高考数学总复习 6.3不等式的证明课件 人教版.ppt

第三讲不等式的证明 比较法是不等式证明方法中最基本和最重要的方法 它的应用非常广泛 在数 或式 的大小比较 不等式性质的证明 算术平均数与几何平均数的定理的证明中都用过这种方法 一般的不等式证明问题也常用到这种方法 用比较法证明不等式和用比较法比较数 或式 的大小的步骤基本类似 有作差 作商等方法 2 综合法利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立 这种证明方法叫做综合法 综合法是 由因导果 即从已知条件或定理等明显成立的结论出发 推导所要证明的不等式 其推导过程是a b1 b2 b3 b 从而得到b成立 其中a是已知 b为结论 3 分析法证明不等式时 从求证的不等式出发 分析使这个不等式成立的充分条件 把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题 如果能够肯定这些充分条件都具备 那么就可以断定原不等式成立 这种证明方法通常叫做分析法 分析法是一种 执果索因 的方法 它的推导过程为b b1 b2 a 其中a为已知 分析法的书写格式要求比较严格 其书写格式为 要证明b 只需证明b1 即证b2 只需证明a成立 而已知a成立 所以b成立 或用 符号进行连接 对于结论比较复杂的不等式的证明 通常选择分析法 以便更快地找到思路或简化要证的结论 运用综合法证明不等式时 有时用来证明的已知不等式或定理较难确定 而用分析法证不等式则书写格式麻烦 综合法往往是分析法的逆过程 其表述简单 条理清楚 故证明时 常先用分析法分析 再用综合法书写 4 放缩法通过对待证不等式的一边进行适当的放大或缩小 借助一个或多个中间量 利用不等式的传递性 以达到证明目标的方法 叫做放缩法 放缩法是不等式证明中最重要的方法之一 主要用于与特殊数列和有关的证明中 放缩时一定要有目标意识 而且要恰到好处 常用的放缩方法有 添项 减项 增减分子 分母等 5 反证法先假设要证的结论的否定是正确的 即假设要证的结论不正确 以此为条件 经过逻辑推理 导出矛盾 证明结论的否定是错误的 从而肯定结论是正确的 这种证明方法叫做反证法 反证法作为一种方法 在选择题中经常用于否定选项 在高考解答题中出现不多 但有时也出现 除了以上常用的证明方法外 证明不等式的方法还有换元法 构造函数法 数学归纳法等 1 已知a b r 那么 a2 b2a b 的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件 答案 a 答案 b 答案 a 4 设x a2b2 5 y 2ab a2 4a 若x y 则实数a b应满足的条件为 解析 x y a2b2 5 2ab a2 4a ab 1 2 a 2 2 0 ab 1 或a 2 答案 ab 1 或a 2 答案 p q r 题后总结 本题的两种证法就是比较法中的作差法和作商法 用比较法中的作差法证明不等式时 为了确定差式的符号 有下列三种常用的方法 将差式因式分解 通过判断简单因式的符号来判断差式的符号 将差式通过配方写成一些正 负 数的和 把差式中的某一字母视为自变量 构造函数 证明函数值恒正或恒负 用比较法中的作商法证明不等式时 关键是对商进行合理的变形 然后比较它与1的大小 需特别注意的是 用作商法证明不等式时 应要求不等式的两边同号 题后总结 本题用的两种方法分别是综合法与分析法 用综合法证明不等式时 应注意观察不等式的结构特点 选择恰当的已知不等式作为依据 其中算术平均数与几何平均数的定理是最常用的 当要证明的不等式比较复杂时 两端差异难以消除或者已知条件信息太少 已知与待证之间的联系不明显时 一般可以采用分析法 分析法是步步寻找不等式成立的充分条件 而实际操作时往往是从要证明的不等式出发 寻找使不等式成立的充分条件 直到找到一个已知的或非常明显成立的不等式 证明不等式 也不一定是只用一种方法 有时可以多种方法交替使用 这种方法我们常称为综合分析法 题后总结 放缩法 构造法是证明不等式的常用方法 放缩法证明不等式时 放缩要适度 必须有目标 而且要恰到好处 常用的放缩法有增项 减项 利用公式的性质 不等式的性质 函数的性质