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1 自动控制原理课后习题答案 第一章 略 第二章 2 1 试分别写出图 2 68 中各无源电路的输入 ur t 与输出 uc t 之间的微分方程 图 2 68 习题 2 1 图 解 a 1 1 rc uu i R 2 rc C uui 12 2 c u ii R 12122 121212 ccrr R RR RR CuuCuu RRRRRR b 11 rc C uui 1 2 1 r uu i R 122 1 iiC u 121c ui Ru 121211122112121121 cccrrr RR CC uRCRCR C uuRR CC uRCR C uu c 1 1 rc uu i R 112 r C uui 1 12 2 u ii R 11 2 1 c ui dtu C 121212222112122221 cccrrr RR CC uRCR CR C uuRR CC uR CR C uu 2 2 试证明图 2 69 a 所示电路与图 2 69 b 所示的机械系统具有相同的微分方程 图 2 69 b 中 Xr t 为输入 Xc t 为输出 均是位移量 a b 图 2 69 习题 2 2 图 解 2 a 1 1 rc uu i R 12 rc C uui 12 iii 2 2 1 c uidtiR C 121211122212121122 cccrrr RR CC uRCRCR C uuRR CC uRCR C uu b 212 1 c B xxK x 1121 rcrcc B xxK xxB xx 121221212 121211212 cccrrr B BBBBB BBB xxxxxx K KKKKK KKK 2 3 试分别求出图 2 70 中各有源电路的输入 ur t 与输出 uc t 之间的微分方程 a b c 图 2 70 习题 2 3 图 解 a 12 cr r uu Cu RR 2 2 1 crr R uR Cuu R b 12 cr c uu Cu RR 2 2 1 ccr R R Cuuu R c 2 11 1 rr c uu uRdt RCR 12crr RCuR Cuu 2 4 某弹簧的力 位移特性曲线如图 2 71 所示 在仅存有小扰动的情况下 当工作点分别 为 x0 1 2 0 2 5 时 试计算弹簧在工作点附近的弹性系数 3 图 2 71 习题 2 4 图 解 设力f与位移x的关系为f g x 取增量方程 0 x dg x fx dx x0 1 2 0 2 5 0 x dg x dx 为工作点处的弹性系数 分别从曲线中量出为 302016 60 20 8 0 512 2 5 设某系统的传递函数为 G s 在初始条件为零时 施加输入测试信号 r t t t 0 测得其输出响应为 c t 1 sin t 2 e 2t t 0 试确定该系统的 G s 解 2 1 s sR 2 2 1 11 2 sss sC 22 2533 23 234 sss ssss sG 2 6 系统的微分方程组如下 d d d d d d 5443 5 5534223 11 1 21 tc t tc TtxKtxK t tx tcKtxtxtxtxKtx txK t tx txtctrtx 其中 K1 K2 K3 K4 K5 T 均为正常数 试建立系统 r t 对 c t 的结构图 解 4 2 7 系统的微分方程组如下 t tc t tc txKtnNNKtxtx x t tx Ttxtxtx txKtxtntctrtx d d d d d d 2 2 502245 3 4 523 11211 其中 K0 K1 K2 T 均为正常数 试建立系统结构图 解 2 8 图 2 72 是一个模拟调节器的电路图 试写出输入与输出之间的微分方程 并建立该调 节器的结构图 图 2 72 习题 2 8 图 解 a 1 1 rc uu i R 1 1 2 1 1 dt du C R u i 3 1 2 R u i dti C u 2 2 2 1 54 2 R u R u c rccc uuu RR CRRR u R CCRRR 52 2431 5 21431 5 2 9 图 2 73 是一个转速控制系统 输入量是电压 ua 输出量是负载的转速 试写出其输 入输出间的微分方程 并画出系统的结构图 图 2 73 习题 2 9 图 解 a e a aaaa K dt di LRiu aid iKM B dt d JMd a eei a aa eiei a u KKK BR BLJR KKKK JL1 1 1 2 10 某机械系统如图 2 74 所示 质量为 m 半径为 R 的均质圆筒与弹簧和阻尼器相连 通 过轴心 假定圆筒在倾角为 的斜面上滚动 无滑动 试求出其运动方程和结构图 图 2 74 习题 2 10 图 6 2 11 试化简图 2 75 中各系统结构图 并求传递函数 C s R s a b c 图 2 75 习题 2 11 图 解 a 12221 3221 1 HGHGG GGGG sG b 2111 2121 1 1 HHHG HHGG sG 7 c 143214432321332 4321 1 HGGGGHGGHGGGHGG GGGG sG 2 