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第4 章 变位齿轮传动提示 本章介绍了直齿圆柱变位齿轮传动的特点，重点讨论了设计方法步骤和变位系数的选择。4-1 变位齿轮由于标准齿轮的局限性，而变位齿轮有凑中心距，能提高小齿轮的强度，使产品结构紧凑等优点，所以变位齿轮在现代机电产品中得到广泛的应用。 标准齿轮的定义是除模数（m）和压力角（）为标准值外，分度圆上的齿厚（s）与齿距（p）之比，以及齿顶高（）、齿根高（）分别与模数（m）之比大的值均等于标准值的一种齿轮。 我国基本齿廓标准(GB1357-88)中规定： 式中，e为分度圆上的齿槽宽，为齿顶高系数，为顶隙系数，其值=1, =0.25所以，我国的渐开线圆柱直齿标准齿轮其m、 均为标准值，且s/p0.5（或se）、 由于标准齿轮受标准齿轮参数的限制，影响了齿轮传动潜力的发挥。为了摆脱这种限制，使齿轮设计更加合理，传动质量更好，人们曾以多种方法来修正标准齿轮，其中以变位修正的方法获得了最广泛的应用并将它称为变位齿轮，它是一种非标准齿轮。它除m、仍为标准值外s/p、中至少有一项不是标准值。 在圆柱齿轮设计中，齿轮的基本尺寸计算，一般均以齿条插刀加工外齿轮轮齿来推导轮齿几何尺寸计算公式。下面就通过用齿条插刀加工外齿轮轮齿来进一步讲清楚变位齿轮概念。 标准齿条刀的齿廓，它与齿条的齿廓基本相同，只是齿顶增加了的高度。在齿条刀中线上的齿厚与齿距之比等于0.5（即齿厚等于齿槽宽）。与以半径为的圆弧相切并平行于齿条刀中线的直线刀刃称为刀顶线，它是用于切制被切齿轮齿根圆的。半径为的圆角刀刃，是切出齿根部分非渐进线的过渡曲线。 如图4-1所示为齿条刀切齿的原理图，它是利用齿轮齿条啮合传动原理来加工齿廓的。其中齿条作刀具，机床的传动链强制齿条刀与被切齿轮坯之间按齿轮齿条啮合传动关系运动，即被切齿轮坯以角速度等速定轴转动，齿条刀相应地以线速度等速直线移动。式中m是被切齿轮的模数，z是被切齿轮的齿数。根据两齿轮的正确啮合条件可知，被切齿轮分度圆上的模数和压力角必须分别等于齿条刀的模数和压力角。图4-1齿条刀切齿的原理图切制圆柱外齿轮轮齿时，齿条刀是逐渐切入齿轮坯的（即刀具逐渐靠近齿轮坯中心），切入的终点位置不同，切出的齿轮轮齿尺寸就不同。 图4-2所示是将齿条刀中线最终与齿轮坯分度圆相切，并使它们之间保持纯滚动，所以，被切齿轮与分度圆上的齿距必须等于齿条刀中线上的齿距。由于切齿相当于无侧隙啮合，被切齿轮分度圆齿厚必等于齿条刀中线上的齿槽宽，而被切齿轮分度圆齿槽宽必等于齿条刀中线上的齿厚。因为齿条刀中线上的齿厚等于齿槽宽，所以，被切齿轮的齿厚必等于齿槽宽，即se。此外，由图中可知，被切齿轮的齿根高等于齿条刀顶线至中线的距离（）m。因为齿轮坯的齿顶圆是预先已按标准齿轮齿轮的齿顶圆直径加工好了，切齿时齿条刀根线与被切齿轮齿顶圆之间保持c*m的顶隙，即被切齿轮齿顶高等于。这样切出的齿轮必定是标准齿轮。图4-2齿条刀中线与齿轮坯分度圆相切根据渐开线齿轮齿条啮合中心距可变性可知，齿条刀中线相对于被切齿轮分度圆有三种最终位置，如图4-3（a），(b)，(c)所示。当齿条刀最终位置的中线位于图4-4（a）所示时（即中线与分度圆相切），如上所述可切出标准齿轮。当齿条刀中线远离被切齿轮迴转中心，从而处于图4-4（b）所示位置时，因被切齿轮分度圆大小和位置未变，只是齿轮分度圆（与节圆啮合）沿着与刀具中线心线平行的另一条节线纯滚动，同时齿条刀齿廓方位未变，故被切出的齿轮压力角，模数仍等于齿条刀的压力角、模数。但由于此时齿条刀节线上的齿槽宽大于齿厚，故切出的齿轮分度圆上的齿厚大于齿槽宽（即se）。又由于齿条刀顶线远离被切齿轮中心，故切出的齿轮根圆加大3，为了保持全齿高基本不变，齿顶圆也需相应加大。