高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1 两角和与差的三角函数 3.1.2 两角和与差的正弦教案 苏教版必修4.doc

3.1.2两角和与差的正弦教学分析1两角和与差的正弦公式是在研究了两角差的余弦公式的基础上，进一步研究具有“两角和差”关系的正弦公式的在这些公式的推导中，教科书都把对照、比较有关的三角函数式，认清其区别，寻找其联系和联系的途径作为思维的起点，如：比较cos()与cos()，它们都是角的余弦，只是角形式不同，但不同角的形式从运算或换元的角度看都有内在联系，即()的关系，从而由公式c()推得公式c()，又如：比较sin()与cos()，它们包含的角相同但函数名称不同，这就要求进行函数名的互化，利用诱导公式(5)(6)即可推得公式s()、s()等2通过对“两角和与差的正弦公式”的推导，揭示了两角和差的三角函数与这两角的三角函数的运算规律，还使学生加深了对数学公式的推导和证明方法的理解因此本节内容也是培养学生运算能力和逻辑思维能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力，发现问题和解决问题的能力都有着十分重要的意义3本节的几个公式是相互联系的，其推导过程也充分说明了它们之间的内在联系，让学生深刻领会它们的这种联系，从而加深对公式的理解和记忆本节几个例子的主要目的是为了训练学生思维的有序性，逐步培养他们良好的思维习惯，教学中应当有意识地对学生的思维习惯进行引导，例如，在面对问题时，要注意先认真分析条件，明确要求，再思考应该联系什么公式，使用公式时要具备什么条件等；另外，还要重视思维过程的表述，不能只看最后结果而不顾过程表述的正确性、简洁性等，这些都是培养学生三角恒等变换能力所不能忽视的三维目标1在学习两角和与差的余弦公式的基础上，通过让学生探索、发现并推导两角和与差的正弦公式，了解它们之间的内在联系，并通过强化题目的训练，加深对公式的理解，培养学生的运算能力及逻辑推理能力，从而提高解决问题的能力2通过两角和与差的正弦公式的运用，会进行简单的求值、化简和恒等证明，使学生深刻体会联系变化的观点，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高学生分析问题解决问题的能力3通过本节学习，使学生掌握寻找数学规律的方法，提高学生的观察分析能力，培养学生的应用意识，提高学生的数学素质重点难点教学重点：两角和与差的正弦公式的推导及运用教学难点：灵活运用所学公式进行求值、化简、证明课时安排2课时第1课时导入新课思路1.(旧知导入)教师先让学生回顾上节课所推导的两角和与差的余弦公式，并把公式默写在黑板上(或打出幻灯)，注意有意识地让学生写整齐然后教师引导学生观察cos()与sin()、sin()的内在联系，进行由旧知推出新知的转化过程，从而推导出s()、s()本节课我们共同研究公式的推导及其应用思路2.(问题导入)教师出示问题，先让学生计算以下几个题目，既复习回顾上节所学公式，又为本节新课作准备若sin，(0，)，cos，(0，)，求cos()，cos()的值学生利用公式c()很容易求得cos()，从而引出新课题，并由此展开联想探究其他公式推进新课会推导两角和与差的正弦公式及运用公式求三角函数式的值活动：引导学生观察思考幻灯中的两角和与差的余弦公式，怎样才能得到两角和与差的正弦公式呢？我们利用什么公式来实现正、余弦的互化呢？学生可能有的想到利用诱导公式(5)(6)来化余弦为正弦(也有的想到利用同角的平方和关系式sin2cos21来互化，这些想法都很好鼓励学生试一试从诱导公式cos()sin，sin()cos，我们可以得到：sin()cos()cos()cos()cossin()sinsincoscossin.在上述公式中用代之，则sin()sin()sincos()cossin()sincoscossin.因此我们得到两角和与差的正弦公式，分别简记为s()、s()sin()sincoscossin(s()，sin()sincoscossin(s()思路1例1课本本节例1.