12 已知系统结构如图 2 76 所示 试将其转换成信号流图 并求出 C s R s a b 图 2 76 习题 2 12 图 解 a 21212211 21 1 HHGGHGHG GG sG b 2211 21 1 HGHG GG sG 2 13 系统的信号流图如图 2 77 所示 试用梅逊公式求 C s R s a b 图 2 77 习题 2 13 图 解 a Ksss K sG 5 05 3 5 0 23 b 214212451321121 246514321 1 1 HHGGGHGGGGGGHGG HGGGGGGGG sG 2 14 试梅逊公式求图 2 78 所示结构图的传递函数 C s R s 8 a b 图 2 78 习题 2 14 图 解 a 321 25212112 4 1 GGG HGGHGGHG G sG b 2121 2121 31 2 GGGG GGGG sG 2 15 已知系统结构图如图 2 79 所示 试写出系统在输入 R s 及扰动 N s 同时作用下输出 C s 的表达式 图 2 79 习题 2 15 图 解 HGGGGGHGGG sNHGGGGGGGHGsRHGGGGG sC 32131221 2431421223121 1 1 1 1 2 16 系统的结构如图 2 80 所示 1 求传递函数 C1 s R1 s C2 s R1 s C1 s R2 s C2 s R2 s 2 求传递函数阵 G s 其中 C s G s R s C s 2 1 sC sC R s 2 1 sR sR 9 图 2 80 习题 2 16 图 解 1 1 1 11 8751325 25321 1 1 sG GGGHGHG HGGGG sR sC 1 21 8751325 7651 1 2 sG GGGHGHG GGGG sR sC 1 12 8751325 9543 2 1 sG GGGHGHG GGGG sR sC 1 1 22 8751325 13654 2 2 sG GGGHGHG HGGGG sR sC 2 2221 1211 sGsG sGsG sG 2 17 已知系统结构图如图 2 81 所示 1 试求传递函数 C s R s 和 C s N s 2 若要消除干扰对输出的影响 即 C s N s 0 试问应如何选取 G0 s 图 2 81 习题 2 17 图 10 解 1 1 321 321 TssKKK KKK sR sC 1 321 430321 TssKKK sKKsGKKK sN sC 2 21 4 0 KK sK sG 3 1 已知系统的单位阶跃响应为 0 2 1 0 16 teetc tt00 21 试求 1 系统的闭环传递函数 s 2 阻尼比 无自然振荡频率 n 解 1 由 c t 得系统的单位脉冲响应为 tt eetg 1060 1212 60070 600 60 1 12 10 1 12 2 ssss tgLs 2 与标准 22 2 2 nn n s s 对比得 5 24600 n 429 1 6002 70 3 2 设图 3 36 a 所示系统的单位阶跃响应如图 3 36 b 所示 试确定系统参数 1 K 2 K和 a a b 11 图 3 36 习题 3 2 图 解 系统的传递函数为 22 2 1 2 21 2 1 1 2 1 nn n s K Kass KK K ass K ass K sW 又由图可知 超调量 431 33 p M 峰值时间 0 1 p ts 代入得 2 2 1 1 2 1 0 1 3 1 2 KK e K n n 解得 2 13ln 33 0 3 33 1 10 2 n 89 1108 2 1 n K 98 213 3333 022 n a 3 2 KK 3 3 给定典型二阶系统的设计性能指标 超调量 p 5 调节时间 s t3 s 峰值时间1 p ts 试确定系统极点配置的区域 以获得预期的响应特性 解 设该二阶系统的开环传递函数为 2 2 n n G s s s 12 则满足上述设计性能指标 1 1 3 3 05 0 2 1 2 n p n s p t t e 得 69 0 1 n 2 1 n 由上述各不等式得系统极点配置的区域如下图阴影部分所示 3 4 设一系统如图 3 37 所示 a 求闭环传递函数 C s R s 并在 S 平面上画出零极点分布图 b 当 r t 为单位阶跃函数时 求 c t 并做出 c t 与 t 的关系曲线 图 3 37 习题 3 4 图 解 a 系统框图化简之后有 2 35 2 35 2 25 25 0 2 2 jsjs s ss s sR sC 13 jsz 2 35 2 2 11 零极点分布图如下 b 若 r t为单位阶跃函数 1 L r t s 则 2222 22 22 2 35 2 35 35 2 2 35 35 81 35 8 4 35 1 4 35 35 8 35 8 4 35 1 4 35 2 2 35 2 35 21 ss s s ss s s sss jsjs s s sC tttc 2 35 sin 35 2 2 35 cos 35 8 35 8 大致曲线图略 3 5 已知二阶系统的闭环传递函数为 22 2 nn n ss sR sC 2 分别在下述参数下确定闭环极点的位置 求系统的单位阶跃响应和调整时间 1 2 n 