因此，切出的齿轮顶高，齿顶高 图4-3(c)表示齿条刀中线，靠近被切齿轮回转中心，中线于分度圆相割，此时切出的齿轮se、0）；齿条刀中线靠近被切齿轮中心所切出的齿轮被称为负变位齿轮，其变位系数取负值（即x，所以，。若令，则。中心距缩小了，为了保证具有标准顶隙，齿高就要减少。 图412b是的情况。图413是的情况，图4-13由于公共齿条分别与齿轮1和齿轮2作无侧隙啮合时的节点P1和P2不重合,公共条齿廓与两齿轮齿廓相切接触点也不重合.所以,将公共齿条抽出后,两齿轮存在较大的侧隙.为了保证这对齿轮无侧隙啮合,就须将中心距缩小一个距离.所以,对于X1+X20的变位齿轮传动,也是X1+X20的齿轮）。它与标准齿轮相比分度圆齿厚加大，齿顶高加大（齿顶圆直径加大）、齿根高减小（齿根圆直径加大）； 2、负变位齿轮（即1。设计时应根据齿轮传动的使用要求和制造精度确定许用值，一般取1.2。二 保证轮齿加工时不根切 在机械原理教材中已讲述过产生齿廓根切的条件：用齿条刀切齿时，若齿条刀直线齿廓部分的齿顶线（不是刀顶线）与啮合线的交点，超出啮合线与轮坯基圆的切点（即啮合极限点）N,则被切齿轮的轮齿必产生根切。如图414所示，为避免齿廓根切，可利用渐开线齿廓啮合的中心距可变性，将齿条刀远离被切齿轮回转中心移动一个距离，使齿条刀的齿顶线与啮合线的交点B在N点以内，所以用齿条刀切齿不产生齿廓根切的条件为由图得 所以 （49）由式（49）可知，齿廓根切与模数无关，在和采用标准值条件下，要避免齿廓根切，只需要足够多的齿数与足够大的变位系数，即由式（49）得 。当齿条刀的齿顶线与啮合线的交点B刚好在N点上时，被切齿轮刚好不会产生根切。此时式（49）取为等式。其变位系数称为不产生齿廓根切的最小变位系数（简称最小变位系数），并用xmin表示，所以XminZsin/2 (4-9,a)对于=1,=20,则 Xmin1 Z/17=(17-Z)/17由上式可知，当 Z0,这表示当齿数少于17时，若要不产生齿廓根切，就必须采用满足式（49）的正变位齿轮；当17时，则Xmin=0 ,就更不会产生齿廓根切。当Xmin0时，由上式可得z=17,这表示采用标准齿轮又刚好不产生齿廓根切的齿数是17。此结论也可由式(4-9);令x=0（即采用标准齿轮），并取等式（即刚好不产生齿廓根切）得出： Zmin=2/ sin (4-9,b)式中Zmin称为标准齿轮不产生齿廓根切的最少齿数（简称最少齿数）。对于=1，=20，则Zmin17。三保证足够的渐开线齿轮工作段 在传统的齿轮设计文献中，均认为齿廓根切是单个齿轮变位系数最小值的限制条件。当20 ，1时，就用Xmin（47Z）/17来计算其值。但当齿轮齿数较多时，若采用X=Xmin，会出现齿轮齿顶圆小于径圆，其齿廓全是非渐开线的曲线。 若令da=db,即Z+2(+X-)=Zcosa,并取1，a20,=0,X=Xmin=(17-Z)/17,则Z=69.76.若取Z=70,M=1mm, =1,a=20, =0,X=Xmin=-3.11765,则db=65.778mmda=65.7647mm.若该取Z=71,得db=66.718da=66.647mm,由此可知，对于1，a20，Z=70的齿轮，不能用Xmin=(17-Z)/17来限制最小变位系数，而必须用渐开线齿廓长度是否足够齿轮传动的需要，来限制最小变位系数。 通常可用重合度来度量一对齿轮传动中齿轮渐开线齿廓长度是否足够。而在一对外齿合渐开线直齿圆柱齿轮传动的重合度计算公式B1B2/pb中，B1B2=N1B1+N2B2-N1N2=+(+r)tga,是在B1和 B2点处于N1N2范围内推导出来的。