第50届国际数学奥林匹克竞赛试题(中文版)与参考答案.pdf

蕴 秀 斋蕴 秀 斋 2009 年第年第 50 届届 IMO 解答解答 2009 年 7 月 15 日 1 是一个正整数 是n 12 2 k a aa k 1 2 n中的不同整数 并且 1 1 ii n a a 对 于所有都成立 证明 1 2 1ik 1 1 k a a 不能被n整除 证明 1 由于 12 1n a a 令 1 n ap n q p 也是整数 则npq 并且 1 p a 2 1q a 因此 由于 2 1q a 23 1npq a a 故 3 1q a 同理可得 4 1q a 因此对于任意都有2i 1 i q a 特别的有1 k q a 由于 1 p a 故 1 1 k npq a a 若结论不成立 则 1 1 k npq a a 与 相减可得 1 k n aa 矛盾 综上所述 结论成立 此题平均得分 4 804 分 上 善 若 水 上 善 若 水 蕴 秀 斋蕴 秀 斋 2 外接圆的圆心为O 分别在线段上 ABC P Q CA AB K L M分别是 BP CQ PQ 的中点 圆过 K L M并且与相切 证明 OPPQOQ K M L O B C A Q P 证 明 由 已 知MLKKMQAQP MKLPMLAPQ 因 此 APQMKL 所以 APMKBQ AQMLCP 故AP CPAQ BQ 设圆O的半径为R 则由 有 2222 ROPROQ 因此OPOQ 不难发现OP也是圆 与相切的充分条件 OQ PQ 此题平均得分 3 710 分 上 善 若 水 上 善 若 水 蕴 秀 斋蕴 秀 斋 3 是 严 格 递 增 的 正 整 数 数 列 并 且 它 的 子 数 列和 都是等差数列 证明 是一个等差数列 123 S SS 123 SSS SSS 123 111 SSS SSS 123 S SS 问题等价于 fZZ 是一个严格递增的函数 n bff n 是一个等差数列 也是一个等差数列 证明 1 n cff n n af n 也是等差数列 证 明 由 于是 一 个 严 格 递 增 的 整 值 函 数 所 以 对 于 任 意f x y均 有 f xf yxy 令 nn bc的公差分别为 则有 d e 1 1 dff nff nf nf n 将可得 nf n 1 0 nn dff nff ncb 因此对于任意都有 kZ 1111 0 kk dcbcbk de 故只能有 也即两个等差数列公差相等 故可设de nn cbg 是一个为常数 由于有界 故 1 0df nf n 1 f nf n 有最大最小值 设 M m分别是 的最大 最小值 则对任意 1 f nf n x y都有 m xyf xf yM xy 有上可知存在r使得 因此有 1 f rf rM 1 1 1 1 rr M f rf rdbbff rff rm f rf r 也 即 2 1 1 MM f rf rdm f rf rmM 同样存在一个使得 因此有 s 1 f sf sm 2 1 1 1 ss mMM f sf sdccm f sf sm 因 此 故 只 能 有dmMd dmM 而 且 上 面 的 等 号 要 成 立 只 能 有 1 1 ff rff rff r 之间的差均为 m 1 1 ff sff sff s 之间的差均为M 所以 rr mcbg 并且 ss Mcbg 故 所以mM n af n 也是等差数列 此题平均得分 1 019 分 上 善 若 水 上 善 若 水 蕴 秀 斋蕴 秀 斋 2009 年第年第 50 届届 IMO 第二天试题解答第二天试题解答 2009 年 7 月 16 日 1 在中ABC ABAC AD BE分别是CAB 和ABC 的平分线 K是的内 心 假设 求所能取到的所有值 ADC 45BEK CAB 45 F K I E B D A C 解 显然CK是ACB 的平分线 因此E关于CI 称点F在的对AB对称性可知IF 于DK 由K 是 45 由 ADC 的平分 因此有以下两 线 因此也有45IDK 种情况 45 F K I E B D A C 若DF 则 I D F K四 点 共 圆 故 18090IKFIDF 由对称性 90IKE 