高考数学总复习 第2章 第13节 定积分与微积分基本定理课件 理 新人教A版.ppt

第十三节定积分与微积分基本定理 理 1 了解定积分的实际背景 了解定积分的基本思想 了解定积分的概念 2 了解微积分基本定理的含义 积分下限 积分上限 积分区间 被积函数 x f x dx 2 一般情况下 定积分f x dx的几何意义是介于x轴 曲线f x 以及直线x a x b之间的曲边梯形面积的代数和 图2中阴影所示 其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值 在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数 f b f a 一个函数的导数是唯一的 反过来导函数的原函数唯一吗 提示 一个函数的导数是唯一的 而其原函数则有无穷多个 这些原函数之间都相差一个常数 在利用微积分基本定理求定积分时 只要找到被积函数的一个原函数即可 并且一般使用不含常数的原函数 这样有利于计算 答案 c 答案 b 答案 d 答案 2 特别警示 定义中区间 a b 的分法和 i的取法都是任意的 2 利用微积分基本定理求定积分的步骤 1 把被积函数变为幂函数 正弦函数 余弦函数 指数函数与常数的和或差 2 利用定积分的性质把所求的定积分化为若干个定积分的和或差 3 分别用求导公式找到f x 使得f x f x 4 利用牛顿 莱布尼兹公式求出各个定积分的值 5 计算所求定积分的值 特别警示 求函数f x 在某个区间上的定积分 关键是求函数f x 的一个原函数 正确运用求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系 若原函数不易寻找时 先把f x 进行变形 求下列定积分 1 求由两条曲线围成的图形的面积的解题步骤 1 画出图形 2 确定图形的范围 通过解方程组求出交点的横坐标 定出积分的上 下限 3 确定被积函数 特别要注意分清被积函数的上 下位置 4 写出平面图形面积的定积分的表达式 5 运用微积分基本定理计算定积分 求出平面图形的面积 2 由三条直线x a x b a b x轴 一条曲线y f x f x 0 围成的曲边梯形的面积 如图2 求曲线y x2 直线y x y 3x围成的图形的面积 思路点拨 解 从题图上可以看出物体在0 t 1时做加速运动 1 t 3时做匀速运动 3 t 6时也做加速运动 但加速度不同 也就是说0 t 6时 v t 为一个分段函数 故应分三段求积分才能求出曲边梯形的面积 1 由函数图象或解析几何中曲线围成的曲边图形面积的计算及应用 一般地转化为定积分的计算及应用 但一定要找准积分上限 下限及被积函数 且当图形的边界不同时 要分不同情况讨论来解决 2 对于定积分与函数 方程 不等式等问题的综合题 求解时 除用好定积分的知识外 还要适时地用好涉及到的知识及处理相关问题的规律方法 12分 如图所示 已知曲线c1 y x2与曲线c2 y x2 2ax a 1 交于点o a 直线x t 0 t 1 与曲线c1 c2分别相交于点d b 连接od da ab 1 写出曲边四边形abod 阴影部分 的面积s与t的函数关系式s f t 2 求函数s f t 在区间 0 1 上的最大值 思路点拨 1 曲边四边形分为 abd和曲边三角形odb 求出a b d三点的坐标 可求面积 2 可利用导数求最大值 活学活用 3 已知二次函数f x ax2 bx c 直线 l1 y t2 8t 其中0 t 2 t为常数 l2 x 2 若直线l1 l2与函数f x 的图象以及l1 y轴与函数f x 的图象所围成的封闭图形如图阴影所示 1 求a b c的值 2 求阴影面积s关于t的函数s t 的解析式 错源 定积分几何意义不明致误 纠错 使用定积分表示曲边形面积时 弄错被