但对于负变位量大的齿轮传动，有时会出现的情况，此时，N1N2=0，两径园相切，B1和B2点不在N1N2线内，B1B2=+,用重合度公式计算会得到较大值，而实际上齿轮传动已无法进行渐开线齿廓齿合，因此，计算必须在a0和rr,rr条件下进行，当a很小时，也要防止B1，B1点不在N1N2线内的情况，故对于负变位最大的齿轮传动，在使用重合度计算公式前，必须先检查B1,B2点是否在N1N2线内。齿廓渐开线长度是否足够齿轮传动的需要，是对齿数多且负变量大的齿轮才存在的，故设计时只需对这种齿轮进行核算。设齿轮2为齿数多且变位量大的齿轮。当rr时，其齿顶圆与齿合线的交点B2不会超出N1点，有时还可能在PN2间，但当X1+X2较小使a较小时，齿轮1的齿顶圆与齿合线的交点B1可能超出N2点，所以，应保证B1点不超出N2点。要B1点在N1N2之内（即B1点不超出N2点），则要求N1B1/(r r)= (4-10)因与成正比，故上式是要求所采用的不要太小。在用（410）式保证B1点在N1N2线内后，还应要求rO2B1=r,即要求齿轮1齿顶与齿轮2齿根部在B1点齿合时，是在齿轮2顶圆与基圆之间的渐开线齿廓上，也就是B1点应在图中B2点右边并在N2点左边，即N2B2N2B1。由和，经化简得 （411）在满足（410），（411）式条件下，若重合度又满足要求，就能保证齿轮渐开线齿廓长度足够齿轮传动得需要。由上述可知，对于齿数不多得齿轮，齿廓根切是限制单个齿轮负变位系数得条件对于齿数较多得齿轮，渐开线齿轮齿廓长度足够提限制其负变位系数得条件。四 保证啮合时不干涉1 过渡曲线如图410所示为一个没根切得渐开线齿轮。从齿轮一边得外形分析，可知它由四段曲线组成：齿顶圆弧、渐开线齿廓、齿根圆弧和过渡曲线。过渡曲线是渐开线齿廓与齿根圆之间得一段光滑连接得曲线。其中除齿顶圆弧是切齿前已制成得以外，其余三段均由切齿刀具所切成。现以齿条刀切齿为例，说明其切制情况。如图43所示，刀顶直线切出齿根圆弧。如图42所示，刀齿得斜直线刀刃切出渐开线齿廓。如图417所示。它从啮合线上的点（被切齿轮齿顶圆与啮合线交点）开始，直切到点（齿条刀齿顶线与啮合线交点）为止。被切齿廓上点至齿顶的曲线为渐开线齿廓。而由点到齿根圆弧的一段曲线，则为到顶圆弧所切出的过渡曲线。图示位置为刀具上齿顶圆弧与直线齿廓相切点，正好在切削齿轮上过渡曲线与渐开线的相切点，该点在齿轮上称为过渡点。对于不同参数的被切齿轮，其过渡曲线有的全部位于基圆之外，有的跨越基圆内外，还有的全部位于基圆之内。图416所示为过渡曲线位于基圆之外的情况，其根部的虚线是渐开线。2 齿廓啮合工作段 一对相啮合齿廓从开始啮合到终止啮合过程中，齿廓上参与啮合接触过的齿廓部分，称为齿廓啮合工作段。如图418 所示，主动齿轮1的齿根部与从动齿轮2的齿顶在点接触开始啮合，随着齿轮转动，在主动齿轮1的齿廓上，接触点逐渐向齿顶移动，为轮齿顶尖点，图中曲线为齿轮1的齿廓实际参与啮合的工作段，而点以下的齿廓不参与啮合，是齿轮1上齿廓工作段的起始点。作持齿轮1齿顶圆与啮合线交点，再以点为圆心，为半径作弧与图示齿轮2齿廓相交与点，则齿轮2上齿廓工作段为图中的3 过渡曲线干涉 一对齿轮啮合传动时，如果一齿轮渐开线齿顶与相啮合齿轮齿根部的过渡曲线相接触，由于过渡曲线比相应的渐开线凸起（如图416所示），故在无侧隙条件下，会使两齿轮卡住不动，这种现象称为过渡曲线干涉。若有足够的侧隙，也会由于过渡曲线不是渐开线，而引起角速比变化。故设计中，应避免过渡曲线进入齿啮工作段。由图4-17和图4-18可知，要避免在齿轮1齿根部产生过渡曲线干涉，就应使齿轮1的齿廓工作段的起始点位于齿廓渐开线段内，即 对于渐开线上的点，因为 所以 由图416可得 由图417可得 因此，齿轮1齿根部不产生过渡曲线干涉的条件为 （412a） 同理，齿轮2齿根部不产生过渡曲线干涉的条件为 (412b) 式中，分别为齿轮1、2的齿顶圆压力角，为啮合角。