变式训练1已知sin，是第四象限角，求sin()，cos()的值活动：教师引导学生分析题目中角的关系，在面对问题时要注意认真分析条件，明确要求再思考应该联系什么公式，使用公式时要有什么准备，准备工作怎么进行等例如本题中，要先求出cos的值，才能利用公式得解，本题是直接应用公式解题，目的是为了让学生初步熟悉公式的应用，教师可以完全让学生自己独立完成解：由sin，是第四象限角，得cos，于是有sin()sincoscossin()，cos()coscossinsin(). 点评：本例是运用和差角公式的基础题，安排这个题目的目的是为了训练学生思维的有序性，逐步培养他们良好的思维习惯2设(0，)，若sin，则sin()等于()a. b. c. d4答案：a例2课本本节例2.变式训练 已知sin，(，)，cos，(，)求sin()，cos()活动：教师可先让学生自己探究解决，对探究困难的学生教师给以适当的点拨，指导学生认真分析题目中已知条件和所求值的内在联系根据公式s()、c()应先求出cos，sin的值，然后利用公式求值，但要注意解题中三角函数值的符号解：由sin，(，)，得cos.又由cos，(，)，得sin，sin()sincoscossin()()().cos()coscossinsin()()().点评：本题仍是直接利用公式计算求值的基础题，其目的还是让学生熟练掌握公式的应用，训练学生的运算能力.例3求证：cossin2sin()活动：本题虽小但其意义很大，从形式上就可看出来，左边是两个函数，而右边是一个函数，教师引导学生给予足够的重视对于此题的证明，学生首先想到的证法就是把等式右边利用公式s()展开，化简整理即可得到左边，这是很自然的，教师要给予鼓励同时教师可以有目的的引导学生把等式左边转化为公式s()的右边的形式，然后逆用公式化简即可求得等式右边的式子，这种证明方法不仅仅是方法的变化，更重要的是把两个三角函数化为了一个三角函数证明：方法一：右边2(sincoscossin)2(cossin)cossin左边方法二：左边2(cossin)2(sincoscossin)2sin()右边点评：本题给出了两种证法，方法一是正用公式的典例，而方法二则是逆用公式证明的，此法也给了我们一种重要的转化方法，要求学生熟练掌握其精神实质本例的证法二将左边的系数1与分别变为了与，即辅助角的正、余弦关于形如asinxbcosx(a，b不同时为零)的式子引入辅助角变形为asin(x)的形式，其基本想法是“从右向左”用和角的正弦公式，把它化成asin(x)的形式一般情况下，如果aacos，basin，那么asinxbcosxa(sinxcoscosxsin)asin(x)由sin2cos21，可得：a2a2b2，a，不妨取a，于是得到cos，sin，因此asinxbcosxsin(x)，通过引入辅助角，可以将asinxbcosx这种形式的三角函数式化为一个角的一个三角函数的形式化为这种形式可解决asinxbcosx的许多问题，比如值域、最值、周期、单调区间等教师应提醒学生注意，这种引入辅助角的变换思想很重要，即把两个三角函数化为了一个三角函数，实质上是消元思想，这样就可以根据三角函数的图象与性质来研究它的性质因此在历年高考试题中出现的频率非常高，是三角部分中高考的热点，再结合后续内容的倍角公式，在解答高考物理试题时也常常被使用，应让学生领悟其实质并熟练地掌握它.变式训练化简下列式子：cosxsinx.解：原式2(cosxsinx)2(sincosxcossinx)2sin(x).例4课本本节例3.思路2例1若sin()，cos()，且0，求cos()的值活动：本题是一个典型的变角问题，也是一道经典例题，对训练学生的运算能力以及逻辑思维能力很有价值尽管学生思考有点难度，但教师仍可放手让学生探究讨论，教师不可直接给出解答对于探究不出的学生，教师可恰当点拨引导，指导学生解决问题的关键是寻找所求角与已知角的内在联系，引导学生理清所求的角与已知角的关系，观察选择应该选用哪个公式进行求解，同时也要特别提醒学生注意：在求有关角的三角函数值时，要特别注意确定角的范围，准确地判断好三角函数符号，这是解决这类问题的关键学生完全理清思路后，教师应指导学生的规范书写，并熟练掌握它对于程度比较好的学生可让其扩展本题，或变化条件，或变换所求的结论等如教师可变换，角的范围，进行一题多变训练，提高学生灵活应用公式的能力，因此教师要充分利用好这个例题的训练价值解：0，0.