高考数学总复习 第1章 第2节 命题及其关系、充分条件与必要条件课件 新人教A版.ppt

第二节命题及其关系 充分条件与必要条件 1 理解命题的概念 2 了解 若p 则q 形式的命题及其逆命题 否命题与逆否命题 会分析四种命题的相互关系 3 理解充分条件 必要条件与充要条件的意义 一 命题在数学中用语言 符号或式子表达的 可以的陈述句叫做命题 其中的语句叫真命题 的语句叫假命题 判断真假 判断为真 判断为假 二 四种命题及其关系1 四种命题 2 四种命题的相互关系 3 四种命题的真假关系 1 两个命题互为逆否命题 它们有的真假性 2 两个命题互为逆命题或互为否命题 它们的真假性 相同 没有关系 一个命题的 否命题 与 否定 是同一个命题吗 提示 不是 命题的否命题既否定命题的条件又否定命题的结论 而命题的否定仅是否定命题的结论 三 充分条件与必要条件1 如果p q 则p是q的 q是p的 2 如果p q q p 则p是q的 充分条件 必要条件 充要条件 1 2011山东高考 已知a b c r 命题 若a b c 3 则a2 b2 c2 3 的否命题是 a 若a b c 3 则a2 b2 c2 3b 若a b c 3 则a2 b2 c2 3c 若a b c 3 则a2 b2 c2 3d 若a2 b2 c2 3 则a b c 3 解析 根据一个命题的否命题的构成 即将条件和结论均否定 因此所求命题的否命题是 若a b c 3 则a2 b2 c2 3 答案 a 2 理用 2011福建高考 若a r 则 a 2 是 a 1 a 2 0 的 a 充分而不必要条件b 必要而不充分条件c 充要条件d 既不充分又不必要条件 解析 由 a 1 a 2 0 得a 1或a 2 所以a 2 a 1 a 2 0 而由 a 1 a 2 0不一定推出a 2 故a 2是 a 1 a 2 0的充分而不必要条件 答案 a 2 文用 2011福建高考 若a r 则 a 1 是 a 1 的 a 充分而不必要条件b 必要而不充分条件c 充要条件d 既不充分又不必要条件解析 由 a 1 得a 1 a 1 a 1 而a 1 a 1 即a 1是 a 1的充分不必要条件 答案 a 3 命题 若x 1或x 6 则 x 1 x 6 0 的逆否命题是 a 若x 1或x 6 则 x 1 x 6 0b 若x 1且x 6 则 x 1 x 6 0c 若 x 1 x 6 0 则x 1或x 6d 若 x 1 x 6 0 则x 1且x 6 解析 首先根据命题 若p则q 的逆否命题为 若綈q 则綈p 排除a b 再根据命题 p且q 的否定是 綈p或綈q 命题 p或q 的否定是 綈p且綈q 可知c错误 d正确 答案 d 4 i j是不共线的单位向量 若a 5i 3j b 3i 5j 则a b的充要条件是 解析 a b a b 0 即 5i 3j 3i 5j 0 即15i2 16i j 15j2 0 i j 1 16i j 0 即i j 0 i j 答案 i j 5 给定下列命题 若k 0 则方程x2 2x k 0有实数根 若x y 8 则x 2或y 6 矩形的对角线相等 的逆命题 若xy 0 则x y中至少有一个为0 的否命题 其中真命题的序号是 解析 4 4 k 4 4k 0 k 1 是真命题 其逆否命题为真 故 是真命题 逆命题 对角线相等的四边形是矩形 是假命题 否命题 若xy 0 则x y都不为零 是真命题 答案 1 命题真假的判定对于命题真假的判定 关键是分清命题的条件与结论 只有将条件与结论分清 再结合所涉及的知识才能正确地判断命题的真假 2 四种命题的关系的应用掌握原命题和逆否命题 否命题和逆命题的等价性 当一个命题直接判断它的真假不易进行时 可以转而判断其逆否命题的真假 分别写出下列命题的逆命题 否命题 逆否命题 命题的否定 并判断它们的真假 1 若q 1 则方程x2 2x q 0有实根 2 若x y都是奇数 则x y是偶数 3 若xy 0 则x 0或y 0 4 若x2 y2 0 则x y全为0 思路点拨 自主解答 1 原命题是真命题 逆命题 若方程x2 2x q 0有实根 则q 1 为真命题 否命题 若q 1 则方程x2 2x q 0无实根 为真命题 逆否命题 若方程x2 2x q 0无实根 则q 1 为真命题 命题的否定 若q 1 则方程x2 2x q 0无实根 为假命题 2 原命题是真命题 