高考数学总复习 第2章 第9讲 函数的模型及其应用课件 理 新人教A版.ppt

不同寻常的一本书 不可不读哟 1 了解指数函数 对数函数以及幂函数的增长特征 知道直线上升 指数增长 对数增长等不同函数类型增长的含义 2 了解函数模型 如指数函数 对数函数 幂函数 分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型 的广泛应用 2项必须防范1 函数模型应用不当 是常见的解题错误 所以 正确理解题意 选择适当的函数模型 2 要特别关注实际问题的自变量的取值范围 合理确定函数的定义域 4个重要步骤1 审题 深刻理解题意 分清条件和结论 理顺其中的数量关系 把握其中的数学本质 2 建模 由题设中的数量关系 建立相应的数学模型 将实际问题转化为数学问题 3 解模 用数学知识和方法解决转化出的数学问题 4 还原 回到题目本身 检验结果的实际意义 给出结论 课前自主导学 1 常见的几种函数模型 1 一次函数模型 y a 0 2 反比例函数模型 y k 0 3 二次函数模型 y a 0 4 指数函数模型 y n 1 p x x 0 p 0 增长率问题 1 一等腰三角形的周长是20 底边y是关于腰长x的函数 它的解析式为 2 水滴进玻璃容器 如图所示 设单位时间内进水量相同 那么水的高度是如何随时间变化的 请填上匹配的图象与容器 a b c d 2 三种函数模型性质比较 直线上升 指数增长 对数增长的增长特点是什么 你作为老板 希望公司的利润和员工奖金按何种模型增长 1 某工厂8年来某种产品的总产量c与时间t 年 的函数关系如图所示 下列四种说法 前三年中 产量增长的速度越来越快 前三年中 产量增长的速度越来越慢 第三年后 产品停止生产 第三年后 这种产品产量保持不变 其中说法正确的是 2 上题中产品 总产量 若改为 年产量 四种说法中正确的是 2 增增增快慢y平行想一想 提示 直线上升 匀速增长 其增长量固定不变 指数增长 先慢后快 其增长量成倍增加 常用 指数爆炸 来形容 对数增长 先快后慢 其增长速度缓慢 公司的利润选择直线上升或指数模型增长 而员工奖金选择对数模型增长 填一填 1 2 核心要点研究 例1 2013 无锡段考 某民营企业生产a b两种产品 根据市场调查与预测 a产品的利润与投资成正比 其关系如图 所示 b产品的利润与投资的算术平方根成正比 其关系如图 所示 注 利润与投资单位 万元 1 分别将a b两种产品的利润表示为投资的函数关系式 并写出它们的函数关系式 2 该企业已筹集到10万元资金 并全部投入a b两种产品的生产 怎样分配这10万元资金 才能使企业获得最大利润 其最大利润约为多少万元 精确到1万元 审题视点 根据题目中函数模型求出函数的解析式 再设其中一个产品所用的资金为x万元 利润y就可以表示为x的函数 再用函数的知识求最值即可 故当a产品投入3 75万元 b产品投入6 25万元时 企业获得最大利润约为4万元 1 在实际问题中 有很多问题的两变量之间的关系是一次函数模型 其增长特点是直线上升 自变量的系数大于0 或直线下降 自变量的系数小于0 2 有些问题的两变量之间是二次函数关系 如面积问题 利润问题 产量问题等 一般利用函数图象的开口方向和对称轴与单调性解决 但一定要注意函数的定义域 否则极易出错 变式探究 某公司试销一种成本单位为500元 件的新产品 规定试销时的销售单价不低于成本单价 又不高于800元 件 经试销调查 发现销售量y 件 与销售单价x 元 件 可近似看作一次函数y kx b的关系 如下图所示 1 根据图象 求一次函数y kx b的表达式 2 设公司获得的毛利润 毛利润 销售总价 成本总价 为s元 试用销售单价x表示毛利润s 试问 销售单价定为多少时 该公司可获得最大毛利润 最大毛利润是多少 此时的销售量是多少 2 销售总价 销售单价 销售量 xy 成本总价 成本单价 销售量 500y 代入求毛利润的公式 得s xy 500y x x 1000 500 x 1000 x2 1500 x 500000 x 750 2 62500 500 x 800 当销售单价为750元 件时 可获得最大毛利润62500元 此时销售量为250件 1 求该市旅游日收益p x 万元 与时间x 1 x 30 x n 的函数关系式 2 若以最低日收益的15 为纯收入 该市对纯收入按1 5 的税率来收回投资 按此预计两年内能否收回全部投资 审题视点 理清题意 准确建立函数模型是求解本题的关键 对于第 1 问 该市旅游日收益p x 就是每日的游客人数f x 与人均消费g x 之间的乘积 对于第 2 问 建立模型时 要注意23天这个关键点 对1 x 23和23 x 30两种情况分别求值即可 分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同 可以先将其当作几个问题 将各段的变化规律分别找出来 再将其合到一起 要注意各段自变量的范围 特别是端点值的取舍 构造分段函数时 要力求准确 简洁 做到分段合理 不重不漏 变式探究 2011 湖北高考 