高考数学总复习 第6章 第6节 直接证明与间接证明课件 新人教A版.ppt

第六节直接证明与间接证明 1 了解直接证明的两种基本方法 分析法和综合法 了解分析法和综合法的思考过程及特点 2 了解间接证明的一种基本方法 反证法 了解反证法的思考过程及特点 一 直接证明 推理论证 成立 结论 充分条件 综合法和分析法有什么区别和联系 提示 分析法是执果索因 一步步寻求上一步成立的充分条件 仅是充分条件 而不需要充要条件 综合法是由因导果 因此分析法的证明过程 恰好是综合法的分析 思考的逆过程 二 间接证明 反证法假设原命题 经过正确的推理 最后得出矛盾 因此说明 从而证明了 这样的证明方法叫做反证法 不成立 假设错误 原命题成立 解析 根据条件和分析法的定义可知b选项最合理 故选b 答案 b 2 命题 关于x的方程ax b a 0 的解是唯一的 的结论的否定是 a 无解b 两解c 至少两解d 无解或至少两解解析 唯一 的意思是 有且只有一个 其反面应是 无解或至少两解 故选d 答案 d 3 命题 对于任意角 cos4 sin4 cos2 的证明 cos4 sin4 cos2 sin2 cos2 sin2 cos2 sin2 cos2 过程应用了 a 分析法b 综合法c 综合法 分析法综合使用d 间接证明法解析 因为证明过程是 从左往右 即由条件 结论 故选b 答案 b 5 在等比数列 an 和等差数列 bn 中 a1 b1 0 a3 b3 0 a1 a3 则a5与b5的大小关系为 解析 设公比为q 公差为d 则a3 a1q2 b3 b1 2d a1 2d 由a3 b3 2d a1 q2 1 又 a1 a3 q2 1 a5 b5 a1q4 a1 4d a1 q2 1 2 0 a5 b5 答案 a5 b5 1 综合法是 由因导果 它是从已知条件出发 顺着推证 经过一系列的中间推理 最后导出所证结论的真实性 用综合法证明题的逻辑关系是 a b1 b2 bn b a为已知条件或数学定义 定理 公理等 b为要证结论 它的常见书面表达是 或 2 综合法是中学数学证明中常用方法 其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法 证明不等式 x2 y2 z2 xy yz xz 思路点拨 所要证明的不等式左右两边是和的形式 利用不等式a2 b2 2ab 然后再求和即可 自主解答 x2 y2 2xy y2 z2 2yz x2 z2 2xz 2x2 2y2 2z2 2xy 2yz 2xz x2 y2 z2 xy yz xz 1 分析法也是中学数学证明问题的常用方法 其主要过程是从结论出发 逐步寻求使结论成立的充分条件 2 分析法是 执果索因 它是从要证的结论出发 倒着分析 逐渐地靠近已知事实 用分析法证 若p则q 这个命题的模式是 为了证明命题q为真 这只需证明命题p1为真 从而有 这只需证明命题p2为真 从而有 这只需证明命题p为真 而已知p为真 故q必为真 思路点拨 从已知到结论 方向不够明确 因而采用分析法探明解题途径是必要的 1 适宜用反证法证明的数学命题有 1 结论本身以否定形式出现的一类命题 2 关于唯一性 存在性的命题 3 结论以 至多 至少 等形式出现的命题 4 结论的反面比原始结论更具体 更容易研究的命题 5 要证的结论与条件之间的联系不明显 直接由条件推出结论的线索不够清晰 2 用反证法证明问题的一般步骤 1 反设 假定所要证的结论不成立 而设结论的反面 否定命题 成立 否定结论 2 归谬 将 反设 作为条件 由此出发经过正确的推理 导出矛盾 与已知条件 已知的公理 定义 定理及明显的事实矛盾或自相矛盾 推导矛盾 3 结论 因为推理正确 所以产生矛盾的原因在于 反设 的谬误 既然结论的反面不成立 从而肯定了结论成立 结论成立 特别提醒 1 用反证法证明命题时要注意以下两点 反证法必须以否定结论进行推理 即应把结论的反面作为条件 进行推证 否则就不是反证法 反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾 这个矛盾可以与已知条件矛盾 或与假设矛盾 或与定义 公理 定理 事实矛盾等 2 常见的 结论词 与 反设词 如下 活学活用 3 已知a b c是互不相等的实数 求证 由y ax2 2bx c y bx2 2cx a和y cx2 2ax b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点 证明 假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点 即任何一条抛物线与x轴没有两个不同的交点 由y ax2 2bx c y bx2 2cx a y cx2 2ax b 得 1 2b 2 4ac 0 2 2c 2 4ab 0 3 2a 2 4bc 0 同向不等式求和得 4b2 4c2 4a2 4ac 4ab 4bc 0 2a2 2b2 2c2 2ab 2bc 2ca 0 a b 2 b c 2 c a 2 0 a b c 这与题设a b c互不相等矛盾 因此假设不成立 从而命题得证 题眼 分析法与综合法的整合 12分 已知函数f x log2 x 2 a b c是两两不相等的正数 且a b c成等比数列 试判断f a f c 与2f b 的大小关系 并证明你的结论 审题 1 先判断它们的大小 可用特例法 2 用分析法探寻证题思路 3 用综合法完成证明 事实上 取a 1 b 2 c 4 则f a f c f 1 f 4 log23 log26 log218 2f b 2f 2 2log24 log216 于是由log218 log216 猜测f a f c 2f b 要证f a f c 2f b 则只需证log2 a 2 log2 c 2 2log2 b 2 因为f x log2x是增函数 所以log2 a 2 c 2 log2 b 2 2 10分即log2 a 2 log2 c 2 2log2 b 2 故f a f c 2f b 心得 1 综合法和分析法各有其优缺点 分析法利于思考 综合法宜于表达 因此 在实际解题时 常常把分析法和综合法结合起来运用 先以分析