1 s5 2 1 2 n 1 s5 3 说明当 1 5 时 可忽略其中距原点较远的极点作用的理由 解 1 1 闭环极点35101 2 2 1 nn s 14 2520 25 2 sssR sC sW sss sRsWsC 1 2520 25 2 32 5 1 1 1 2 1 n T 32 5 1 2 T 346346 1 11 1 32 5 32 5 2112 21 ttT t T t ee TT e TT e tc 66 18 34 1 21 ss59 13 12 ss t t e e tc 34 1 32 5 07735 11 346 1 sts29 2 2 1 2 1 闭环极点44 0561 2 2 1 nn s 2520 25 2 sssR sC sW 44 02 1 5 1 1 T 44 02 1 5 1 2 T 1 44 02 1 44 02 1 1 44 02 1 44 02 1 1 11 1 44 02 1 5 44 02 1 5 2112 21 ttT t T t ee TT e TT e tc 68 244 056 1 s 32 9 2 s st n s 2 1 7 12 145 6 5 1 7 145 6 1 3 答 1 5 时 25 155 71 2 2 1 nn s 91 1 1 s 09 13 2 s 15 585 6 12 ss 两个闭环极点的绝对值相差 5 倍以上 离原点较远的极点对应的暂态分量初值小 衰减快 是距离虚轴较近的极点暂态分量衰减速度的 5 倍以上 因此可以忽略掉 3 6 设控制系统闭环传递函数为 22 2 2 nn n ss sG 试在 S 平面上绘出满足下列各要求的系 统特征方程式根可能位于的区域 1 1 0 707 n 2 2 0 5 0 4 n 2 3 0 707 0 5 n 2 3 7 一种测定直流电机传递函数的方法是给电枢加一定的电压 保持励磁电流不变 图 3 38 习题 3 7 图 1200r min的稳态转速 而达到该值 50 的时间为 1 2s 试求电机传递函数 提示 注意 sV s as K 其中 dt d t 单位是rad s 解 由式 sV s as K 可得 11 10 1 1 11010 assa K s a s a K sas K sV as K s 1 1 10 0 T t at ee a K t 0 2 1 0 5 0 1 2 1 a e5 0 1 2 1 a e 测出电机的稳态转速 另外要记录电动机从静止到速度升 为稳态值的 50 或 63 2 所需的时间 利用转速时间曲线 见图 3 38 和所测数据 并假设传递函数为 ass K sV s sG 可求得K和a的值 若实测结果是 加 10V 电压可得 16 58 0 2 1 2ln a srr a K 20min1200 10 0 16 1 10 2058 0 10 0 a k 电机传递函数为 58 0 16 1 ssass K sV s sG 3 8 系统的特征方程式如下 要求利用劳斯判据判定每个系统的稳定性 并确定在右半 s 平面其 根的个数及纯虚根 1 02233 3 ssss 24 2 0200 30 02 3 sss 2 3 04422 345 1011 2 sssss 4 025262 61 250 1 234 ssss 答案 1 劳斯表如下 2 74 237 23 231 0 1 2 3 4 s s s s s 劳斯表第一列元素的符号变化两次 系统有两个正实部根 系统不稳定 2 劳斯表如下 20 31 203 0 102 0 0 1 2 3 s s s s 劳斯表第一列元素的符号变化两次 系统有两个正实部根 系统不稳定 3 劳斯表如下 17 10 52338 105223 620 10442 1121 0 1 2 3 4 5 s s s s s s 劳斯表第一列元素的符号变化两次 系统有两个正实部根 系统不稳定 4 劳斯表如下 0 1 2 3 4 2552 0 2625 1 256 21 0 s s s s s 劳斯表第一列元素符号没有变化 所以系统有两个正根 系统稳定 3 9 有一控制系统如图 3 39 所示 其中控制对象的传递函数是 1 1 sss sG 0 21 0 1 采用比例控制器 比例增益为 Kp 试利用劳斯判据确定 Kp值的范围 图 3 39 习题 3 9 图 解 12 0 11 0 sss K sG p 特征方程为 03 0002 0 23 p KssssD 劳斯表如下 p p p Ks K s Ks s 0 1 2 3 3 0 002 03 0 3 0 1002 0 18 要使系统稳定只需 0 0 3 0 002 03 0 p p K K 解得 1500 p K 3 10 某控制系统的开环传递函数为 1 1 1 sTss sK sHsG 2 试确定能使闭环系统稳定的参数 K T 的取值范围 解 由系统开环传函可知 0 1 2 2 1 12 1 23 KsKsTTs sKsTsssD 劳斯表如下 Ks T TKK s KTs KTs 0 1 2 3 2 2 1 2 2 12 由劳斯准则可知 欲使系统稳定 则第一列元素符号不能改变 若第一列元素均大于 0 即 0 02 1 2 02 0 K TKK T T 解得0 K TKK 1 1 2 当K 1 时 1 1 2 0 K K T 当10 