高考数学 玩转压轴题 专题3.2 复杂数列的求和问题.doc

专题3.2 复杂数列的求和问题一方法综述 数列的求和问题是数列高考中的热点问题， 数列的求和问题会渗透多种数学思想，会跟其他知识进行结合进行考查.因此求解过程往往方法多、灵活性大、技巧性强，但万变不离其宗，只要熟练掌握各个类型的特点即可.在考试中时常会考查一些压轴小题，如数列求和中的新定义问题、子数列中的求和问题、奇偶性在数列求和中的应用、周期性在数列求和中的应用、数列求和的综合问题中都有所涉及，本讲就这类问题进行分析.二解题策略类型一 数列求和中的新定义问题【例1】【2018届广东省中山市第一中学高三月考】定义为个正数， ， ， 的“均倒数”，若已知数列的前项的“均倒数”为，又，则 （ ）a. b. c. d. 所以，故选c【答案】c【指点迷津】1.“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.2.解决此类问题的一些技巧：（1）此类问题在设立问题中通常具有“环环相扣，层层递进”的特点，第（1）问让你熟悉所创设的定义与背景，第（2），（3）问便进行进一步的应用，那么在解题的过程中要注意解决前面一问中的过程与结论，因为这本身就是对“新信息”的诠释与应用.抓住“新信息”的特点，找到突破口，第（2）（3）问便可寻找到处理的思路（2）尽管此类题目与传统的数列“求通项，求和”的风格不同，但其根基也是我们所学的一些基础知识与方法.所以在考虑问题时也要向一些基本知识点靠拢，弄清本问所考察的与哪个知识点有关，以便找到一些线索.（3）在分类讨论时要遵循“先易后难”的原则，以相对简单的情况入手，可能在解决的过程中会发现复杂情况与该情况的联系，或者发现一些通用的做法与思路，使得复杂情况也有章可循.【举一反三】【2018安徽省巢湖市柘皋中学第三次月考】已知数列的前项和为，定义为数列前项的叠加和，若2016项数列的叠加和为2017，则2017项数列的叠加和为( )a. 2017 b. 2018 c. d. 故选a【答案】a类型二 子数列中的求和问题【例2】【河南省南阳市2018届高三上学期期中质量评估】已知有穷数列中， ，且，从数列中依次取出构成新数列，容易发现数列是以-3为首项，-3为公比的等比数列，记数列的所有项的和为，数列的所有项的和为，则（ ）a. b. c. d. 与的大小关系不确定【解析】因为， ，所以，当时， 是中第365项，符合题意，所以,所以，选a. 【答案】a【指点迷津】一个数列中某些项的求和问题，关键在于弄清楚新的数列的形式，了解其求和方法.【举一反三】【安徽省淮南市第二中学、宿城第一中学2018届高三第四次考试】已知，集合，集合的所有非空子集的最小元素之和为，则使得的最小正整数的值为（ ）a. b. c. d. =s1+s2+s3+sn=+则 的最小正整数为13 故选b【答案】b类型三 奇偶性在数列求和中的应用【例3】【江苏省淮安中学2018届高三数学月考】已知函数，且，则 _【解析】为偶数时， ； 为奇数时， ； 【答案】-100【指点迷津】数列求和中遇到，都会用到奇偶性，进行分类讨论.再采用分组转化法求和或者并项求和的方法，即通过两个一组进行重新组合，将原数列转化为一个等差数列. 分组转化法求和的常见类型还有分段型（如 ）及符号型（如 ）【举一反三】【黑龙江省大庆实验中学2018届高三上学期期中考试】设数列的前项和为,已知,则_【答案】240类型四 周期性在数列求和中的应用【例4】【2018陕西西安长安区五中二模】数列满足，则数列的前100项和为_【答案】5100【指点迷津】本题主要考查数列的周期性，数列是定义域为正整数集或它的子集的函数，因此数列具有函数的部分性质，本题观察到条件中有 ，于是考虑到三角函数的周期性，构造，周期为4，于是研究数列中依次4项和的之间的关系，发现规律，从而转化为熟悉的等差数列求和问题.解决此类问题要求具有观察、猜想、归纳能力，将抽象数列转化为等差或等比数列问题. 【举一反三】已知数列满足则该数列的前项的和为_【解析】为奇数时， ；为偶数时， ；所以为奇数时有； 为偶数时;即奇数项为等差数列，偶数项为等比数列. 所以.【答案】类型五 数列求和的综合问题【例5】【2017届陕西省西安市铁一中学高三上学期第五次模拟】数列满足，则的整数部分是_【答案】2【指点迷津】本题考查了数列的综合应用问题，其中解答中涉及到数列的通项公式，数列的裂项求和，数列的单调性的应用等知识点的综合应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，试题有一定的难度，属于难题，本题的借助数列递推关系，化简数列为，再借助数列的单调性是解答的关键.【举一反三】【2017福建外国语学校高三月考】已知数列满足（），若，（，），且对于任意正整数均成立，则数列的前2015项和的值为 （用具体的数字表示）【答案】三强化训练1【江西省新余市第一中学2017届高三高考全真模拟考试】数列是以为首项， 为公比的等比数列，数列满足，数列满足，若为等比数列，则（ ）a. b. 3 c. d. 6【答案】b【解析】由题意， ，则，得 ,要使为等比数列，必有，得，故选b.2.【江西省赣州市南康中学2018届高三月考】已知数列： ，即此数列第一项是，接下来两项是，再接下来三项是，依此类推，设是此数列的前项的和，则（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】将数列分组：第一组有一项；第二组有二项；第项有项，前项组共有， ，故选a. 3.【2017届黑龙江省哈尔滨市第九中学高三二模】已知数列的通项公式为，其前项和为，则（ ）a. b. c. d. 【答案】d 4.【福建省福州第一中学2017届高三5月质检】已知数列满足，（，），则的整数部分是( )a. 0 b. 1 c. 2 d. 3【答案】b【解析】 ，所以可得， ， 的整数部分是 ， 故选b.5.【2017届江西省鹰潭市高三第一次模拟考试数学】已知函数，且，则（ ）a. b. c. d. 【答案】a 6.【2017届湖北省荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟高三2月联考】数列满足，且，记为数列的前项和，则( )a. b. c. d. 【答案】d【解析】由得,所以数列为等差数列，因此,因此,选d.7.【2018届安徽池州一中月考】在数列中，若存在非零整数，使得对于任意的正整数均成立，那么称数列为周期数列，其中叫做数列的周期，若数列满足，如（），当数列的周期最小时，该数列的前2016项的和是（ ）a672 b673 c1342 d1344【答案】d 8.【湖南省长沙市长郡中学2018届高三第三次月考】已知函数（），若数列满足，数列的前项的和为，则（ ）a. 909 b. 910 c. 911 d. 912【答案】a【解析】函数，数列满足， ，故选a.9.【贵州省遵义市遵义四中2018届高三第三次月考】在数1和2之间插入个正数，使得这个数构成递增等比数列，将这个数的乘积记为，令， ， _【答案】 10.【安徽省黄山市2017届高三第二次模拟考试】设表示正整数的个位数， 为数列的前项和，函数，若函数满足，且，则数列的前项和为_【答案】【解析】由题意得， ， ，,