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况 在一般情况下 大桥上的车流速度v 单位 千米 小时 是车流密度x 单位 辆 千米 的函数 当桥上的车流密度达到200辆 千米时 造成堵塞 此时车流速度为0 当车流密度不超过20辆 千米时 车流速度为60千米 小时 研究表明 当20 x 200时 车流速度v是车流密度x的一次函数 1 当0 x 200时 求函数v x 的表达式 2 当车流密度x为多大时 车流量 单位时间内通过桥上某观测点的车辆数 单位 辆 小时 f x x v x 可以达到最大 并求出最大值 精确到1辆 小时 例3 2012 金版教程 原创组编 急剧增加的人口已经使我们赖以生存的地球不堪重负 控制人口急剧增长的紧迫任务摆在我们的面前 1 世界人口在过去的40年内翻了一番 问每年人口平均增长率是多少 2 我国人口在2003年底达到13 14亿 若将人口平均增长率控制在1 以内 我国人口在2013年底至多有多少亿 以下对数值可供计算时使用 审题视点 1 本题求每年人口增长率 但已知40年内翻一番 所以在解题方法上 可用方程的思想来解 2 本题是计算10年后我国人口的数量 由于题设中已知10年前以及每年的增长率 所以在解题方法上 可先找到函数关系 直接计算求解 2 依题意得y 13 14 1 1 10 两边取对数得 lgy lg13 14 10lg 1 1 1 1616 y 14 51 故2013年底至多有人口14 51亿 1 指数函数模型 常与增长率相结合进行考查 在实际问题中有人口增长 银行利率 细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来表示 2 应用指数函数模型时 关键是对模型的判断 先设定模型将有关已知数据代入验证 确定参数 从而确定函数模型 3 y a 1 x n通常利用指数运算与对数函数的性质求解 变式探究 一个人喝了少量酒后 血液中的酒精含量迅速上升到0 3mg ml 在停止喝酒后 血液中的酒精含量以每小时25 的速度减少 为了保障交通安全 某地根据 道路交通安全法 规定 驾驶员血液中的酒精含量不得超过0 09mg ml 那么 一个喝了少量酒后的驾驶员 至少经过多少小时才能开车 精确到1小时 lg2 0 3010 lg3 0 4771 答案 5解析 设至少经过x小时才能开车 由题意得0 3 1 25 x 0 09 0 75x 0 3 x log0 750 3 5 课课精彩无限 选题 热考秀 2013 天津质检 在扶贫活动中 为了尽快脱贫 无债务 致富 企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5 8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙 并约定从该店经营的利润中 首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3600元后 逐步偿还转让费 不计息 在甲提供的资料中有 这种消费品的进价为每件14元 该店月销量q 百件 与销售价格p 元 的关系如图所示 每月需各种开支2000元 1 当商品的价格为每件多少元时 月利润扣除职工最低生活费的余额最大 并求最大余额 2 企业乙只依靠该店 最早可望在几年后脱贫 2 设可在n年内脱贫 依题意有12n 450 50000 58000 0 解得n 20 即最早可望在20年后脱贫 备考 角度说 no 1角度关键词 审题视角 1 认真阅读题干内容 理清数量关系 2 分析图形提供的信息 从图形可看出函数是分段的 3 建立函数模型 确定解决模型的方法 no 2角度关键词 模板构建解函数应用题的一般程序是 第一步 审题 弄清题意 分清条件和结论 理顺数量关系 本题条件是价格提高 销量降低 支出固定 结论是求余额 第二步 建模 将文字语言转化成数学语言 用数学知识建立相应的数学模型 本题是列出p与l的函数关系 第三步 求模 求解数学模型 得到数学结论 求出p的取值 第四步 还原 将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义 本题是确定销售价格 经典演练提能 1 2013 沈阳模拟 若一根蜡烛长20cm 点燃后每小时燃烧5cm 则燃烧剩下的高度h cm 与燃烧时间t 小时 的函数关系用图象表示为 答案 b解析 依题设可知 蜡烛高度h与燃烧时间t之间构成一次函数关系 又 函数图象必过点 0 20 4 0 两点 且该图象应为一条线段 选b 2 将进货单价为80元的商品按90元一个售出时 能卖出400个 已知这种商品每涨价1元 其销售量就要减少20个 为了获得最大利润 每个售价应定为 a 95元b 100元c 105元d 110元答案 a解析 设每个售价定为x元 则利润y x 80 400 x 90 20 20 x 95 2 225 当x 95时y最大 3 2013 改编题 已知甲 乙两个车间的月产值在2012年元月份时相同 甲以后每个月比前一个月增加