高考数学一轮复习 2.7 函数的图像课件 文 新人教A版.ppt

2 7函数的图像 1 函数图像的主要作法有描点连线法 图像变换法 描点连线法作图的一般步骤为列表 描点 连线 熟悉函数图像作法后可以不要列表这一步 直接边算边描点 2 函数在某区间上的单调性决定了函数图像在这个区间上的大致变化趋势 结合图像对解决问题很有帮助 一 函数图像 二 几个常见函数的图像 三 图像的变换 图像变换法是由一个已知的函数图像 或是已知的一段函数图像 经过适当的变换 得到我们所需要的图像 图像变换法有平移变换 对称变换 伸缩变换 周期变换等 其中对称变换有点对称与直线对称等 y f x y f x a y f x y f x a y f x y f x a y f x y f x a 2 伸缩变换的两种基本平移形式 其中a 0 0 y f x y f 1 平移变换的四种基本平移形式 其中a 0 y f x f x 3 对称变换 1 点对称 图像上的两个互相对应点的中点为对称点 若对于任意的x都有f x f 2a x 2b 则f x 关于点 a b 对称 2 直线对称性 图像上的两个互相对应点的中点在直线上 如果两个点不相同 则直线为两个点连线段的垂直平分线 常见的对称有关于x轴 y轴 直线y x 直线x y 0 直线x a 直线y b对称 3 与绝对值有关的对称 y f x 的图像是保留y f x 图像不在x轴下方的部分 将y f x 图像中位于x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方去 y f x 是一个偶函数 图像关于y轴对称 故只需画出y轴右半部分的图像就可得到y轴左半部分的图像 四 试题中的常见问题 1 若f a x f b x 恒成立 则y f x 的图像关于x 成轴对称图形 2 函数y f x a 与函数y f b x 的图像关于直线x 对称 3 若定义在r上的函数f x 关于直线x a与x b b a 都对称 则函数f x 为周期函数 2b 2a是它的一个周期 4 若定义在r上的函数f x 关于点 a c 和 b c b a 成中心对 称 则函数f x 为周期函数 2b 2a是它的一个周期 5 若定义在r上的函数f x 关于点 a c 成中心对称 关于直线x b b a 成轴对称 则函数f x 为周期函数 4b 4a是它的一个周期 1 方程log2 x 4 3x的实根的个数为 a 0个 b 1个 c 2个 d 3个 解析 借助图形 由图可知 答案 c 2 函数f x 的图像大致是 解析 f x f x 故f x 为奇函数 又f 1 0 故排除a b c 答案 d 3 函数y ln 1 x 的图像大致为 解析 y lnx与y ln x 的图像关于y轴对称 y ln x 的图像向右平移1个单位得y ln x 1 ln 1 x 故选c 答案 c 题型1函数图像基础题 例1作出下列函数的图像 y x 2 x 1 y 2 x 3 分析 作函数图像可以用两种方法进行 一是转化函数解析式 这里是去掉绝对值符号 再采用描点法 二是利用基本函数图像进行适当地变换 解析 y 这是分段函数 每段函数图像可根据二次函数图像作出 如图1 先作出函数y 2x 去掉y轴左边的图像 并将右边的图像复制到左边 得到函数y 2 x 的图像 然后再将函数y 2 x 的图像向左平移3个单位得到 图中的实线就是所求作的函数图像 如 图2 点评 为了作图 必须要熟悉常见基本初等函数的图像 并从函数的性质 如定义域 值域 奇偶性 对称性 单调性 过定点等 来确定函数图像 在作函数图像时 若作不熟悉的函数图像 可以先变形为基本函数再作图 但要注意变形的等价性以及x y的变化范围 熟记基本函数的图像 如 一次函数 反比例函数 二次函数 幂函数 指数函数 对数函数等图像 利用变换法作图时 要正确理解和应用变换规律 抓住关键点和线 变式训练1作出下列函数的图像 1 y 2 y log2 x 1 解析 1 y 2 作出函数y 的图像 然后向右平移3个单位 再向下平移2个单位 得到所求函数的图像 如图1 函数y log2x的图像 向右平移1个单位得函数y log2 x 1 的图像 然后作出该图像关于y轴的对称图像 得函数y log2 x 1 的图像 如图2 2 y log2 x 1 的定义域为 1 1 是偶函数 先作出 例2已知a 0且a 1 f x x2 ax 当x 1 1 时 均有f x 求实数a的取值范围 分析 把二次与指数分开 将问题转化为研究二次函数与指数函数的关系 解析 x 1 1 时 均有f x x2 ax x2 ax在x 1 1 恒成立 题型2利用函数图像解题 令g x x2 x ax 当x 1 1 时 g x 的图像在 x 的图像的下方 当a 1时 结合图像可知a 1 即1 a 2 当0 a 1时 结合图像可知 a 1 点评 本题结合了化归与转化的思想 讨论的思想 数形结合的思想 从而轻松解决问题 直接运算是比较困难的 变式训练2若不等式logax sin2x a 0且a 1 对于任意 0 都成立 求实数a的取值范围 解析 令函数g x logax x sin2x 在 0 上 g x logax的图像在 x sin2x的图像的上方 结合图形可知 x sin2x过点 1 且在 0 上单调递增 只有当01 即loga 1时 才满足题意 a 1 实数a的取值范围 1 例3设f x 是定义在r上的偶函数 对任意x r 都有f x 2 f x 2 且当x 2 0 时 f x x 1 若在区间 2 6 内关于x的方程f x loga x 2 0 a 1 恰有3个不同的实数根 求实数a的取值范围 分析 利用偶函数 周期性的性质和数形结合的方法 再根据图像分析函数的实根取值个数 题型3函数图像的综合问题 对任意x