K时 0 T 3 11 设单位反馈系统的开环传递函数分别为 1 1 1 5 sss sK sG 2 1 5 sss K sG 试确定使闭环系统稳定的开环增益 的取值范围 注意 K K 19 解 1 0 1 8 02 0 23 KsKsssD 劳斯表如下 Ks K s Ks Ks 0 1 2 3 0 4 43 8 0 12 0 解得 使闭环系统稳定的开环增益 的取值范围 3 4 K 2 08 02 0 23 KssssD 由于特征方程出现小于零的系数 可知无论开环增益 取何值闭环系统都不稳定 3 12 设单位反馈系统的开环传递函数为 1 1 63sss K sG 若要求闭环特征方程的根的实部均小于 问 值应取在什么范围 如果要求实部均小于 2 情 况又如何 解 由反馈系统的开环传函 6 3 18 6 1 3 1 sss K ss s K sG 018189 23 KssssD 1 令1 zs 得 0101836 18 1 18 1 9 1 23 23 Kzzz KzzzzD 劳斯表如下 1018 6 1828 10186 31 0 1 2 3 Kz K z Kz z 欲使系统稳定 则第一列元素符号不能改变 大于零 01018 01828 K K 得 9 14 9 5 K 20 2 令2 zs 得 081863 18 2 18 2 9 2 23 23 Kzzz KzzzzD 如果要求实部均小于 2 由特征方程可见 06 2 a 系统稳定的必要条件不成立 无论K取 何值 系统都不稳定 3 13 单位反馈系统的开环传递函数为 4 2 22 sss sG 1 求系统的单位阶跃响应 2 输入信号为 r t 1 t 求系统的误差函数 e t 解 1 开环传递函数 22 4 2 sss sG 闭环传递函数 2 2 4 4 22 4 22 sssss sW 单位阶跃响应 22 1 2 2 4 2 3210 2 s KsK s K s K sss sC 1 0 K 3 1 1 K 3 2 32 KK 2 2 3 2 23 2 2 1 3 11 2 1 3 2 2 3 1 1 222 ss s sss s ss sC ttetc t 2sin 3 2 2cos 3 2 3 1 1 2 2 不考虑扰动作用 1 ttr 15 0 2 2 sss sG 21 0 1 1 1 1 lim 0 p ssr s p K e sGK 3 14 某控制系统的结构图如图 3 40 所示 1 当 a 0 时 试确定系统的阻尼比 无阻尼自然振荡频率 nn和单位斜坡信号作用时系统的稳 态误差 图 3 40 习题 3 14 图 解 1 当 a 0 时 2 8 ss sG 82 8 2 ss sW 8 n 8 1 2 2 n 4 lim 0 ssGK s v 单位斜坡信号作用时系统的稳态误差25 0 1 v ssr K e 2 当 0 707时 82 8 ass sG 8 82 8 2 sas sW 8 n a n 8248 2 2 22 得25 0 a 4 8 ss sG 2 lim 0 ssGK s v 单位斜坡 信号作用时系统的稳态误差5 0 1 v ssr K e 3 此时 2 Kass K sG KsKas K sW 2 2 4 2 lim 0 Ka K ssGK s v KaK n 2 2 2 22 联立上两式解得 32 K 16 3 a 2 当系统具有最佳阻尼比 0 707 时 确 定系统中的a值和单位斜坡信号作用时系统的稳态误 差 3 若要保证系统具有最佳阻尼比 0 707 且稳态误差等于 0 25 时 确定系统中的 a 值及前向 通道的放大系数应为多少 22 3 15 已知单位反馈系统闭环传递函数为 102 65 11 25 234 ssss bsb sR sC 01 1 求单位斜坡输入时 使稳态误差为零 参数 b0 b1应满足的条件 2 在 1 求得的参数 b0 b1下 求单位抛物线输入时 系统的稳态误差 解 1 等效单位负反馈开环传递函数 01 234 01 10 6 2 1 525 1 bsbsss bsb sG 根据单位斜坡输入时 稳态误差为 0 得 6 2 10 1 0 b b 即开环传递函数为 1 525 1 106 2 22 sss s sG 2 单位抛物线输入时 1 5 10 1 525 1 106 2 lim lim 22 2 0 2 0 sss ss sGsKa ss 10 1 5 a ssr K C e 图 3 41 习题 3 16 图 解 1 参考作用下的误差传递函数为 12 4 1 1 1 1 0 sR ss sR sG sEsN r 稳态误差为 25 0 1 42 2 lim lim 22 2 00 sss ss sssEe s r s ssr 或 3 16 系统结构图如图 3 41 所示 1 当 r t t n t t 时 试求系统总稳态误差 2 当 r t 1 t n t 0 时 试求 pp t 23 25 0 1 4 12 4 lim lim 00 v ssr ss v K e ss sssGK 扰动作用下的误差传递函数为 12 4 1 1 1 1 0 sN ss sN sG sEsR n 稳态误差为 25 0 1 42 2 lim lim 22 2 00 sss ss sssEe s n s ssn 系统总误差为 0 ssnssrss