高考数学总复习 第7章 第5节 直线、平面垂直的判定和性质课件 新人教A版.ppt

第五节直线 平面垂直的判定和性质 以立体几何的定义 公理和定理为出发点 认识和理解空间中线面垂直的判定定理与有关性质 一 直线与平面垂直1 直线和平面垂直的定义直线l与平面 内的一条直线都垂直 就说直线l与平面 互相垂直 任意 2 直线与平面垂直的判定定理与性质定理 两条相交直线 a b a b o l a l b l 平行 b a 3 直线和平面所成的角 二 平面与平面垂直1 二面角的有关概念 2 直线和平面垂直的定义两个平面相交 如果所成的二面角是 就说这两个平面互相垂直 直二面角 3 平面与平面垂直的判定定理与性质定理 垂线 l l 交线 l a l a 垂直于同一平面的两平面是否平行 提示 不一定 可能平行也可能相交 1 设l m n均为直线 其中m n在平面 内 则 l 是 l m且l n 的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件解析 当l 时 l m且l n 但当l m l n时 若m n不是相交直线 则得不到l 答案 a 2 已知直线l 平面 直线m 平面 有下列命题 l m l m l m l m 其中正确的命题是 a 与 b 与 c 与 d 与 解析 对 l l 又 m l m 正确 对 l 则l 或l l不一定与m平行 错误 对 l m l m 又m 正确 错误 答案 d 3 在正方体abcd a1b1c1d1中 b1c与对角面dd1b1b所成角的大小是 a 15 b 30 c 45 d 60 答案 b 4 设p是60 的二面角 l 内一点 pa pb a b分别为垂足 pa 2 pb 4 则ab的长是 1 证明直线和平面垂直的常用方法有 2 直线和平面垂直的性质定理可以作为两条直线平行的判定定理 可以并入平行推导链中 实现平行与垂直的相互转化 即线线垂直 线面垂直 线线平行 线面平行 如图 已知pa垂直于矩形abcd所在平面 m n分别是ab pc的中点 若 pda 45 求证 mn 平面pcd 思路点拨 取cd的中点e易证cd me 可推证cd 面mne 问题即得证 活学活用 1 若将例1条件改为 pad为正三角形 且平面pad 平面abcd 四边形abcd为矩形 m n分别是ab pc的中点 试问直线mn与平面pcd是否仍然垂直 四边形afnm为平行四边形 mn af 平面pad 平面abcd cd ad cd 平面pad cd af 又 pad为正三角形 且f为pd的中点 af pd 又pd cd d 则由 知af 平面pdc mn 平面pdc 即直线mn与平面pdc仍然垂直 1 证明平面和平面垂直的方法 1 利用定义证明 只需判定两平面所成的二面角为直二面角即可 2 利用线面垂直的判定定理 此种方法要注意平面内的两条直线必须相交 3 利用线面平行的性质 两平行线中一条垂直于一个平面 另一条也垂直于这个平面 4 利用面面垂直的性质 两平面垂直 在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面 此种方法要注意 平面内的直线 两个相交平面同时垂直于第三个平面 那么它们的交线也垂直于第三个平面 此性质是在课本习题中出现的 在问题不很复杂的题目中 要对此进行证明 以免无谓扣分 5 利用面面平行的性质 一条直线垂直于两平行平面中的一个 必垂直于另一个平面 2 两个平面垂直的性质定理 可以作为直线和平面垂直的判定定理 当条件中有两个平面垂直时 常添加的辅助线是在一个平面内作两平面交线的垂线 3 关于三种垂直关系的转化可结合下图记忆 思路点拨 规范解答 1 ef 平面abc 对位置关系作出判断证明 因为ab 平面bcd 所以ab cd 又在 bcd中 bcd 90 所以bc cd 又ab bc b 所以cd 平面abc 先证明cd 平面abc 再判断cd与ef的关系2分 活学活用 2 如图 四棱锥p abcd中 底面abcd是 dab 60 的菱形 侧面pad为正三角形 其所在平面垂直于底面abcd 