高考数学一轮总复习 第三篇 第2讲 导数的应用(一)课件 理 湘教版.ppt

第2讲导数的应用 一 2014年高考会这样考 1 导数的几何意义及应用 曲线的切线方程的求解与应用 2 利用导数研究函数的单调性 会求函数的单调区间 其中多项式函数一般不超过三次 3 由函数单调性和导数的关系 研究恒成立问题或求参数的范围 考点梳理 函数y f x 在x x0处的导数f x0 是曲线y f x 在点 x0 f x0 处切线l的斜率 切线l的方程是 若物体位移随时间变化的关系为s f t 则f t0 是物体运动在t t0时刻的 1 导数的几何意义 2 导数的物理意义 y f x0 f x0 x x0 瞬时速度 在 a b 内可导函数f x f x 在 a b 任意子区间内都不恒等于0 则f x 0 函数f x 在 a b 上 f x 0 函数f x 在 a b 上 一个警示直线与曲线有且只有一个公共点 直线不一定是曲线的切线 反之直线是曲线的切线 但直线不一定与曲线有且只有一个公共点 3 函数的单调性 单调递增 单调递减 助学 微博 1 f x 0在 a b 上成立是f x 在 a b 上单调递增的充分条件 2 对于可导函数f x f x0 0是函数f x 在x x0处有极值的必要不充分条件 两个条件 三个步骤求函数单调区间的步骤 1 确定函数f x 的定义域 2 求导数f x 3 由f x 0 f x 0时 f x 在相应的区间上是增函数 当f x 0时 f x 在相应的区间上是减函数 还可以列表 写出函数的单调区间 a 1 1 b 0 1 c 1 d 0 答案b 考点自测 a 9b 3c 9d 15解析由已知y 3x2 则y x 1 3 切线方程为y 12 3 x 1 即y 3x 9 令x 0得y 9 答案c 2 2011 山东 曲线y x3 11在点p 1 12 处的切线与y轴交点的纵坐标是 a 0b 1c 2d 3答案b a 1 1 b 1 c 1 d 解析记g x f x 2x 4 则有g 1 f 1 2 4 0 g x f x 2 0 g x 在r上是增函数 不等式f x 2x 4 即g x 0 g 1 于是由g x 在r上是增函数得 x 1 即不等式f x 2x 4的解集是 1 选b 答案b 4 2011 辽宁 函数f x 的定义域为r f 1 2 对任意x r f x 2 则f x 2x 4的解集为 解析f x 3x2 a f x 在区间 1 上是增函数 则f x 3x2 a 0在 1 上恒成立 即a 3x2在 1 上恒成立 a 3 答案 3 5 函数f x x3 ax 2在 1 上是增函数 则实数a的取值范围是 考向一导数几何意义的应用 答案a 1 求a的值 2 求函数f x 的极值 1 当a 2时 求函数f x 的单调递增区间 2 若函数f x 在 1 1 上单调递增 求a的取值范围 审题视点 1 由f x 0可求 2 由f x 0转化为不等式恒成立 分离参数可求 解 1 当a 2时 f x x2 2x ex f x 2x 2 ex x2 2x ex x2 2 ex 令f x 0 即 x2 2 ex 0 考向二利用导数研究函数的单调性 例2 已知a r 函数f x x2 ax ex x r e为自然对数的底数 2 函数f x 在 1 1 上单调递增 f x 0对x 1 1 都成立 f x 2x a ex x2 ax ex x2 a 2 x a ex x2 a 2 x a ex 0对x 1 1 都成立 ex 0 x2 a 2 x a 0对x 1 1 都成立 1 当f x 不含参数时 可通过解不等式f x 0 或f x 0 直接得到单调递增 或递减 区间 2 已知函数的单调性 求参数的取值范围 应用条件f x 0 或f x 0 x a b 恒成立 解出参数的取值范围 一般可用不等式恒成立的理论求解 应注意参数的取值是f x 不恒等于0的参数的范围 1 用关于m的代数式表示n 2 求函数f x 的单调增区间 解 1 由已知条件得f x 3mx2 2nx 又f 2 0 3m n 0 故n 3m 2 n 3m f x mx3 3mx2 f x 3mx2 6mx 令f x 0 即3mx2 6mx 0 训练2 已知函数f x mx3 nx2 m n r m 0 函数y f x 的图象在点 2 f 2 处的切线与x轴平行 当m 0时 解得x2 则函数f x 的单调增区间是 0 和 2 当m0时 函数f x 的单调增区间是 0 和 2 当m 0时 函数f x 的单调增区间是 0 2 3 若f x 0或f x xlnx x3 求xlnx x3的最大值 考向三利用导数研究恒成立问题 x 1 时 h x 0 h x 在 1 上是减函数 h x h 1 2 0 即g x 0 g x 在 1 上也是减函数 g x g 1 1 当a 1时 f x x2在 1 上恒成立 1 求函数的单调区间 直接求导 然后解不等式即可 注意函数的定义域 2 参数问题涉及的有最值恒成立的问题 单调性的逆向应用等 求解时注意分类讨论思想的运用 命题研究 导数作为一种研究数学知识的工具 在求函数单调性 最值等方面发挥了独特的作用 同样 我们也可以利用导数完成一些不等式的证明问题 其关键在于要构造好函数的形式 转化为研究函数的单调性 最值或值域问题 一般难度较大 规范解答4 利用导数证明不等式 1 求k的值 2 求f x 的单调区间 3 设g x x2 x f x 其中f x 为f x 的导函数 证明 对任意x 0 g x 1 e 2 当x 0 1 时 h x 0 当x 1 时 h x 0 所以当x 0 1 时 f x 0 当x 1 时 f x 0 因此f x 的单调递增区间为 0 1 单调递减区间为 1 7分 由 2 知h x 1 x xlnx x 0 所以h x lnx 2 lnx lne 2 x 0 因此 当x 0 e 2 时 h x 0 h x 单调递增 当x e 2 时 h x 0 h x 单调递减 所以h x 的最大值为h e 2 1 e 2 故1 x xlnx 1 e 2 10分 设 x ex x 1 因为 x ex 1 ex e0 所以当x 0 时 x 0 x 单调递增 x 0 0 故当x 0 时 x ex x 1 0 2 在使用导数证明不等式时 如果给出的不等式过于复杂 需要变换不等式 把其分解为若干个不等式 再根据不等式的性质得出所证的不等式 在使用不等式的性质时注意不