eee 2 当 r t 1 t n t 0 时 12 4 ss sG 22 2 22 225 0 2 42 4 1 nn n ssssssSG sG sW 解得 24 1 2 n 31 1 100 2 ee p 31 4 32 1 12 1 2 n tp 3 17 设单位反馈控制系统的开环传递函数为 10 1 100 ss sG 24 试求当输入信号 r t 2 21tt 时 系统的稳态误差 解 系统为 I 型系统 100 11 0 100 lim lim 00 ss sssGK ss v 0 ap KK 02 00 1 avp ss K C K B K A e 3 18 在许多化学过程中 反应槽内的温度要保持恒定 图 3 42 a b 分别为开环和闭环温 度控制系统结构图 两种系统正常的K值为 1 a b 图 3 42 习题 3 18 图 1 若 1 ttr 0 tn两种系统从响应开始达到稳态温度值的 63 2 各需多长时间 2 当有阶跃扰动1 0 tn时 求扰动对两种系统的温度的影响 解 1 开环 1 101 C sR s s 达到稳态温度值的 62 3 需时10T 闭环 1 0 11 C sR s s 达到稳态温度值的 62 3 需时0 1T 2 开环 1 101 C sN s s 闭环 1 10100 C sN s s 各项指标不变 又解 can t 0 1 加干扰后对系统始终有影响 25 cbn t 0 1e 10t 加干扰后 当 t 趋于无穷时 对系统没有影响 结论 反馈结构可以消除干扰的影响 4 1 如果单位反馈控制系统的开环传递函数 1 s K sG 试用解析法绘出 K 从零向无穷大变化时的闭环根轨迹图 并判断下列点是否在根轨迹上 2 j0 0 j1 3 j2 解 根轨迹如习题 4 1 答案图所示 2 j0 在根轨迹上 0 j1 3 j2 不在根轨 迹上 习题 4 1 答案图 4 2 设单位反馈控制系统的开环传递函数 12 13 ss sK sG 试用解析法给出开环增益 K 从零增加到无穷时的闭环根轨迹图 解 解析法 K 0 时 s 1 2 0 K 1 s 1 2 2 K s 1 3 根轨迹如习 题 4 2 答案图所示 习题 4 2 答案图 26 4 3 已知系统的开环传递函数 1 1 ss sK sHsG 试按根轨迹规则画出该系统的根轨 迹图 并确定使系统处于稳定时的 K 值范围 解 分离点 0 414 会合点 2 414 与虚轴交点 j 稳定的 K 值范围 K 1 根轨迹如习题 4 3 答案图所示 习题 4 3 答案图 4 4 已知一单位反馈系统的开环传递函数为 2 4 1 1 sss K sG 1 试粗略画出 K 由 0 到 的根轨迹图 2 分析该系统的稳定性 解 稳定性分析 系统不稳定 根轨迹如习题 4 4 答案图所示 10 505 8 6 4 2 0 2 4 6 8 Root Locus Real Axis Imaginary Axis 27 习题 4 4 答案图 4 5 设控制系统的开环传递函数为 164 1 1 2 ssss sK sHsG 试绘制系统根轨 迹图 并确定使系统稳定的开环增益范围 解 渐近线 60 180 2 3 复数极点出射角55 分离会合点 0 46 和 2 22 与虚轴交点 1 57 和 2 56 使系统稳定的开环增益为 1 46 K 2 23 即 23 4 K 35 7 习题 4 5 答案图 4 6 已知系统的特征方程为 0 4 3 1 3 1 2 sKssss 试概略绘出 K 由 0 时的根轨迹 计算出必要的特征参数 解 渐近线 90 0 分离点 2 相应 K 1 88 会合点 j3 46 相应 K 34 14 复数 零点入射角90 无论 K 为何值系统均不稳定 28 习题 4 6 答案图 4 7 反馈系统的特征方程为 0 160 123 234 KsKsss 作出 0 K 的根轨迹 并求出系统稳定时所对应的 K 值范围 解 渐近线 60 180 2 3 复数极点出射角 63 分离点 1 6 会合点 3 43 由图可知系统在任何 K 值下都是不稳定的 习题 4 7 答案图 4 8 已知闭环系统的特征方程为0 1 2 sKass 1 画出 a 10 时的根轨迹 并说明系统的过渡过程为单调变化和阻尼振荡时 K 的取值范 围 2 确定根轨迹具有一个非零分离点的 a 值 并画出相应的根轨迹 3 在 2 中确定的 a 值下 求闭环传递函数具有二重极点时所对应的 K 值 4 画出 a 5 时的根轨迹 当 K 12 时 已知一个闭环极点为 s1 2 问该系统能否等效 为一个二阶系统 解 1 渐近线 90 4 5 会合点 2 5 分离点 4 阻尼振荡时 K 的取 值范围为 0 31 3 32 呈单调变化时 K 的取值范围为 31 3 32 29 习题 4 8 1 答案图 2 具有一个非零分离点的 a 9 习题 4 8 2 答案图 3 a 9 时 闭环二重极点 s1 2 3 对应的 K 27 4 渐近线 90 2 不能等效 画出 a 5 时的根轨迹 5 4 5 4 3 5 3 2 5 2 1 5 1 0 50 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 Root Locus Real Axis Imaginary Axis 习题 