1 求证 ad pb 2 若e为bc边的中点 能否在棱pc上找到一点f 使平面def 平面abcd 并证明你的结论 解 1 证明 如图 取ad的中点g 连接pg bg bd pad为等边三角形 pg ad 又 平面pad 平面abcd pg 平面abcd 在 abd中 dab 60 ad ab abd为等边三角形 bg ad ad 平面pbg ad pb 2 连接cg de 且cg与de相交于h点 在 pgc中作hf pg 交pc于f点 连接df fh 平面abcd 平面dhf 平面abcd h是cg的中点 f是pc的中点 在pc上存在一点f 即为pc的中点 使得平面def 平面abcd 高考中对直线与平面所成的角及二面角的考查是热点之一 有时在客观题中考查 更多的是在解答题中考查 求这两种空间角的步骤 根据线面角的定义或二面角的平面角的定义 作 找 出该角 再解三角形求出该角 步骤是作 找 认 指 求 在客观题中 也可用射影法 三棱锥p abc中 pc ac bc两两垂直 bc pc 1 ac 2 e f g分别是ab ac ap的中点 1 证明 平面gfe 平面pcb 2 求二面角b ap c的正切值 思路点拨 自主解答 1 证明 因为e f g分别是ab ac ap的中点 所以ef bc gf cp 因为ef gf 平面pcb 所以ef 平面pcb gf 平面pcb 又ef gf f 所以平面gfe 平面pcb 活学活用 3 ab为圆o的直径 点e f在圆上 ab ef 矩形abcd所在平面与圆o所在平面互相垂直 已知ab 2 ef 1 1 求证 bf 平面daf 2 求bf与平面abcd所成的角 3 若ac与bd相交于点m 求证 me 平面daf 解 1 ab为圆o的直径 bf af 又 平面abcd 圆o面 且平面abcd 圆o面 ab da ab da 圆面o bf 圆面o da bf da af a 所以bf 平面adf 在所有距离中 点到面的距离是最基本的 其他距离都可转化为点到面的距离求解 求点到面的距离可分为两类方法 一类是先作出垂线段 再求出其值 另一类是通过计算得出垂线段的长 如图 在直三棱柱abc a1b1c1中 acb 90 ac bc a d e分别为棱ab bc的中点 m为棱aa1上的点 二面角m de a为30 1 证明 a1b1 c1d 2 求ma的长 并求点c到平面mde的距离 思路点拨 1 可证ab c1d 需证ab 平面cc1d 2 一种办法是转化为求点a到平面mde的距离 作出点a到平面mde的垂线段 另一办法是利用等体积法 自主解答 1 证明 连接cd 三棱柱abc a1b1c1是直三棱柱 cc1 平面abc cd为c1d在平面abc内的射影 abc中 ac bc d为ab中点 ab cd ab c1d a1b1 ab a1b1 c1d 2 解法一 过点a作ce的平行线 交ed的延长线于f 连接mf d e分别为ab bc的中点 de ac 又 af ce ce ac af de ma 平面abc af为mf在平面abc内的射影 mf de 题眼 立体几何中的探索性问题 12分 如图所示 四边形abcd为矩形 ad 平面abe ae eb bc f为ce上的点 且bf 平面ace 1 求证 ae be 2 设m在线段ab上 且满足am 2mb 试在线段ce上确定一点n 使得mn 平面dae 审题 1 通过线面垂直证明线线垂直 2 这是一道探索性问题 先确定点n的位置 再进行证明 要注意解题的方向性 通过寻找到的条件 证明mn 平面dae成立 满分展示 解 1 证明 ad 平面abe ad bc bc 平面abe 则ae bc 2分又 bf 平面ace ae bf ae 平面bce 又be 平面bce ae be 5分 mg 平面ade 同理 gn 平面ade 又 gn mg g 平面mgn 平面ade 10分又mn 平面mgn mn 平面ade n点为线段ce上靠近c点的一个三等分点 12分 答题样板 对于探索类问题 书写步骤的格式有两种 一种是 第一步 探求出点的位置 第二步 证明