【优化指导】高中数学（基础预习+课堂探究+达标训练）9.2 等差数列第4课时 湘教版必修4.doc

第4课时等差数列前n项和公式的应用学习目标重点难点1记住等差数列前n项和的性质，并能用这些性质解决问题；2知道an与Sn的关系并能熟记，能用这个关系解决有关问题；3会利用等差数列的知识解决等差数列的一些实际应用问题.重点：等差数列的前n项和的性质，an与Sn的关系公式及其应用；难点：an与Sn的关系公式及其应用，等差数列的实际应用；疑点：an与Sn的关系及应用.1等差数列前n项和的性质(1)若an是等差数列，Sn是其前n项和，则Sn，S2nSn，S3nS2n，也构成等差数列(2)若an是等差数列，Sn是其前n项和，那么S2n1(2n1)an.预习交流1若Sn是等差数列an的前n项和，那么是否是等差数列？2数列中an与Sn的关系已知数列an的通项公式an，前n项和Sn，则Sn与an有如下关系：an预习交流2等式anSnSn1成立的条件是什么？预习交流3怎样由数列的前n项和公式Sn求出其通项公式an?在预习中还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！我的学困点我的学疑点答案：预习交流1：提示：是，这是因为Snna1d，所以a1dn，故是公差为的等差数列预习交流2：提示：条件是n2，因为当n1时，Sn1无意义预习交流3：提示：先由SnSn1求出an(n2)，再根据a1S1求出a1的值，若当n1时，a1S1也满足“an式”，则数列的通项公式可用anSnSn1来表示；若当n1时，a1S1不满足“an式”，则数列的通项公式应用分段函数来表示一、等差数列前n项和的性质设等差数列an的前n项和为Sn，若S39，S636，则a7a8a9()A63 B45 C36 D27思路分析：由S39，S636可求出第一个3项之和以及第二个3项之和，然后利用等差数列前n项和的性质可求出第三个3项之和，即a7a8a9的值若Sn表示等差数列an的前n项和，已知，那么()A BC D1这类问题采用等差数列前n项和的性质进行求解，显得简捷、迅速，当然，也可利用基本量方法进行求解，但过程将复杂，运算量加大2注意是Sn，S2nSn，S3nS2n，成等差数列，而不是Sn，S2n，S3n构成等差数列二、an与Sn的关系及其应用已知数列an的前n项和为Sn2n23n1.(1)求数列an的通项公式；(2)数列an是否为等差数列？思路分析：利用an与Sn的关系求出通项公式后再进行判断已知数列an的前n项和Snn29n，第k项满足5ak8，则k()A9 B8C7 D6已知数列的前n项和公式Sn，求an时应分三步：第一步：利用a1S1求a1；第二步：当n2时，求anSnSn1；第三步：检验a1是否适合n2时得到的an，若适合，则将an用一个公式表示，若不适合，将an用一个分段函数表示已知数列an的各项均为正数，前n项和为Sn，且满足2Snan4，求证：an为等差数列，并求出其通项公式思路分析：在等式2Snan4中令n取n1，可得另一个等式2Sn1an5，两式相减，然后利用an与Sn的关系可消去Sn，得到an与an1的关系，从而可判断数列是否是等差数列，再根据a1S1可求出a1的值，即得通项公式已知数列an的各项均为正数，前n项和为Sn，且满足8Sn(an2)2，求数列an的通项公式1证明一个数列an是等差数列的基本方法有两种：一是利用等差数列的定义法，即证明an1and(nN*)，二是利用等差中项法，即证明：an2an2an1(nN*)在选择方法时，要根据题目条件的特点，如果能够求出数列的通项公式，则可以利用定义法，否则，可以利用等差中项法2已知an与Sn的关系公式，求an时可根据已给出的关系公式，令nn1或nn1，再写出一个公式，然后将两式相减，消去Sn，得到an与an1或an与an1的关系，从而确定数列an是等差数列或其他数列，然后求出其通项公式三、等差数列的综合应用一支军队有15辆军车，某一天依次执行任务第一辆于下午2时出发，第二辆于下午2时10分出发，第三辆于下午2时20分出发，以此类推假设所有的司机都连续开车，并且都在下午6时停下休息(1)到下午6时，最后一辆车行驶了多长时间？