高考数学一轮总复习 第七篇 第2讲 一元二次不等式课件 理 湘教版.ppt

第2讲一元二次不等式 2014年高考会这样考 1 考查简单不等式的解法 特别是一元二次不等式和一元一次不等式的解法 主要是函数的定义域与值域 简单的复合函数相结合的题目 2 考查简单的指数 对数不等式的求解 可以利用单调性转化成简单的不等式求解 考点梳理 1 将不等式的右边化为零 左边化为二次项系数大于零的不等式ax2 bx c 0 a 0 或ax2 bx c 0 a 0 2 计算相应的判别式 3 当 0时 求出相应的一元二次方程的根 4 利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集 1 一元二次不等式的解法 2 三个 二次 间的关系 r x x1 x x2 x x x2 或x x1 一个技巧一元二次不等式ax2 bx c 0 a 0 的解集的确定受a的符号 b2 4ac的符号的影响 且与相应的二次函数 一元二次方程有密切联系 可结合相应的函数y ax2 bx c a 0 的图象 数形结合求得不等式的解集 若一元二次不等式经过不等式的同解变形后 化为ax2 bx c 0 或 0 其中a 0 的形式 其对应的方程ax2 bx c 0有两个不等实根x1 x2 x1 x2 此时 b2 4ac 0 则可根据 大于取两边 小于夹中间 求解集 助学 微博 两点提醒 1 解含参数的一元二次不等式 若二次项系数为常数 可先考虑因式分解 再对根的大小进行分类讨论 若不易因式分解 则可对判别式进行分类讨论 分类要不重不漏 2 二次项系数中含有参数时 则应先考虑二次项是否为零 然后再讨论二次项系数不为零时的情形 以便确定解集的形式 1 不等式2x2 x 1 0的解集是 考点自测 答案d 答案a a 28b 26c 28d 26 答案c a 5 7 b 4 6 c 5 7 d 4 6 解析将x 6代入可知适合 排除c 将x 0代入可知不适合 排除a b 故选d 答案d 4 2011 山东 不等式 x 5 x 3 10的解集是 5 不等式ax2 2ax 1 0对一切x r恒成立 则实数a的取值范围是 答案 0 1 1 x2 8x 3 0 2 x2 3 a x 3a 0 审题视点 利用求一元二次不等式的解法求解 注意对参数的讨论 考向一一元二次不等式的解法 例1 解下列关于x的不等式 1 解一元二次不等式时 当二次项系数为负时要先化为正 再根据判别式符号判断对应方程根的情况 然后结合相应二次函数的图象写出不等式的解集 2 解含参数的一元二次不等式 要把握好分类讨论的层次 一般按下面次序进行讨论 首先根据二次项系数的符号进行分类 其次根据根是否存在 即 的符号进行分类 最后在根存在时 根据根的大小进行分类 解 12x2 ax a2 12x2 ax a2 0 即 4x a 3x a 0 令 4x a 3x a 0 训练1 求不等式12x2 ax a2 a r 的解集 1 若对于x r f x 0恒成立 求实数m的取值范围 2 若对于x 1 3 f x 5 m恒成立 求实数m的取值范围 审题视点 1 分m 0与m 0 再结合判别式可求解 2 将其转化m g x x 1 3 上恒成立 再求g x 的最小值 考向二一元二次不等式恒成立问题 例2 已知函数f x mx2 mx 1 对于含参不等式的恒成立问题 我们不是直接去解它 而是通过变量分离 将其转化为最值问题后 得到所求变量的不等式 组 再解得范围 或者转化为函数问题 用函数知识得到所求变量的不等式 组 求出范围 解法一f x x a 2 2 a2 此二次函数图象的对称轴为x a 当a 1 时 f x 在 1 上单调递增 f x min f 1 2a 3 要使f x a恒成立 只需f x min a 即2a 3 a 解得 3 a 1 当a 1 时 f x min f a 2 a2 由2 a2 a 解得 1 a 1 综上所述 所求a的取值范围是 3 1 法二令g x x2 2ax 2 a 由已知 得x2 2ax 2 a 0在 1 上恒成立 训练2 已知f x x2 2ax 2 a r 当x 1 时 f x a恒成立 求a的取值范围 1 证明 y1 a或y2 a 2 证明 函数f x 的图象必与x轴有两个交点 3 若关于x的不等式f x 0的解集为 x x m或x0 审题视点 1 因式分解可证 2 分a 0与a 0讨论 3 先判别a 再用根与系数的关系求解 考向三三个 二次 关系的应用 例3 已知二次函数f x ax2 bx c a 0 的图象过a x1 y1 b x2 y2 两点 且满足a2 y1 y2 a y1y2 0 1 证明 a2 y1 y2 a y1y2 0 a y1 a y2 0 得y1 a或y2 a 2 证明当a 0时 二次函数f x 的图象开口向上 图象上的点a b的纵坐标至少有一个为 a且小于零 图象与x轴有两个交点 当a0的解集为 x x m或x0 并且可得ax2 bx c 0的两根为m n 一元二次不等式解集的两个端点值 不是 是对应一元二次方程的两个根 故当已知一元二次不等式的解集确定不等式中参数值时可借助根与系数的关系给出含参数的方程组的解 1 若方程f x 6a 0有两个相等的根 求f x 的解析式 2 若f x 的最大值为正数 求a的取值范围 解 1 f x 2x 0的解集为 1 3 f x 2x a x 1 x 3 且a 0 因而f x a x 1 x 3 2x ax2 2 4a x 3a 由方程f x 6a 0 得ax2 2 4a x 9a 0 因为方程 有两个相等的根 所以 2 4a 2 4a 9a 0 即5a2 4a 1 0 训练3 已知二次函数f x 的二次项系数为a 且不等式f x 2x的解集为 1 3 命题研究 通过近三年的高考试题分析 含参不等式的恒成立问题越来越受到高考命题者的青睐 由于新课标高考对导数应用的加强 这些不等式的恒成立问题往往与导数交织在一起 题型多以解答题出现 难度较大 热点突破14 不等式恒成立问题的化解 教你审题 第1步由指数函数性质推断a 0 第2步f x 1恒成立 f x min 1 第3步求导数得f x 的单调区间 从而求f x min 第4步解不等式 第5步构造函数利用导数求最大值为1 真题探究 2012 湖南节选 已知函数f x eax x 其中a 0 若对一切