又已知sin()，cos()，cos()，sin().cos()sin()sin()()sin()cos()cos()sin()()().点评：本题是典型的变角问题，即把所求角利用已知角来表示，实际上就是化归思想这需要巧妙地引导，充分让学生自己动手进行角的变换，培养学生灵活运用公式的能力.变式训练已知，(，)，sin()，sin()，求cos()的值解：，(，)，sin()，sin()，2，.cos()，cos(). cos()cos()()cos()cos()sin()sin()()().例2化简.活动：本题是直接利用公式把两角的和差化为两单角的三角函数的形式，教师可以先让学生自己独立地探究，然后进行讲评解：原式0.点评：本题是一个很好的运用公式进行化简的例子，通过学生独立解答，培养学生熟练运用公式的运算能力.变式训练化简.解：原式tan().课本练习18.已知0，cos()，sin()，求sin()的值解：，0.sin().又0，.cos().sin()cos()cos()()cos()cos()sin()sin()()().1先由学生回顾本节课都学到了哪些数学知识和数学方法，有哪些收获与提高，在公式推导中你悟出了什么样的数学思想？怎样用公式进行简单三角函数式的化简、求值与恒等式证明？2教师画龙点睛：我们本节课要理解并掌握两角和与差的正弦公式及其推导，明白从已知推得未知，理解数学中重要的数学思想“转化思想”，并要正确熟练地运用公式解题在解题时要注意分析三角函数名称、角的关系，一个题目能给出多种解法，从中比较最佳解决问题的途径，以达到优化解题过程，规范解题步骤，领悟变换思路，强化数学思想方法之目的1本节课是典型的公式教学模式，本节课是在两角差的余弦公式的基础上进行的，因此本教案的设计流程是“提出问题转化推导分析记忆应用训练”；它充分展示了公式教学中以学生为主体，进行主动探索数学知识发生发展的过程同时充分发挥教师的主导作用，引导学生利用旧知识推导、证明新知识，并学会记忆公式的方法，灵活运用公式解决实际问题，从而使学生领会了数学中重要的数学思想“转化思想”，并培养他们主动利用“转化思想”指导探索解决数学问题的能力2纵观本教案的设计，知识点集中，容量较大，重点是公式的推导证明、记忆以及简单的应用等，通过本节的学习，使学生深刻理解公式的推导证明方法，会用公式解决简单的问题同时教给学生发现规律，探索推导，获取新知的方法，让他们真正体验到自己发现探索数学知识的喜悦和成功感三角函数知识口诀三角函数是函数，象限符号坐标注；函数图象单位圆，周期奇偶增减现同角关系很重要，化简证明都需要；同角仅是正余切，平方商除有技巧诱导公式就是好，负化正后大化小；变成锐角好查表，化简证明少不了三角公式就是美，二的一半整数倍；千变万化有规律，奇数化余偶不变将其后者视锐角，符号原来函数判；两角和的余弦值，化为单角好求值计算证明角先行，注意结构函数名，保持基本量不变，繁难向着简易变换角变形众公式，抓住角的相对性；公式虽多巧记忆，互余角度变名称第2课时导入新课思路1.(复习导入)让学生回忆上节课所学的公式，并回忆公式的来龙去脉，然后让一个学生把公式默写在黑板上或打出幻灯教师引导学生回顾比较各公式的结构特征，说出它们的区别和联系，以及公式的正用、逆用及变形用，以利于对公式的深刻理解这节课我们将进一步探究两角和与差的正弦、余弦公式的灵活应用思路2.(问题导入)教师可打出幻灯，出示一组练习题让学生先根据上节课所学的公式进行解答1化简下列各式：(1)cos()cossin()sin；(2)sinxcosx.2证明下列各式：(1)；(2)2cos().答案：1.(1)cos；(2)0.2.