高三数学总复习 （回顾+突破+巩固+提升作业） 第三章 第七节 正弦定理和余弦定理课件 文.ppt

第七节正弦定理和余弦定理 正弦定理与余弦定理 b2 c2 2bccosa c2 a2 2cacosb a2 b2 2abcosc 2rsina 2rsinb 2rsinc a b c 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 在 abc中 a b必有sina sinb 2 正弦定理对直角三角形不成立 3 在 abc中共有三个角 三个边六个量 可以已知三个量求另外三个量 4 余弦定理对任意三角形均成立 5 正弦定理可以实现边角互化 但余弦定理不可以 解析 1 正确 由正弦定理可得又sinb 0 sina sinb 2 错误 正弦定理对任意三角形均成立 3 错误 当已知三个角时不能求三边 4 正确 由余弦定理推导过程可知对任意三角形均适用 5 错误 余弦定理可以实现角化边 也能实现边化角 答案 1 2 3 4 5 1 在 abc中 a 3 a 30 b 60 则b等于 解析 选a 由正弦定理得 2 在 abc中 则边c等于 解析 选b 由余弦定理得 c 2 3 abc满足acosb bcosa 则 abc的形状为 a 直角三角形 b 等边三角形 c 等腰三角形 d 等腰直角三角形 解析 选c 由acosb bcosa及正弦定理得 sinacosb sinbcosa 即sinacosb cosasinb 0 故sin a b 0 a b为 abc的内角 a b 0 a b 所以 abc是等腰三角形 4 在 abc中 b 30 c 120 则a b c 解析 a 180 30 120 30 由正弦定理得 答案 5 在 abc中 已知a2 b2 bc c2 则角a等于 解析 由已知得b2 c2 a2 bc 又答案 考向1正弦定理的应用 典例1 1 2013 唐山模拟 在 abc中 则b 2 2013 惠阳模拟 已知a b c分别是 abc的三个内角a b c所对的边 若则sinc等于 3 2013 西安模拟 在 abc中 角a b c所对的边分别为a b c 若求a的值 若求sinc的值 思路点拨 1 利用正弦定理求解即可 2 先求出b 再利用正弦定理求a 进而得sinc 3 利用两角和的正弦公式化为特殊角的三角函数值 利用正弦定理及同角三角函数关系式求解 规范解答 1 选c 由正弦定理可得 又或 2 选a 由a c 2b且a b c 得由正弦定理得又 a b a b sinc 1 3 因为所以又 因为所以在 abc中 由正弦定理得 3sinc sin a c sinacosc cosasinc解得又sin2c cos2c 1 sin2c 8sin2c 1 又 互动探究 在本例 2 中 若条件不变 将结论 则sinc等于 改为 则 abc的面积等于 则结果如何 解析 选c 由例 2 知故 abc为直角三角形 所以 拓展提升 1 已知两边和其中一边的对角时解三角形的情况已知两边和其中一边的对角 解三角形时 注意解的情况 如已知a b a 则有两解 一解 无解三种情况 2 解三角形中的常用公式和结论 1 a b c 2 sin a b sinc cos a b cosc tan a b tanc 3 三角形中等边对等角 大边对大角 反之亦然 三角形中任意两边之和大于第三边 任意两边之差小于第三边 变式备选 2013 岳阳模拟 如图 在 abc中 点d在bc边上 ad 33 1 求sin abd的值 2 求bd的长 解析 1 因为所以因为所以因为 abd adc bad 所以sin abd sin adc bad sin adccos bad cos adcsin bad 2 在 abd中 由正弦定理 得所以 考向2余弦定理的应用 典例2 1 2013 台州模拟 在 abc中 2a c cosb bcosc 则角b等于 2 2013 济南模拟 已知 abc中 sina sinb sinc 3 2 4 则cosc等于 3 在 abc中 角a b c所对的边分别为a b c 且满足则边a 思路点拨 1 利用余弦定理转化为边的关系后再利用余弦定理求解 2 利用已知条件及正弦定理得a b c的关系 再利用余弦定理求解 3 利用已知可得cosa及b c的值 再利用余弦定理求a 规范解答 1 选c 由 2a c cosb bcosc及余弦定理得得a2 c2 b2 ac 又 0 b 2 选b 由sina sinb sinc 3 2 4 及得a b c 3 2 4 设a 3k b 2k c 4k k 0 则 3 选c 因为所以由得bccosa 3 所以bc 5 由bc 5 及b c 6 解得或由余弦定理得a2 b2 c2 2bccosa 20 解得 互动探究 若将本例题 3 中的改为如何求a 解析 由得故又由得故由正弦定理得 拓展提升 正 余弦定理间的相互转化在应用正 余弦定理解题时 应注意公式的灵活性 尤其要注意两个定理间的相互转化 如a2 b2 c2 2bccosa可以转化为sin2a sin2b sin2c 2sinbsinccosa 利用这些变形可进行等式的化简与证明 变式备选 在 abc中 a b c分别是角a b c的对边 且 1 求角b的大小 2 若求a c的值 解析 1 由余弦定理及得 整理得a2 c2 b2 ac 2 由余弦定理得b2 a2 c2 2accosb 又 ac 3 由得或即a 1 c 3或a 3 c 1 考向3利用正 余弦定理判断三角形的形状 典例3 1 2013 哈尔滨模拟 在 