逆命题 若x y是偶数 则x y都是奇数 是假命题 否命题 若x y不都是奇数 则x y不是偶数 是假命题 逆否命题 若x y不是偶数 则x y不都是奇数 是真命题 命题的否定 若x y都是奇数 则x y不是偶数 是假命题 3 原命题为真命题 逆命题 若x 0或y 0 则xy 0 是真命题 否命题 若xy 0 则x 0且y 0 是真命题 逆否命题 若x 0且y 0 则xy 0 是真命题 命题的否定 若xy 0 则x 0且y 0 是假命题 4 原命题为真命题 逆命题 若x y全为0 则x2 y2 0 为真命题 否命题 若x2 y2 0 则x y不全为0 为真命题 逆否命题 若x y不全为0 则x2 y2 0 为真命题 命题的否定 若x2 y2 0 则x y不全为0 是假命题 特别提醒 当一个命题有大前提而写出其他三种命题时 必须保留大前提 大前提不动 活学活用 1 写出下列命题的逆命题 否命题和逆否命题 并判断其真假 1 若x y 5 则x 3且y 2 2 已知a b c d是实数 若a b c d 则a c b d 解 1 逆命题 若x 3且y 2 则x y 5 真命题 否命题 若x y 5 则x 3或y 2 真命题 逆否命题 若x 3或y 2 则x y 5 假命题 2 原命题 已知a b c d是实数 若a b c d 则a c b d 其中 已知a b c d是实数 是大前提 a与b c与d都相等 是条件p a c b d 是结论q 所以逆命题 已知a b c d是实数 若a c b d 则a与b c与d都相等 假命题 否命题 已知a b c d是实数 若a与b c与d不都相等 则a c b d 假命题 逆否命题 已知a b c d是实数 若a c b d 则a与b c与d不都相等 真命题 充分条件与必要条件的两种判断方法见下表 思路点拨 1 先分清命题的条件与结论 2 分析由前者能否推出后者 由后者能否推出前者 也可利用反例来推证 特别提醒 从集合的角度理解 小范围可以推出大范围 大范围不能推出小范围 解决此类问题一般是把充分条件 必要条件或充要条件转化为集合之间的关系 然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解 思路点拨 可以直接求綈p 綈q的命题转化为集合运算 也可以利用綈p 綈q的逆否命题再转化为集合运算 活学活用 3 设命题p 4x 3 2 1 命题q x2 2a 1 x a a 1 0 若綈p是綈q的必要不充分条件 求实数a的取值范围 1 证明充要性首先要分清谁是条件 谁是结论 在这里要注意两种说法 p是q的充要条件 与 p的充要条件是q 前者p是条件 后者q是条件 2 证明分为两个环节 一是充分性 即由条件推结论 二是必要性 即由结论推条件 证明时 不要认为它是推理过程的 双向书写 而应该进行由条件到结论 由结论到条件的两次证明 12分 求证关于x的方程ax2 2x 1 0至少有一个负根的充要条件是a 1 综上知 若方程ax2 2x 1 0至少有一个负根则a 1 10分故关于x的方程ax2 2x 1 0至少有一个负根的充要条件是a 1 12分 活学活用 4 求证 关于x的方程ax2 bx c 0有一个根为1的充要条件是a b c 0 证明 1 必要性 即 若x 1是方程ax2 bx c 0的根 则a b c 0 x 1是方程的根 将x 1代入方程 得a 12 b 1 c 0 即a b c 0 2 充分性 即 若a b c 0 则x 1是方程ax2 bx c 0的根 把x 1代入方程的左边 得a 12 b 1 c a b c a b c 0 x 1是方程的根 综合 1 2 知命题成立 错源 充分必要条件颠倒致误若p a r a 1 q 关于x的二次方程x2 a 1 x a 2 0的一个根大于零 另一个根小于零 则p是q的a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件 纠错 解答本题易出现的错误是颠倒了充分条件和必要条件 把充分条件当成必要条件而致误 正解 p a r a 1 1 a 1 a 2 0 可知满足q的方程有两根 且两根异号 条件充分 条件不必要 如a 1时 方程的一个根大于零 另一个根小于零 也可以把命题q中所有满足条件的a值求出来 再进行分析判断 实际上一元二次方程两根异