证明略教师根据学生的解答情况进行一一点拨，并对上节课所学的公式进行回顾复习，由此展开新课推进新课知识要点：运用两角和与差的正弦、余弦公式进行化简、求值与证明活动：两角和与差的余弦公式是我们进行三角变换的重要公式，要熟练运用它解决有关问题，就必须熟悉公式的结构特点，并能熟练记忆，既要能正向运用，更要会逆向运用另外，在运用公式解决有关求值问题时，应注意讨论研究题中所有涉及到的角以及所给角之间的关系待学生稍做回顾后，教师打出幻灯，出示和与差角公式，让学生进一步在直观上发现它们内在的区别与联系，理解公式的推导充分发挥了向量的工具作用，更要体会由特殊到一般的数学思想方法；教师引导学生观察，当、中有一个角为90时，公式就变成诱导公式，所以前面所学的诱导公式其实是两角和与差公式的特例在应用公式时，还要注意角的相对性，如：()，()()等让学生在整个的数学体系中学会数学知识，学会数学方法，更重要的是学会发现问题的方法，以及善于发现规律及其内在联系的良好习惯，提高数学素养sin()sincoscossins()，cos()coscossinsinc()思路1例1利用和差角公式计算下列各式的值(1)sin72cos42cos72sin42；(2)cos20cos70sin20sin70.活动：本例实际上是公式的逆用，主要用来熟悉公式，可由学生自己完成对部分学生，教师点拨学生细心观察题中式子的形式有何特点，再对比公式右边，马上发现(1)同公式s()的右边、(2)同公式c()右边形式一致，学生自然想到公式的逆用，从而化成特殊角的三角函数，并求得结果解：(1)由公式s()，得原式sin(7242)sin30.(2)由公式c()，得原式cos(2070)cos900.点评：本例体现了对公式的全面理解上的要求，要求学生能够从正、反两个角度使用公式与正用相比，反用表现的是一种逆向思维，它不仅要求有一定的反向思维意识，对思维的灵活性要求也高，而且对公式要有更全面深刻的理解.变式训练化简求值：(1)cos44sin14sin44cos14；(2)sin(54x)cos(36x)cos(54x)sin(36x)解：(1)原式sin(1444)sin(30)sin30.(2)原式sin(54x)(36x)sin901.例2课本本节例4.变式训练已知，cos()，sin()，求cos2的值解：，0，.又cos()，sin()，sin()，cos().cos2cos()()cos()cos()sin()sin()().例3课本本节例5.例4课本本节例6.课本练习1、2.课本习题3.1(2)9、10、11、12.1先让学生回顾本节课的主要内容是什么？我们学习了哪些重要的解题方法？通过本节的学习，我们在运用和角与差角公式时，应注意什么？如何灵活运用公式解答有关的三角函数式的化简、求值、恒等证明等问题？2我们在运用两角和与差的正弦公式进行三角函数式的化简和三角函数式的证明问题时，应该注意运用角变换，以达到问题的最简化，在解决具体问题时应该注意整体观察式子中所涉及的角，以便能非常正确地进行角变化1本节是典型的习题课，目的就是加深巩固两角和与差公式的应用，深刻理解公式的内在联系，学会综合利用公式解题的方法和技巧；因此本节课安排的四个例子都是围绕这个目标设计的，它们的解题方法也充分体现了公式的灵活运用另外，通过补充的例题，教给学生正用、逆用、变形用公式的方法，培养了他们的逆向思维和灵活运用公式的能力特别是给出了形如“asinxbcosxsin(x)”公式的推导和应用，对于三角函数的研究，给我们提供了一种重要的方法2对于习题课来说，我们应该本着以学生为主体，教师为主导的原则，让学生先认真审题、独立思考、板演解法，然后教师再进行点评，理清思路，纠正错误，指导解法，争取一题多解，拓展思路通过变式训练再进行方法巩固一、和角与差角公式应用的规律两角和与差的正、余弦公式主要用于求值、化简、证明等三角变换，常见的规律如下：配角的方法：通过对角的“合成”与“分解”，寻找欲求角与已知角的内在联系，灵活应用公式，如()，()()等公式的逆用与变形用：既要会从左到右展开，又要会从右到左合并，还要掌握公式的变形“1”的妙用：在三角函数式中有许多关于“1”的“变形”，如1sin2cos2，也有1sin90tan45等二、备用习题1在abc中，sinasinbcosacosb，则abc是()a直角三角形 b钝角三角形c锐角三角形 d等腰三角形2.cossin的值是()a0 b c. d23在abc中，有关系式tana成立，则ab