故45EIK 在中 有BIC 11 45 22 EIKABCACBABC 因此 45BAD 故90CAB 若重合 则 也即 D F90IECIDC ABC 的平分线也是的高 故 因此为正三角形 故 AC ABBC ABC 60CAB 60 综上所述 或 90CAB 此题平均得分 2 915 分 上 善 若 水 上 善 若 水 蕴 秀 斋蕴 秀 斋 2 求所有函数 fZZ 使得对于任意正整数 a b 1a f bf bf a 都可以 形成一个三角形 解 整数边三角形如果有一边长为1 则另外两边一定要相等 因此取可知对于 任意正整数b都有 1a 1 1f bf bf 若 则 令 1 1f 1 1f 1 1fa 代入 可得 f bf ba 也即是一个 以为周期的函数 因此的值域有界 令 f af Max f xM 则取3aM 则以 及不能形成三角形 矛盾 因此只能有 a f b 1f bf a 1 1f 令 则可以形成一个三角形 故1b 1 1 a fff a ff aa 对于任意正整数 都成立 因此是一个afZZ 一一映射 由已知 2 2 1f bf bf 可以形成一个三角形 有上面讨论可知 令 则由于是一一映射 故 2 1f 2 10tf f0 f btf b2 0 f bntf bn 故 f btf b1 对于任意都 成立 b 因此取遍全体正整数 由于是一一映射 故也应该取遍全体正整数 所以 1 1 1 12 1 fftftfnt f 1 1 12 tt 1t 因此对于任意正整数b都有 由于 所以 1 f bf b 1 1 1f f nn 对于任意正整数都成立 n 综上所述 为唯一的解 f nn 此题平均得分 2 474 分 上 善 若 水 上 善 若 水 蕴 秀 斋蕴 秀 斋 3 是不同的正整数 12 n a aaM是一个由1n 个正整数构成的集合 但是M中不包含 一只蚱蜢在实数轴的整数点上跳动 开始时它在点 然后向右跳次 次的步长恰好是的一个排列 证明 可以适当调整的顺序 使得 期间蚱蜢不会跳到 12 n saaa 0n n 12 n a aa 12 n a aa M中的数所在的任何整点上 证明 时 结论当然成立 1n M 2n 时 M只有一个数m 中必有一 个不等于 把它放在第一步即可 以下假设 并且对于任意 12 a a m3k nk 结论都成立 不失一般性假设 令 12 k aaa 1 i ij j s a 则 k ss 假设蚱蜢先按照 的顺序来跳 如果 12 k a aa 0 0 k ss 中只有2k 个M中的数 则依据归纳假设结 论成立 以下设 0 k s中有个1k M中的数 这1k 个数为 121 0 k mmms 如果对于所有11都有ik i smi 特别的有 11kk sm 如果 则由归纳假设可以对前 1k sM 1k 步重新调整 使得蚱蜢没遇到M中的数 如果 对于任意11 都有 1k sM ik 11kikk sass i a 由于除了之外 只有个 1k s 2k M中的数 因此存在一个 使得 0 i 00 1 kik sasa i 都不属于M 我们将换 到最后一步 为倒数第二步 这样从目的地倒退两步都没遇到 0 i a n aM中的数 由于 由归纳假设可以调整前 0 1kkikk saasm 2 2k 步使得蚱蜢没遇到M中的数 存在一个i使得 假设t是最小的正整数 使得 则 i sm itt s t sm 11tt sm 如果 也即 由于1t 11 saM Mk 因此必有一个 1 i aM 我们将调整到 第一步 由于 由归纳假设可以调整后 1 i a 1 11i maa 11ttt smm t s 令 121 t Am mm 11k m tt Bm m 则MAB 由于 1t m t s 而是最短的t步之和 所以无 论如何调整 从第t步开始的后步都不可能遇到 t s 1kt A中的数 由归纳假设可以调整前t步的顺序使得它们得以避开A中的1t 个数 而且同 我们 还可以使得位于第t步或第步 故调整后前 t a1t 2t 步所走距离 11tttt sasm 此时后面的步中的 任意第r步都比第 nt 1t 步长 因此将第步和第r1t 步对换位置之后也肯定避开了A中的 数