高考数学一轮总复习 第十二篇 第3讲 数学归纳法课件 理 湘教版.ppt

第3讲数学归纳法 2014年高考会这样考 1 数学归纳法的原理及其步骤 2 能用数学归纳法证明一些简单的数学命题 考点梳理 在证明一个与正整数有关的命题时 可采用下面两个步骤 1 证明 时命题成立 2 证明 如果n k时命题成立 那么 时命题也成立 1 数学归纳法的定义 n 1 n k 1 我们有 1 2 作依据 根据 1 知n 1时命题成立 再根据 2 知n 1 1 2时命题成立 又由n 2时命题成立 依据 2 知n 2 1 3时命题成立 这样延续下去 就可以知道对任何正整数n命题成立 这种证明方法叫作数学归纳法 1 证明当n取第一个值n0 例如n0 1或2等 时结论正确 2 假设当n k k n 且k n0 时结论正确 证明当n k 1时结论也正确 在完成了这两个步骤以后 就可以断定命题对于从n0开始的所有正整数n都正确 2 步骤 一种表示数学归纳法的框图表示 助学 微博 两个防范数学归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题的证明方法 第一步是递推的 基础 第二步是递推的 依据 两个步骤缺一不可 在证明过程中要防范以下两点 1 第一步验证n n0时 n0不一定为1 要根据题目要求选择合适的起始值 2 第二步中 归纳假设起着 已知条件 的作用 在证明n k 1时 命题也成立的过程中一定要用到它 否则就不是数学归纳法 第二步关键是 一凑假设 二凑结论 三个注意运用数学归纳法应注意以下三点 1 n n0时成立 要弄清楚命题的含义 2 由假设n k成立证n k 1时 要推导详实 并且一定要运用n k成立的结论 3 要注意n k到n k 1时增加的项数 a 1b 2c 3d 0解析边数最少的凸n边形是三角形 答案c 考点自测 2 某个命题与自然数n有关 若n k k n 时命题成立 那么可推得当n k 1时该命题也成立 现已知n 5时 该命题不成立 那么可以推得 a n 6时该命题不成立b n 6时该命题成立c n 4时该命题不成立d n 4时该命题成立解析其逆否命题 若当n k 1时该命题不成立 则当n k时也不成立 为真 故 n 5时不成立 n 4时不成立 答案c 3 用数学归纳法证明1 2 3 2n 1 n 1 2n 1 时 从n k到n k 1 左边需增添的代数式是 a 2k 2b 2k 3c 2k 1d 2k 2 2k 3 解析当n k时 左边是共有2k 1个连续自然数相加 即1 2 3 2k 1 所以当n k 1时 左边是共有2k 3个连续自然数相加 即1 2 3 2k 1 2k 2 2k 3 答案d 4 用数学归纳法证明34n 1 52n 1 n n 能被8整除时 当n k 1时 对于34 k 1 1 52 k 1 1可变形为 a 56 34k 1 25 34k 1 52k 1 b 34 34k 1 52 52kc 34k 1 52k 1d 25 34k 1 52k 1 解析因为要使用归纳假设 必须将34 k 1 1 52 k 1 1分解为归纳假设和能被8整除的两部分 所以应变形为56 34k 1 25 34k 1 52k 1 答案a 例1 2012 天津 已知 an 是等差数列 其前n项和为sn bn 是等比数列 且a1 b1 2 a4 b4 27 s4 b4 10 1 求数列 an 与 bn 的通项公式 2 记tn anb1 an 1b2 a1bn n n 证明tn 12 2an 10bn n n 审题视点 1 利用等差数列 等比数列的通项公式 求和公式建立方程组求解 2 可以以算代证 利用错位相减法求和 与自然数有关的问题也可以用数学归纳法证明 考向一用数学归纳法证明等式 2 证明法一 当n 1时 t1 12 a1b1 12 16 2a1 10b1 16 故等式成立 假设当n k时等式成立 即tk 12 2ak 10bk 则当n k 1时有 tk 1 ak 1b1 akb2 ak 1b3 a1bk 1 ak 1b1 q akb1 ak 1b2 a1bk ak 1b1 qtk ak 1b1 q 2ak 10bk 12 2ak 1 4 ak 1 3 10bk 1 24 2ak 1 10bk 1 12 即tk 1 12 2ak 1 10bk 1 因此n k 1时等式也成立 由 可知 对任意n n tn 12 2an 10bn成立 1 用数学归纳法证明等式其关键点在于弄清等式两边的构成规律 等式两边各有多少项 初始值n0是几 2 由n k到n k 1时 除等式两边变化的项外还要充分利用n k时的式子 即充分利用假设 正确写出归纳证明的步骤 从而使问题得以证明 例2 是否存在正整数m使得f n 2n 7 3n 9对任意自然数n都能被m整除 若存在 求出最大的m的值 并证明你的结论 若不存在 说明理由 审题视点 观察所给函数式 凑出推理要证明所需的项 考向二用数学归纳法证明整除问题 解由f n 2n 7 3n 9得 f 1 36 f 2 3 36 f 3 10 36 f 4 34 36 由此猜想 m 36 下面用数学归纳法证明 1 当n 1时 显然成立 2 假设n k k n 且k 1 时 f k 能被36整除 即f k 2k 7 3k 9能被36整除 当n k 1时 2 k 1 7 3k 1 9 2k 7 3k 1 27 27 2 3k 1 9 3 2k 7 3k 9 18 3k 1 1 由于3k 1 1是2的倍数 故18 3k 1 1 能被36整除 这就是说 当n k 1时 f n 也能被36整除 由 