(2)如果每辆车的行驶速度都是60 km/h，这支车队当天一共行驶了多少路程？思路分析：各辆车行驶的时间构成了一个等差数列，可用等差数列的通项公式和前n项和公式解决问题为了参加运动会的5 000 m长跑比赛，李强给自己制定了10天的训练计划：第一天跑5 000 m，以后每天比前一天多跑400 m那么李强10天总共要跑多少米？实际问题中，若出现一组数的相邻两项的差为定值，则可考虑从实际问题中抽象出等差数列模型，把实际问题转化为等差数列问题，然后利用等差数列的通项公式与前n项和公式等知识求解1若Sn是等差数列an的前n项和，且S8S320，则S11的值为()A44 B22 C D882已知数列an的前n项和Sn，则a5()A B C D3已知Sn是等差数列an的前n项和，且Sn20，S2n80，则S3n()A130 B180 C210 D2604若一个等差数列的前3项之和为34，最后3项之和等于146，所有项的和为390，则这个数列一共有_项5已知数列an的前n项和为Sn，且Sn2an1(nN*)，则a5_.提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记知识精华技能要领答案：活动与探究1：B解析：由S39，S636知：a1a2a39，a4a5a6S6S336927，由等差数列前n项和的性质知a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9仍然构成等差数列，所以a7a8a9227945.迁移与应用：C解析：S5，S10S5，S15S10，S20S15成等差数列，由S103S5，S156S5，S2010S5，.活动与探究2：解：(1)当n1时，a1S12，当n2时，anSnSn1(2n23n1)2(n1)23(n1)14n5，所以数列an的通项公式为an(2)当n2时，an1an4(n1)5(4n5)4，但a2a1325，所以数列an不是等差数列迁移与应用：B解析：当n2时，anSnSn1n29n(n1)29(n1)2n10，当n1时，a1S18也适合，所以an2n10.又因为5ak8，所以52k108，解得7.5k9，故k8.活动与探究3：证明：令n1得2a1a14，即a2a130，解得a13(a11舍去)当n2时有2Sn1an5，与2Snan4相减得2anaa1，即a2an1a，(an1)2a，因此得an1an1或an1an1.若an1an1，则anan11，而a13，所以a22，这与数列an的各项均为正数相矛盾；若an1an1，即anan11，因此an为等差数列，且公差为1，又a13，an3(n1)n2，故an的通项公式是ann2.迁移与应用：解：当n1时，有8a1(a12)2，解得a12.当n2时，有8Sn1(an12)2，即8Sn1a4an14，而8Sna4an4，两式相减得8anaa4an4an1，所以aa4an4an10，即(anan1)(anan14)0，由于数列an的各项均为正数，所以anan10，于是anan140，即anan14，故数列an为公差为4的等差数列，且an24(n1)4n2.活动与探究4：解：由题意知，第一辆车行驶了240分钟，各辆车行驶的时间构成了一个等差数列an，其中a1240，d10，则an24010(n1)10n250.(1)因为a152401014100，所以到下午6时，最后一辆车行驶了100分钟；(2)这支车队当天一共行驶的总时间为2 550分钟，所以这支车队当天一共行驶的路程为602 550千米迁移与应用：解：依题意可知，李强每天跑的距离数构成一个等差数列，记为an，则a15 000，d400.则李强10天跑的距离就是该等差数列的前10项的和，因此S10105 00040068 000，即李强10天总共要跑68 000 m.当堂检测1A解析：由S8S320得a4a5a6a7a820，因此5a620，所以a64，故S1111a644.2D解析：a5S5S4.3B解析：由于Sn，S2nSn，S3nS2n仍然构成等差数列，所以20,60，S3n80成等差数列，于是12020S3n80，解得S3n180.413解析：设该数列为an，Sn是其前n项和，则a