r 都有f x 2 f x 2 f x 的周期为4 当x 2 0 时 f x x 1 所以就可以画出一个周期的图像 f x loga x 2 0 a 1 即f x loga x 2 作图分析 函数f x 与函数y loga x 2 的图像在 2 6 上有三个交点 解析 f x 是定义在r上的偶函数 f x 的图像关于y轴对称 a 2 点评 本题根据函数图像运用数形结合的方法巧妙解题 体现了函数图像在函数综合问题中的重要作用 变式训练3已知f x 是r上的单调函数 且对任意的实数a r 有f a f a 0恒成立 若f 3 2 1 试判断f x 在r上的单调性 并说明理由 2 解关于x的不等式 f f m 0 解析 1 f x 为r上的减函数 理由如下 由题设可知f x 是r上的奇函数 f 0 0 又因f x 是r上的单调函数 由f 3 2 f 0 f 3 所以f x 为r上的减函数 2 由f f m 0 得f f m f m 结合 1 得 m 整理得 0 当m 1时 不等式的解集为 x x 0 或x 当m 1时 不等式的解集为 x x 0 当0 m 1时 不等式的解集为 x 0 x 1 熟练地掌握基本函数的图像是解决有关图像问题的基础与关键 也是数形结合思想的具体体现 2 掌握函数图像的两种作法 描点法体现的是通过作图分析函数的性质 而变换法体现的是利用函数的性质分析函数的图像 再反作用于函数的性质 3 要求能正确地从函数的图像去讨论函数的性质 也要能用函数的性质去研究函数和认识函数的图像 4 能够正确地运用数形结合的思想解决问题 例已知函数f x x2 1 1 g x 2x 则它们图像的交点有 a 1个 b 2个 c 3个 d 4个 错解 作图 选b 剖析 本题错误的原因是没有掌握函数图像的 伸展趋势 因为 我们作图不可能把整个函数全部作出 也不可能十分精确 所以 必须注意函数图像的 伸展趋势 本题中f x 的图像是抛物线的属性 而g x 是指数函数的属性 当x增大时 指数函数的图像上升的速度显然比抛物线快 故在上述图像中除a b外必有一点c是它们的交点 事实上c点为 4 16 图像略 正解 通过数形结合并结合函数的性质可知有3个交点 答案 c 一 选择题 本大题共5小题 每小题6分 1 基础再现 下列函数图像中不正确的是 解析 函数y log2 x 是一个偶函数 图像应关于y轴对称 故d图不正确 答案 d 2 基础再现 函数y log2的图像 a 关于原点对称 b 关于直线y x对称 c 关于y轴对称 d 关于直线y x对称 解析 令f x log2 则f x log2 log2 f x 所以f x 是奇函数 答案 a 3 基础再现 函数y loga x 1 a 1 的图像大致是 解析 函数的定义域为r 故c d错 当x 0时 y loga x 1 a 1 只有图像b满足条件 故选b 答案 b 4 视角拓展 已知函数f x loga 2x b 1 a 0 a 1 的图像如图所示 则a b满足的关系是 a a b a 1 1 b 0 a 1 b 1 c 0 b 1 a 1 d 0 a 1 b 1 1 解析 函数f x 是增函数 利用复合函数的性质可知a 1 f 0 logab 1 logaa 1 且f 0 logab 0 loga1 0 a 1 b 1 答案 b 5 高度提升 若函数f x k 1 ax a x a 0且a 1 在r上既是奇函数 又是减函数 则g x loga x k 的图像是 k 2 f x ax a x 又f x 在r上是减函数 0 a 1 g x 的图像应是a 答案 a 解析 由函数f x 在r上是奇函数 可得f x f x 即 k 1 a x ax 1 k ax a x 6 基础再现 若对任意x r 不等式 x ax恒成立 则实数a的取值范围是 解析 在同一坐标系中作出函数y x 与函数y ax的图像 函数y x 的图像恒在函数y ax的图像上方或部分重合 所以 1 a 1 答案 1 1 二 填空题 本大题共4小题 每小题7分 7 视角拓展 若直线y 2a与函数y ax 1 a 0且a 1 的图像有两个公共点 则实数a的取值范围为 解析 讨论a 1 0 a 1时两种情况的图像 可得0 2a 1 0 a 答案 0 8 高度提升 已知函数f x log3x 正实数m n满足m n且f m f n 若f x 在区间 m n2 上的最大值为2 则m n的值为 解析 依题意可知mn 1 且01 m n 1 m n2 n 1 n2 f x 在区间 m n2 上的最大值为f n2 log3n2 2log3n 2 n 3 m m n 答案 9 高度提升 已知f x 是定义在 3 3 上的奇函数 当0 x 3时 f x 的图像如右图所示 则不等式f x cosx 0的解集是 解析 f x 是 3 3 上的奇函数 f x 0的解集是 1 0 1 3 f x 0的解集是 3 1 0 1 又在 3 3 上cosx 0的解集是 cosx 0的解集是 3 3 f x cosx 0等价于或 解得 x 1或0 x 1或 x 3 答案 1 0 1 3 10 视角拓展 设函数f x x2 logax a 0 a 1 若不等式f x 0在 0 上恒成立 求实数a的取值范围 解析 f x 0 x2 logax 在同一直角坐标系中作出函数y x2和y logax的图像 x2 logax在 0 上恒成立 等价于在区间 0 上 y logax的图像在y x2的图像的上方 于是0 a 1 如图 三 解答题 本大题共3小题 每小题14分 x 时 y x2 11 视角拓展 已知函数f x 的图像如图所示 f x 为奇函数 其定义域为 0 0 解不等式x f x f x 0 或 因为f x 为奇函数 或 3 x 0或0 x 3 不等式的解集为 3 0 0