由式（412）可知，在无侧隙啮合条件下，过渡曲线干涉与模数无关。五 保证足够的齿顶厚为了保证齿轮的齿顶强度，齿顶厚不能太薄，对于软齿面，要求，对于硬齿面，要求。将任意圆齿厚公式中的代换为得 （413） 由上式可知，齿数z多，S/m大；变位系数大，S/m小，故齿顶厚是限制单个齿轮变位系数最大值的条件。对于标准齿轮和负变位齿轮，其齿顶厚度都是足够的。对于正变位齿轮，它的分度圆齿厚虽然加大了一些，但是随着齿顶圆的加大，齿顶厚收缩很快，使其齿顶厚变小，故对正变位齿轮应验算其齿顶厚。六 保证切出完整的渐开线齿形当用标准滚刀切制齿数多且变位系数大的齿轮时，会产生齿轮不完全切削现象，即当轮齿齿形尚未切完时，刀具就退出了切削。如图419所示，点为被切齿轮齿顶圆与啮合角的交点，点为滚刀齿顶线与啮合线的交点。齿轮的齿形是在点和点之间滚切出来的，只有滚刀刀齿部分的长度等于或大于图示的长度，才能切出完整的齿形。考虑到滚刀齿顶厚度的规定，滚刀刀齿部分长度应为 （414）从齿轮滚刀标准中，由已知的 , m 查出滚刀刀齿部分的长度L，若满足式（414）的要求，则可以切出完整的齿形。若不满足式（414）的要求，则需改变设计参数，或订购大于标准滚刀长度的非标准滚刀来加工齿轮。由式（414）可知，由于通常 ,，而m与L在滚刀标准中有一定关系，设计时只有改变z和。而且z和越大则要求滚刀长度越长。所以，只有当z和较大时，才需验算滚刀长度是否足够。4-3 变位系数的选择一 选择变位系数的基本原则 在现代变位齿轮设计中，一般均是依据齿轮传动的工作条件，针对最有可能产生的主要失效形式，在满足限制条件下，根据质量指标，选用最佳的变位系数。 有些变位齿轮的设计，要先选定变位齿轮传动的类型，再进一步选择和值。下面简述四种类型的性能特点。正角度变位齿轮传动（简称正传动）的，因此，而啮合角的增大，使实际啮合点和远离理论啮合极限点和，故两齿轮根部的相对滑动减少，从而减轻了轮齿的磨损。当啮合角增大后，节点处两齿轮齿廓的曲率半径和相应增大，从而提高了齿轮的接触强度。同时还可使两齿轮均采用正变位系数，或者小齿轮的正变位系数大于大齿轮的负变位系数的绝对值，因而使小齿轮的齿根部厚度增大，从而提高了弯曲强度。采用正传动还可以使用齿数和，从而可减小齿轮传动的尺寸。虽然采用正传动其重合度会稍减少，但优点较多，故应优先选用。负角度变位齿轮传动（简称负传动）的，因此，。正传动的优点正是负传动的缺点，故应尽量少选用，它仅在时，为了配凑中心距才采用。 高度变位齿轮传动（又称等移距变位齿轮传动）的，一般是小齿轮采用正变位系数，大齿轮采用负变位系数，使实际啮合线向大齿轮一侧移动一段距离，从而使大、小齿轮滑动磨损和弯曲强度等接近相等，此外，还可使小齿轮的齿数而不产生齿廓根切，故高度变位齿轮传动适用于，且大、小齿轮的齿数相差较大的场合。此外还常用于修复标准齿论传动中已磨损了的大齿轮，即对大齿轮作负变位切制，重新配制正变位的小齿轮。标准齿轮传动的，无侧隙啮合的中心距，一般用于，且的场合。二 变位系数选择方法简介 选择变位系数的问题，人们曾作过大量的研究工作，有的国家还制定了标准，有的列出计算公式，有的制出表格，有的制出线图，但是这些方法大多只侧重少数限制条件和啮合质量指标，以致难以达到选出最合理的变位系数的要求。为了正确合理地选择变位系数制成了选择变位系数地封闭图册，参考文献6中列出了这些封闭图。对给定齿数及齿形参数地齿轮按照各种限制条件和啮合质量指标地计算公式绘制以变位系数和为坐标轴地曲线合在一张图上地图形为选择变位系数地封闭图。它综合考虑了各种限制条件和性能指标，因而可根据齿轮传动地要求，比较合理地选择变位系数。