高考数学一轮总复习 （基础轻过关+考点巧突破）第十三章 第7讲 空间中角与距离的计算课件 理 新人教版.ppt

第7讲 空间中角与距离的计算 1 异面直线所成的角 锐角或直角 过空间任一点o分别作异面直线a与b的平行线a 与b 那么直线a 与b 所成的 叫做异面直线a与b所 成的角 其范围是 0 90 2 直线与平面所成的角 1 如果直线与平面平行或者在平面内 则直线与平面所成的 角等于 0 2 如果直线和平面垂直 则直线与平面所成的角等于 3 平面的斜线与它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线 与平面所成的角 其范围是 0 90 90 斜线与平面所成的 是这条斜线和平面内经过斜足的 直线所成的一切角中最 的角 线面角 小 3 二面角从一条直线出发的两个半平面组成的图象叫做二面角 从二面角的棱上任意一点为端点 在两个面内分别作垂直于棱的两条射线 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角 平面角是直角 的二面角叫做 直二面角 4 点与它在平面上的射影间的距离叫做该点到这个平面的距离 求点到平面的距离通常运用 即构造一个三棱锥 将 点到平面的距离转化为三棱锥的 等积法 高 5 直线与平面平行 那么直线任一点到平面的距离叫做这条直线与平面的距离 a 充分不必要条件c 充要条件 b 必要不充分条件d 既不充分也不必要条件 b c 3 在空间四边形abcd中 e f分别为ac bd的中点 若cd 2ab 4 ef ab 则ef与cd所成的角为 a 90 b 60 c 45 d 30 d 4 已知两平面的法向量分别为m 0 1 0 n 0 1 1 则两 平面所成的二面角为 45 或135 5 如图13 7 1 在长方体abcd a1b1c1d1中 ab bc 2 aa1 1 则bc1与平面bb1d1d所成角的正弦值为 图13 7 1 考点1 线面所成角的计算 例1 如图13 7 2 已知ab 平面acd de 平面acd acd为等边三角形 ad de 2ab f为cd的中点 1 求证 af 平面bce 2 求证 平面bce 平面cde 3 求直线bf和平面bce所成 角的正弦值 图13 7 2 图d32 求直线与平面所成的角 大致有两种基本方法 传统立体几何的综合推理法 通过射影转化法作出直线与平面所成的线面角 然后在直角三角形中求角的大小 找射影的基本方法是过直线上一点作平面的垂线 连接垂足和斜足得到直线在平面内的射影 有时也可通过找到经过斜线且垂直于已知平面的垂面来确定斜线在平面内的射影 此时平面与垂面的交线即为射影 空间向量的坐标法 建系并确定点及向量的坐标 然后利用向量的夹角公式通过坐标运算求得直线和平面所成的角 互动探究 1 2010年全国 正方体abcd a1b1c1d1中 bb1与平面acd1 所成角的余弦值为 答案 d 考点2 面面所成角的计算 例2 2011年全国 如图13 7 3 四棱锥p abcd中 底面abcd为平行四边形 dab 60 ab 2ad pd 底面abcd 图13 7 3 1 证明 pa bd 2 若pd ad 求二面角a pb c的余弦值 图d33 求二面角 大致有两种基本方法 1 传统立体几何的综合推理法 定义法 垂面法 三垂线定理法 射影面积法 2 空间向量的坐标法 建系并确定点及向量的坐标 分别求出两个平面的法向量 通过求两个法向量的夹角得出二面角的大小 互动探究 2 2011年江苏 如图13 7 4 在正四棱柱abcd a1b1c1d1中 aa1 2 ab 1 点n是bc的中点 点m在cc1上 设二 图13 7 4 面角a1 dn m的大小为 1 当 90 时 求am的长 考点3立体几何中的综合问题例3 如图13 7 5 s是 abc所在平面外一点 ab bc 2a abc 120 且sa 平面abc sa 3a 求点a到平面sbc的距离 图13 7 5 图13 7 6 解析 方法一 如图13 7 6 作ad bc交bc延长线于d 连接sd sa 平面abc sa bc 又sa ad a bc 平面sad 又bc 平面sbc 平面sbc 平面sad 且平面sbc 平面sad sd 过点a作ah sd于h 由平面与平面垂直的性质定理可知 ah 平面sbc 于是ah即为点a到平面sbc的距离 方法三 如图13 7 7 以a为 坐标原点 以ac as所在直线为y轴 z轴 以过a点且垂直于yoz平面直线为x轴建立空间直角坐标系 图13 7 7 求点到平面的距离通常有以下方法 1 直接法 即直接确定点到平面的垂线 再求出点到垂足的 距离 2 间接法 包括等体积法和转化法 3 向量法 即求出已知点与平面上一点连接线段在平面法向 量方向上的射影长 此射影长即为所求点面距 互动探究 3 在长方体abcd a1b1c1d1中 ab bc 2 过a1 c1 b三点的平面截去长方体的一个角后 得到如图13 7 8所示的几何体abcd a1c1d1 且这个几何体的体积为10 图13 7 8 1 求棱a1a的长 2 求点d到平面a1bc1的距离 考点4求二面角 例4 如图13 7 9 四边形abcd是圆柱oq的轴截面 点p在圆柱oq的底面圆周上 g是dp的中点 圆柱oq的底面圆的半径oa 2 侧面积为8 aop 120 1 求证 ag bd 2 求二面角p ag b的平面角的余弦值 图13 7 9 图13 7 10 本小题主要考查直线与直线 直线与平面 平面与平面的位置关系 相交平面所成二面角以及平面几何的圆等知识 考查空间想象能力和推理论证能力 利用综合法或向量法解决立体几何问题的能力 1 利用向量解立体几何问题 要仔细分析问题特点 把已知条件用向量表示 把一些待求的量用基向量或其他向量表示 将几何的位置关系的证明问题或数量关系的运算问题转化为典型的向量运算 以算代证 以值定形 这种方法可减少复杂的空间结构分析 使得思路简捷 方法清晰 运算直接 能迅速准确地解决问题 立体几何中 处理空间的角和距离的问题主要掌握两种方法 传统方法和向量方法 传统方法需要较高的空间想象能力 需要深刻理解角和距离的定义 灵活运用空间的平行和垂直的定理和性质 向量方法必须熟