4 8 4 答案图 4 9 设单位反馈系统的开环传递函数为 ass K sG 试绘出 K 和 a 从零变到无穷大时的根轨迹簇 当 K 4 时 绘出以 a 为参变量的根轨迹 解 令 a 0 绘制 K 为参变量的根轨迹如习题 4 9 答案图之一所示 30 习题 4 9 答案图之一 当 K 取不同值时 绘出 a 变化的根轨迹簇如习题 4 9 答案图之二所示 当 K 4 时 画 a 从零到无穷大时的根轨迹如图中粗线示 习题 4 9 答案图之二 4 10 设单位反馈系统的开环传递函数为 1 1 sTss K sG 其中开环增益 K 可自行选定 试分析时间常数 Ta对系统性能的影响 解 重做该题 等效开环传递函数 2 2 1 T ss G s ssK 当 K 时 G s 具有实数极点 取任何正实数 Ta系统都是稳定的 选择 K 0 1 画根 轨迹如习题 答案图之一所示 31 1 4 1 2 1 0 8 0 6 0 4 0 20 0 2 0 15 0 1 0 05 0 0 05 0 1 0 15 0 2 Root Locus Real Axis Imaginary Axis 习题 答案图之一 当 K 时 G s 具有复数极点 取 K 0 5 1 2 画根轨迹如习题 答案图之二 所示 当 0 K 1 时 取任何正实数 Ta都是稳定的 当 Ta 1 时 K 2 否则系统不稳定 1 8 1 6 1 4 1 2 1 0 8 0 6 0 4 0 20 0 8 0 6 0 4 0 2 0 0 2 0 4 0 6 0 8 Root Locus Real Axis Imaginary Axis 32 1 8 1 6 1 4 1 2 1 0 8 0 6 0 4 0 20 1 0 8 0 6 0 4 0 2 0 0 2 0 4 0 6 0 8 1 Root Locus Real Axis Imaginary Axis 1 8 1 6 1 4 1 2 1 0 8 0 6 0 4 0 200 2 1 5 1 0 5 0 0 5 1 1 5 Root Locus Real Axis Imaginary Axis 习题 答案图之二 4 11 设控制系统中 1 2 ss K sG 1 sH 该系统在增益 K 为任何正值时 均不稳 定 试画出该系统的根轨迹图 利用作出的根轨迹图 说明在负实轴上加一个零点 将 G s 改变为 G1 s 即 10 1 2 1 a ss asK sG 可以使系统稳定下来 解 1 渐近线 60 180 1 3 画出根轨迹如习题 答案图之一所示 2 取 a 0 5 渐近线 90 a 1 2 画出根轨迹如习题 答案图之二所示 从图中可以看出 增加开环零点后使得根轨迹向 s 左半平面弯曲 从而使得闭环系统的稳定 33 性得到提高 习题 答案图之一 习题 答案图之二 4 12 设控制系统开环传递函数为 4 2 1 2 sss sK sG 试分别画出正反馈系统和负反 馈系统的根轨迹图 并指出它们的稳定情况有何不同 解 负反馈系统 渐近线 60 180 5 3 与虚轴交点 s 1 414 K 12 根轨 迹如习题 答案图之一所示 正反馈系统 渐近线 0 120 5 3 根轨迹如习题 答案图之二所示 稳定情况的不同 正反馈系统恒不稳定 负反馈系统条件稳定 稳定范围 0 K 12 习题 答案图之一 习题 答案图之二 4 13 已知系统如图 4 23 所示 画出其根轨迹 并求出当闭环共轭复数极点呈现阻尼比 0 707 时 系统的单位阶跃响应 34 图 4 23 习题 4 13 图 解 0 707 时系统的闭环极点为 s1 2 2 j2 s3 2 此时 K 2 根轨迹如习题 答案 图所示 当闭环共轭复数极点呈现阻尼比为 0 707 时系统的单位阶跃响应为 2 2 1 2e2ecos 245 tt c tt 习题 答案图 画一张响应曲线图 求 c t 已知 16 2 22 22 C s s ssjsj 35 4 14 系统的开环传递函数为 5 0 2 52 2 ss ssK SHsG 1 绘制系统的根轨迹图 2 确定系统稳定时 K 的取值范围 3 若要求系统单位阶跃响应的超调量为 16 3 确定相应的 K 值 解 1 分离点 0 41 K 0 24 复数零点入射角 200 与虚轴交点 j1 25 根轨迹如习 题 答案图所示 2 稳定时的 k 的范围是 0 2 K 0 75 3 单位阶跃响应的超调量为 16 3 时 K 的值为 0 311 习题 答案图 4 15 已知系统的信号流图如图 4 24 所示 且可变系数 1 证明该系统实轴以外部分的参数根轨迹为半圆周 2 完整准确地画出系统的参数根轨迹 3 以根轨迹为依据 求出满足系统阻尼比 0 5 时的 值 图 4 24 习题 4 15 图 解 1 证明略 2 会合点 s 1 复数极点出射角 180 根轨迹如习题 答案图所示 3 0 5 时的 0 999 36 习题 答案图 4 16 设控制系统如图 4 25 所示 试概略绘出 Kt 0 0 Kt 1 时的根轨迹和单位阶 跃响应曲线 若取 Kt 0 5 试求出 K 时的闭环零极点 并估算出系统的动态性能 图 4 25 习题 4 16 图 解 1 Kt 0 时的根轨迹和单位阶跃响应曲线如习题 答案图之一所示 习题 答案图之一 响应曲线不对 已知 2 K C s s ssK 请选 K 0 5 