abc中 若sina 2sinbcosc 则 abc是 a 锐角三角形 b 等腰三角形 c 钝角三角形 d 直角三角形 2 在 abc中 a b c分别为内角a b c的对边 且2asina 2b c sinb 2c b sinc 求a的大小 若sinb sinc 1 试判断 abc的形状 思路点拨 1 将sina转化为sin b c 展开可求解 2 利用正弦定理化角为边 再结合余弦定理可解 先求出sinb sinc的值再求出角b c 可判断三角形的形状 规范解答 1 选b 由sina sin b c 得sin b c 2sinbcosc 所以sinbcosc cosbsinc 2sinbcosc 即sinbcosc cosbsinc 0 所以sin b c 0 又b c为 abc的内角 所以b c 0 即b c 故 abc为等腰三角形 2 由已知及正弦定理得2a2 2b c b 2c b c 整理得a2 b2 c2 bc b2 c2 a2 bc 又 由 得sin2a sin2b sin2c sinbsinc 又sinb sinc 1 得因为故所以 abc是等腰的钝角三角形 拓展提升 1 三角形形状的判断思路 1 若出现边与边的关系时主要看是否有等边或是否符合勾股定理等 2 若出现角与角的关系时主要是看是否有等角 有无直角或钝角等 2 判定三角形形状的两种常用途径 1 通过正弦定理或余弦定理 化边为角 利用三角变换得出三角形内角之间的关系后进行判断 2 利用正弦定理或余弦定理 化角为边 通过代数恒等变换 求出边与边之间的关系后进行判断 提醒 判断三角形形状时一定要注意解是否唯一 并注重挖掘隐含条件 另外在变形过程中要注意角a b c的范围对三角函数值的影响 变式训练 1 在 abc中 则 abc的形状为 a 直角三角形 b 等腰三角形 c 等边三角形 d 等腰直角三角形 2 abc中 已知a b ccosb ccosa 则 abc的形状为 a 等腰三角形 b 直角三角形 c 等腰直角三角形 d 等腰或直角三角形 3 abc中 若b asinc c acosb 则 abc的形状为 a 等腰三角形 b 直角三角形 c 等腰直角三角形 d 等腰或直角三角形 解析 1 选b 方法一 asina bsinb 由正弦定理得 a2 b2 a b abc为等腰三角形 方法二 asina bsinb 由正弦定理可得2rsin2a 2rsin2b sina sinb a b或a b 不合题意舍去 故 abc为等腰三角形 2 选d 由已知结合余弦定理可得整理得 a b a2 b2 c2 0 a b或a2 b2 c2 abc为等腰三角形或直角三角形 3 选c 由c acosb可知整理得b2 c2 a2 abc是直角三角形 且a 90 又由b asinc 得 b c abc是等腰直角三角形 满分指导 解正 余弦定理综合题的解题规范 典例 12分 2012 江苏高考 在 abc中 已知 1 求证 tanb 3tana 2 若求a的值 思路点拨 规范解答 1 由得即为cbcosa 3cacosb 2分bcosa 3acosb 由正弦定理得sinbcosa 3sinacosb 3分两边同除cosacosb得tanb 3tana 即tanb 3tana成立 5分 2 因为所以c为锐角 所以tanc 2 由 1 知tanb 3tana 且a b c 得tan a c 3tana 6分即即 8分所以tana 1或 10分因tanb 3tana 由内角和为 知两角均为锐角 故应舍去 所以tana 1 所以 12分 失分警示 下文 见规范解答过程 1 2013 萍乡模拟 在 abc中 角a b c所对的边分别为a b c 若acosa bsinb 则sinacosa cos2b等于 解析 选d 根据正弦定理 由acosa bsinb 得sinacosa sin2b sinacosa cos2b sin2b cos2b 1 2 2012 湖南高考 在 abc中 则bc边上的高等于 解析 选b 设ab c bc边上的高为h 由余弦定理得ac2 c2 bc2 2bc ccos60 即7 c2 4 4ccos60 即c2 2c 3 0 c 3 又 3 2012 湖北高考 设 abc的内角a b c所对的边分别为a b c 若三边的长为连续的三个正整数 且a b c 3b 20acosa 则sina sinb sinc的值为 a 4 3 2 b 5 6 7 c 5 4 3 d 6 5 4 解析 选d 由题意知 a b 1 c b 1 整理得7b2 27b 40 0 解得b 5或 舍去 可知a 6 c 4 由正弦定理得sina sinb sinc a b c 6 5 4 4 2012 福建高考 在 abc中 已知则ac 解析 由正弦定理 得则答案 5 2013 巢湖模拟 已知在 abc中 角a b c所对的边分别为a b c 若且sinc cosa 1 求角a b c的大小 2 设函数求函数f x 的单调递增区间 并指出它相邻两对称轴间的距离 解析 1 由题设及正弦定理知 得sin2a sin2b 2a 2b或2a 2b 即a b或当a b时 有sin 2a cosa 即得当时 有即不符合题设 2 由 1 及题设知 当时 为增函数 即的单调递增区间为 k z 它的相邻两对称轴间的距离为 1 在 abc中 若2acosb c 则的取值范围是 解析 选c 由2acosb c得2sinacosb sinc sin a b 即2sinacosb sinacosb cosasinb 即sinacosb cosa