1 2 可知对一切正整数n都有f n 2n 7 3n 9能被36整除 m的最大值为36 应用数学归纳法证明整除性问题主要分为两类 一是整除数 二是整除代数式 这两类证明最关键的问题是 配凑 要证的式子 或是叫做 提公因式 即当n k 1时 将n k时假设的式子提出来 再变形 可证 训练2 2013 南京一模 已知数列 an 满足a1 0 a2 1 当n n 时 an 2 an 1 an 求证 数列 an 的第4m 1项 m n 能被3整除 证明 1 当m 1时 a4m 1 a5 a4 a3 a3 a2 a2 a1 a2 a1 2a2 a1 3a2 2a1 3 0 3 即当m 1时 第4m 1项能被3整除 故命题成立 2 假设当m k时 a4k 1能被3整除 则当m k 1时 a4 k 1 1 a4k 5 a4k 4 a4k 3 2a4k 3 a4k 2 2 a4k 2 a4k 1 a4k 2 3a4k 2 2a4k 1 显然 3a4k 2能被3整除 又由假设知a4k 1能被3整除 3a4k 2 2a4k 1能被3整除 即当m k 1时 a4 k 1 1也能被3整除 命题也成立 由 1 和 2 知 对于n n 数列 an 中的第4m 1项能被3除 例3 2012 全国 函数f x x2 2x 3 定义数列 xn 如下 x1 2 xn 1是过两点p 4 5 qn xn f xn 的直线pqn与x轴交点的横坐标 1 证明 2 xn xn 1 3 2 求数列 xn 的通项公式 考向三用数学归纳法证明不等式 应用数学归纳法证明不等式应注意的问题 1 当遇到与正整数n有关的不等式证明时 应用其他办法不容易证 则可考虑应用数学归纳法 2 用数学归纳法证明不等式的关键是由n k成立 推证n k 1时也成立 证明时用上归纳假设后 可采用分析法 综合法 求差 求商 比较法 放缩法等证明 解 f x x2 1 an 1 f an 1 an 1 an 1 2 1 函数g x x 1 2 1 x2 2x在区间 1 上单调递增 于是由a1 1 得a2 a1 1 2 1 22 1 进而得a3 a2 1 2 1 24 1 23 1 由此猜想 an 2n 1 下面用数学归纳法证明这个猜想 当n 1时 a1 21 1 1 结论成立 假设n k k 1且k n 时结论成立 即ak 2k 1 则当n k 1时 由g x x 1 2 1在区间 1 上单调递增知 ak 1 ak 1 2 1 22k 1 2k 1 1 即n k 1时 结论也成立 由 知 对任意n n 都有an 2n 1 1 求a1 a2 a3 2 由 1 猜想数列 an 的通项公式 并且用数学归纳法证明你的猜想 考向四归纳 猜想 证明 利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题 存在性问题 其基本模式是 归纳 猜想 证明 即先由合情推理发现结论 然后经逻辑推理即演绎推理论证结论的正确性 命题研究 通过近三年的高考试题分析 数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法 在高等数学中有着重要的用途 其 观察 归纳 猜想 证明 的思维模式成为高考命题的热点之一 从考查题型看 数学归纳法常与数列 函数等知识结合在一起考查 常以解答题的形式出现 具有一定的综合性和难度 属中高档题 预计在今后的高考中 对数学归纳法的考查将保持相对稳定的考查方式 考查时仍将以解答题为主 规范解答19 数学归纳法的应用 真题探究 本小题满分14分 2012 湖北 1 已知函数f x rx xr 1 r x 0 其中r为有理数 且0 r 1 求f x 的最小值 2 试用 1 的结果证明如下命题 设a1 0 a2 0 b1 b2为正有理数 若b1 b2 1 则a1b1a2b2 a1b1 a2b2 3 请将 2 中的命题推广到一般形式 并用数学归纳法证明你所推广的命题 注 当 为正有理数时 有求导公式 x x 1 教你审题 1 求函数最值可考虑先利用导数判断函数单调性 然后再求最值 2 对于不等式的证明要注意利用第 1 问的结论进行突破 3 本问数学归纳法的运用相对而言难度高 运算量大 在归纳证明时一要细心运算 二要注意假设条件的恰当运用 规范解答 1 f x r rxr 1 r 1 xr 1 令f x 0 解得x 1 1分 当01时 f x 0 所以f x 在 1 内是增函数 3分 故函数f x 在x 1处取得最小值f 1 0 4分 3 2 中命题的推广形式为 设a1 a2 an为非负实数 b1 b2 bn为正有理数 若b1 b2 bn 1 则a1b1a2b2 anbn a1b1 a2b2 anbn 用数学归纳法证明如下 a 当n 1时 b1 1 有a1 a1 成立 b 假设当n k时 成立 即若a1 a2 ak为非负实数 b1 b2 bk为正有理数 且b1 b2 bk 1 则a1b1a2b2 akbk a1b1 a2b2 akbk 10分 当n k 1时 已知a1 a2 ak ak 1为非负实数 b1 b2 bk bk 1为正有理数 且b1 b2 bk bk 1 1 此时00 a1b1 a2b2 akbk ak 1bk 1 从而a1b1a2b2 akbkak 1bk 1 a1b1 a2b2 akbk ak 1bk 1 故当n k 1时 成立 13分 由a b可知 对一切正整数n 所推广的命题成立 14分 说明 3 中如果推广形式中指出 式对n 2成立 则后续证明中不需讨论n 1的情况 阅卷老师手记 解决数学归纳法中 归纳 猜想 证