做响应曲线 此时 0 707 37 2 0 Kt 1 取 Kt 2 时 根轨迹和单位阶跃响应曲线如习题 答案图之三所示 习题 答案图之三 响应曲线重画 已知 2 2 K C s s ssK Ks 请选 K 1 做响应曲线 39 4 闭环极点 2 闭环零点 无 可等效为一阶系统 时间常数 T 0 5 估算系统性能 0 ts 3T 1 5s 4 17 系统结构如图 4 26 所示 1 试求当 K 从 0 时系统 C s N s 的根轨迹图 2 若 N s 1 s 讨论 K 值大小对输出响应的影响 图 4 26 习题 4 17 图 解 1 复数零点的入射角为 0 K 0 特征根为一对共轭复数 系统稳定 根轨迹曲线如 习题 答案图所示 1 0 9 0 8 0 7 0 6 0 5 0 4 0 3 0 2 0 10 1 0 8 0 6 0 4 0 2 0 0 2 0 4 0 6 0 8 1 Root Locus Real Axis Imaginary Axis 习题 答案图 2 K 值大小对输出响应的影响 K 值小时 大 t s长 5 1 某系统的单位阶跃响应为 c t 1 e t e 2t e 4t 试求系统的频率特性 解 2 38s 8 G s 1 2 4 s sss 将 s j 代入 得 2 3 8 8 1 2 4 jj G j jjj 5 2 设系统传递函数为 1 1 1 2 sT sTK sR sC 40 当输入信号 r t Asin t 时 试求系统的稳态输出 解 系统的稳态输出为 2 2 21 2 1 1 sin arctan arctan 1 ss AKT CttTT T 5 3 画出下列传递函数的 Bode 图 1 G s 1 1 2 1 sT sT T1 T2 0 2 G s 1 1 2 1 sT sT T1 T2 0 3 G s 1 1 2 1 sT sT T1 T2 0 解 答案见胡寿松主编 自动控制原理习题集 Page709 B5 13 5 4 画出下列传递函数对数幅频特性的渐近线和相频特性曲线 1 G s 18 12 2 ss 2 G s 16 1 50 22 ssss 3 G s 1 0 2 0 10 2 ss s 4 G s 254 1 1 0 8 22 sssss s 解 对数幅频特性的渐近线和相频特性曲线如习题 5 4 1 5 4 4 答案图所示 60 40 20 0 20 Magnitude dB 10 3 10 2 10 1 10 0 10 1 180 135 90 45 0 Phase deg Bode Diagram Frequency rad sec 200 100 0 100 200 Magnitude dB 10 3 10 2 10 1 10 0 10 1 10 2 450 360 270 180 Phase deg Bode Diagram Frequency rad sec 习题 5 4 1 答案图 习题 5 4 2 答案图 41 50 0 50 100 150 Magnitude dB 10 2 10 1 10 0 10 1 200 195 190 185 180 Phase deg Bode Diagram Frequency rad sec 150 100 50 0 50 Magnitude dB 10 4 10 3 10 2 10 1 10 0 10 1 10 2 360 270 180 90 0 Phase deg Bode Diagram Frequency rad sec 习题 5 4 3 答案图 习题 5 4 4 答案图 5 5 系统开环传递函数如下 试绘制极坐标曲线 并用奈魁斯特判据判别其闭环系统的 稳定性 1 G s H s 2 1000 1 5 15 s sss 2 G s H s 50 250 2 ss 3 G s H s 12 0 11 0 15 0 5 sss s 解 1 稳定 2 不稳定 3 稳定 极坐标曲线如习题 5 5 1 5 5 3 答案图所示 第 1 题重做 习题 5 5 1 答案图 42 1 0 9 0 8 0 7 0 6 0 5 0 4 0 3 0 2 0 10 1 0 8 0 6 0 4 0 2 0 0 2 0 4 0 6 0 8 1 Nyquist Diagram Real Axis Imaginary Axis 1 0 8 0 6 0 4 0 200 20 40 60 81 20 15 10 5 0 5 10 15 20 Nyquist Diagram Real Axis Imaginary Axis 习题 5 5 2 答案图 习题 5 5 3 答案图 5 6 给定系统的开环传递函数 G s H s 2 1 10 sss 试绘制系统的极坐标图 并用奈魁斯特判据判断闭环系统的稳定性 解 极坐标曲线如习题 5 6 答案图所示 Z 2 闭环系统不稳定 8 7 6 5 4 3 2 10 100 80 60 40 20 0 20 40 60 80 100 Nyquist Diagram Real Axis Imaginary Axis 习题 5 6 答案图 5 7 给定系统的开环传递函数 43 G s H s 1 1 ss sK K 0 试用奈魁斯特判据判断闭环系统的稳定性 解 极坐标曲线如习题 5 7 答案图所示 Z 1 闭环系统不稳定 1 0 500 