复习 第2节 证明不等式的基本方法课件 新人教A版选修45.ppt

第二节证明不等式的基本方法 1 了解证明不等式的基本方法 比较法 综合法 分析法 反证法 放缩法 能用比较法 综合法 分析法证明简单的不等式 2 会用数学归纳法证明不等式 一 不等式证明的基本方法1 比较法 1 作差比较法 理论依据 a b a b a b a b 0 证明步骤 作差 得出结论 a b 0 a b 0 变形 判断符号 a b a b 变形 判断与1的大小关系 2 综合法一般地 从出发 利用 等 经过一系列的 而得出命题成立 这种证明方法叫做综合法 综合法又叫和 已知条件 定义 公理 定理 性质 推理 论证 顺推证法 由因导果法 3 分析法证明命题时 从出发 逐步寻求使它成立的 直至所需条件为或 定义 公理或已证明的定理 性质等 从而得出要证的命题成立 这种证明方法叫做分析法 这是一种的思考和证明方法 要证的结论 充分条件 已知条件 一个明显成立的事实 执果索因 综合法和分析法有何内在联系 提示 综合法往往是分析法的相反过程 其表述简单 条理清楚 当问题比较复杂时 通常把分析法和综合法结合起来使用 以分析法寻找证明的思路 而用综合法叙述 表达整个证明过程 4 反证法 1 假设 以此为出发点 结合已知条件 应用等 进行正确的推理 得到和 或已证明的定理 性质 明显成立的事实等 矛盾的结论 以说明假设不正确 从而证明 我们把它称为反证法 2 证明步骤反设 肯定原结论 要证的命题不成立 定义 公理 定理 性质 命题的条件 原命题成立 归谬 5 放缩法 1 证明不等式时 通过把不等式中的某些部分的值或 简化不等式 从而达到证明的目的 我们把这种方法称为放缩法 2 理论依据a b b c ac 放大 缩小 二 数学归纳法证明不等式1 数学归纳法的概念当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时 可以用以下两个步骤 1 证明当时命题成立 2 假设当时命题成立 证明时命题也成立 在完成了这两个步骤后 就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立 这种证明方法称为数学归纳法 n n0 n k k n0 n k 1 2 数学归纳法的基本过程 1 已知x y r m x2 y2 1 n x y xy 则m与n的大小关系是 a m nb m nc m nd 不能确定 2 若 x a m y a n 则下列不等式一定成立的是 a x y 2mb x y 2nc x y n md x y n m 5 已知 a b c a b c r 给出下列不等式 a b c a b c a b c a b c a b c 其中一定成立的不等式是 把所有成立的不等式的序号都填上 答案 1 比较法是证明不等式的一个最基本 最常用的方法 当被证明的不等式两端是多项式 分式或对数式 一般使用作差比较法 当被证明的不等式 或变形后 的两端都是正数且为乘积形式或幂指数形式时 一般使用作商比较法 2 综合法是由因导果 宜于表达 适合人们的思维习惯 但是 要求考生要有较强的观察与变形的能力 分析法是执果索因 利于思考 但是表述格式要求严谨 二者各有所短 相互补充 凡是能用分析法证明的不等式 一定可以用综合法证明 已知a b c d都是实数 且a2 b2 1 c2 d2 1 求证 ac bd 1 思路点拨 本题使用综合法 分析法 比较法都可证明 活学活用 1 已知 a b c 0 求证 ab bc ca 0 放缩法证明不等式 就是利用不等式的传递性进行证明不等关系 即要证a b 只需先证明a p 且p b 其中p的确定是最重要 也是最困难的 要凭借对题意的深刻分析 对式子巧妙变形的能力 以及一定的解题经验 特别提醒 在解答本题的过程中 易出现结论的假设错误 从而导致无法推证 造成这种错误的原因是对结论的理解不到位 活学活用 2 设f x x2 x 13 实数a满足 x a 1 求证 f x f a 2 a 1 证明 f x f a x a x a 1 x a x a 1 x a 1 x a 2a 1 x a 2a 1 1 2 a 1 2 a 1 f x f a 2 a 1 2 使用反证法证明问题时 准确地作出反设 即否定结论 是正确运用反证法的前提 常见的 结论词 与 反设词 列表如下 2012青岛模拟 设二次函数f x x2 px 1 求证 f 1 与 f 1 中至少有一个不小于2 思路点拨 题目中要求证的结论有多种情况 难以一一证明 因而可考虑使用反证法 自主解答 证明 假设 f 1 与 f 1 都小于2 即 f 1 1 p 1 2 p 2 f 1 1 p 1 2 p 2 则4 2 p 2 p 2 p 2 p 4矛盾 假设不成立 原结论成立 与自然数n有关的不等式证明问题 如果用常规方法有困难 可以考虑利用数学归纳法来证明 在利用数学归纳法证明不等式时 在第二步骤中 要注意利用归纳假设 同时 这一步骤往往会涉及到分析法 放缩法等综合手段 思路点拨 由于本问题是含有正整数n的命题 可以考虑用数学归纳法证明 心得 数学归纳法证明中的两个步骤体现了递推思想 第一步是递推的基础 第二步是递推的依据 两个步骤缺一不可 否则就会导致错误 第 1 步中 验算n n0中的n0不一定为1 根