四、举例例41如图430所示，已知齿轮齿条传动中的齿轮回转轴线至齿条分度线的距离H29mm，齿条的模数m4mm，齿型角，齿顶高系数,顶隙系数.试确定齿轮的齿数合齿顶圆直径，全齿高h。 解：假设该齿轮是标准齿轮，它与齿条无侧隙啮合时，齿条的分度线与齿轮分度圆相切，由rmz/2H29mm得z14.5。由于齿数应是整数，因此可判定该齿轮是变位齿轮。若取z15，就必定采用负变位齿轮，但，对于、z15的负变位齿轮必定产生齿廓根切，故改选z14。再由mzxmH29mm，得x0.25。因为，因此不会产生齿廓根切。再用式（413）校合齿顶厚度。 由此可知齿顶后足够。由参考文献2中的齿轮齿条传动重合度计算公式得 重合度也足够。由于齿轮是用齿条刀切制，现又是该齿轮与齿条相啮合，故不会产生过度曲线干涉。所以选定的z14、x0.25是合适的，其齿顶圆直径，全齿高。例12 。已知一对齿轮的m=10mm, 试分析其传动类型。解： 假设为标准齿轮传动，则 联立解得，。为保证，取，或，两个方案。 方案一：，要采用负传动。方案二：，要采用正传动。方案二较优，所以采用，因此得在封闭图曲线取，从图中可知，该对齿轮不产生齿廓根切，不产生过渡曲线干涉，齿顶厚足够，重合度足够。例4-3已知一对齿轮的=12,=31, m=4mm, =,=1, =0.25.试综合考虑齿轮质量指标的条件下,选定变位系数X1,X2,并求出齿轮传动中心距,分度圆直径,顶圆直径,和全齿高h.解:综合考虑限制条件和质量指标, 在封闭图选取点X1=0.6,X2=0.2. =(+)=4(12+31)/2=86mm =+2(0.6+0.2)tg/(12+31) =0.028447458 = = cos/ cos=86 cos/ cos=88.87mm中心距取整数为=89mm =arccos(86cos/89)= X1+X2=(12+31)( -)/2tg=0.83850.84 由封闭图取点X1=0.6,X2=0.24. =m=48mm =m=124mm y=(-)/m=0.75 =X1+X2-y=0.09 =m+2m(+X4-)=60.08mm =m+2m(+X2-)=133.2mmh=m(2+-)=8.64m44 斜齿圆柱变位齿轮传动一. 基本尺寸计算 斜齿圆柱齿轮的变位量,不论从法面或端面来看都是相同的,所以, ,则,式中为斜齿圆柱齿轮分度圆柱螺旋角,和为端面和法面变位系数。 一对斜齿圆柱变位齿轮，在端面上就相当于一对直齿圆柱变位齿轮，所以，只要将已知的斜齿援助变位齿轮的法面参数换算成端面参数,就可代入直齿圆柱变位齿轮传动的基本尺寸计算的表11中计算斜齿圆柱变位齿轮传动的基本尺寸。二 选择变位系数的限制条件1 重合度斜齿圆柱齿轮传动的重合度是由端面重合度和轴向重合度之和组成： 。式中为端面重合度，其值等于与斜齿圆柱齿轮端面参数相同的直齿圆柱齿轮传动的重合度，为轴面重合度，它与齿宽b和分度圆柱螺旋角成正比，通常均大于1。因此，在斜齿圆柱齿轮传动中，重合度不是选择变位系数的限制条件，而是影响传动质量的指标。2 齿廓根切将端面系参数代入式（49，b），可得斜齿圆柱标准齿轮不产齿廓根切的至少齿数为 （418） 式中，由上式可知愈大，则愈小。如，则。 将端面参数代入式（49，a），可得斜齿圆柱齿轮不产生齿廓根切的端面最小变位系数为： （419） 端面最小变位系数为，式中，由上式可知愈大，则最小变位系数愈小。3 齿顶厚和过渡曲线干涉斜齿圆柱变位齿轮的齿顶厚和过渡曲线干涉的校核，均可将端面参数代入直齿圆柱变位齿轮的计算公式（413）、（412，a）和（412，b）中进行。三斜齿圆柱齿轮传动也可以采用高度变位和角度变位。若采用正传动，可增大齿轮的综合曲率半径及齿根厚度，但会使重合度减小，缩短轮