511 52 25 20 15 10 5 0 5 10 15 20 25 Nyquist Diagram Real Axis Imaginary Axis 习题 5 7 答案图 5 8 已知系统结构如图 5 61 a 所示 其中 G1 s 的频率特性如图 5 61 b 所示 T 试用奈魁斯特稳定判据分析该系统的稳定性 a b 图 5 61 习题 5 8 图 解 2 1 1 s G s Ts Z 2 闭环系统不稳定 此处加一个习题答案图 习题 5 8 答案图 44 5 9 某无源 RLC 网络如图 5 62 所示 当 10 时 其幅值 A 1 相角 90 试求其传 递函数 G s 图 5 62 习题 5 9 图 解 2 1 1 G s CLsRCs 如设 C 0 1 f 则 102 1 G s 100 11 s s 5 10 某单位反馈系统的开环传递函数为 G s H s 1 1 21 sTsTs K 其中T1 0 1秒 T2 10秒 开环对数幅频特性如图5 63所示 设对数幅频特性斜率为 20dB dec 的线段的延长线与零分贝线交点的角频率为 10 弧度 秒 试问 1 系统中 K 2 剪切频率 c 3 系统是否稳定 4 分析系统参数 K T1 T2变化时对系统稳定性的影响 图 5 63 习题 5 10 图 解 1 K 10 2 c 1 3 系统临界稳定 属于不稳定 4 系统稳定性变差 T1 T2 减小 对系统稳定性有利 其中 T2的减小效果更显著 5 11 最小相位系统开环幅频特性如图 5 64 所示 试求其传递函数 并作出相应的相频 特性 45 图 5 64 习题 5 11 图 解 a 10 1 G s s b 31 6 101 1001 s G s ss c 2 0 5 21 0 51 s G s ss d 2 62 5 1 1 056 25 s G s s ss 或 2 1 0 1 2 0 211 2 52 5 s G s ss s 5 12 试求图 5 65 所示具有纯延时环节控制系统稳定时的 K 的范围 图 5 65 习题 5 12 图 解 稳定范围 0 K 1 9 c d 0 1 10 20dB dec 10 20dB dec 0 0 1 0 5 2 20dB dec 40dB dec 40dB dec 20dB dec 20 28 40 1 2 5 0 1 a b 0 L dB L dB L dB L dB 0 01 0 1 20dB dec 40dB dec 46 5 13 设单位反馈控制系统的开环传递函数 1 G s 2 1 s as 试确定使相角裕度等于 45 的a值 2 G s 3 101 0 s K 试确定使相角裕度等于 45 的 K 值 解 1 a 0 84 2 K 2 83 5 14 设单位负反馈系统的开环传递函数为 17 13 1 sss K sG 求幅值裕度为 20dB 时的 K 值 解 K 1 52 其中0 722 g 5 15 设系统结构如图 5 66 所示 试用奈魁斯特判据判别系统的稳定性 并求出其稳定 裕度 其中 K1 0 5 G s 1 2 s 图 5 66 习题 5 15 图 解 系统闭环稳定 g 1 5 180 5 16 设一负反馈系统的开环传递函数 G s 100 200 2 sss 若使系统的幅值裕度为 20 分贝 开环放大倍数 K 应为何值 此时相角裕度为多少 解 开环放大倍数 K 0 1 相角裕度90 5 17 对于典型二阶系统 已知参数3 n 0 7 试确定剪切频率 c 和相角裕度 解 9 4 2 G s s s 1 944 c 65 16 5 18 一控制系统的结构如图 5 67 所示 其中 47 G1 s 18 1 10 s s G2 s 120 8 4 ss 试按其闭环幅频特性曲线估算系统的阶跃响应性能指标 及 ts 图 5 67 习题 5 18 图 解 20 ts 1 17 11 ts 2 8 第六章习题 6 1 解 方法一方法一 原系统的截止频率为 44 16rad s 相稳定裕度为 180 90 arctan4 416 12 76 截止频率和相角裕度均不满足要求 需加入串联超前校正 选择校正网络的传递函数为 Ts aTs KsGc 1 1 取校正后系统的截止频率srad c 52 相角裕度 50 则 Ta c 1 6 2lg10lg20 aK 50 1 1 arctan11 a a 由上述 3 式的 64 0 01 0 4 4 KTa 101 0 11 0 104 0 128 sss s sGsGc 校正后系统的截止频率为srad c 53 相角裕度 5 49 满足要求 方法二方法二 按二阶系统最佳模型设计 设校正后系统的开环传递函数为 1 Tss K sG 则闭环系统的传递函数为 48 22 2 22 2 1 nn n ssTKTss TK KsTs K s 令50 K 707 0 由T n 12 TK n 2 得01 0 T 即 101 0 50 ss sGsGc 101 0 11 0 4 1 s s sGc 易验证该校正环节满足要求 6 2 解 本题可首先检验系统得性能指标 针对系统在性能上的缺陷并结合校正网络的作用 选用合 适的校正网络 再按相应的步骤确定校正网络的参数 1 根据稳定误差要求 确定系统的 K 值 K ss K ssGssK ss v 100 14