高中数学 6.2.1 点、线、面的位置关系学案 湘教版必修3.DOC

6.2.1点、线、面的位置关系1空间图形由点、线、面构成，研究空间的点、线、面的关系是研究立体几何的基础2在立体几何中，平面是无限延展的，通常画一个平行四边形表示一个平面；平面一般用希腊字母，来表示，还可以用表示它的平行四边形的字母或对角顶点的字母来表示3点在平面内或点在直线上，我们用“”表示点不在平面内或点不在直线上，我们用“”表示直线在平面内我们用“”表示直线与直线相交，或直线与平面相交，及平面与平面相交，我们都用“”表示它们的公共部分4四个公理文字语言图形语言符号语言公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内若al，bl，a，b，则l.公理2过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面若a，b，c三点不共线，则有且只有一个平面，使a，b，c.公理3平行于同一条直线的两条直线平行若ab，bc，则ac.公理4如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们的交集是一条过该点的直线若a，a，则l且al.5公理2的三个推论：(1)一条直线和直线外一点确定一个平面. (2)两条相交直线确定一个平面. (3)两条平行直线确定一个平面下列说法正确的是()a三点确定一个平面b四边形一定是平面图形c三角形一定是平面图形d平面和平面有不同在一条直线上的三个交点提示：c6空间的两条直线的位置关系有以下三种：(1)相交直线在同一个平面内，有且只有一个公共点；(2)平行直线在同一个平面内，没有公共点；(3)异面直线不同在任何一个平面内，没有公共点7与平面相交的直线与该平面内不过该交点的直线是异面直线(1)在三棱锥sabc中，与直线sa异面的直线是_提示：bc(2)在正方体abcda1b1c1d1中，与棱aa1平行的棱有_提示：bb1，cc1，dd18如果一条直线和一个平面没有公共点，那么我们说这条直线和这个平面平行9直线与平面的位置关系有以下三种：(1)直线在平面内有无数个公共点；(2)直线和平面相交有且只有一个公共点；(3)直线和平面平行没有公共点10定理1：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补(俗称等角定理)一、点、线共面问题【例1】四条线段首尾相接得到一个四边形，当且仅当它的两条对角线_时，才是一个平面图形解析：当两条对角线相交时，四个顶点在同一个平面内，是平面图形；当两条对角线不相交时，四个顶点不在同一个平面内，不是平面图形答案：相交【例2】已知直线ab，直线l与a，b都相交，求证：过a，b，l有且只有一个平面la，b，l共面证明多线共面的一种方法是先由公理2确定一个平面，再利用公理1依次证明其余各线也在这个平面内另一种方法是先由一部分直线确定一个平面，由另一部分直线确定另一个平面，再让这两个平面重合11经过同一直线上的3个点的平面()a有且只有一个b有且只有3个c有无数个 d不存在解析：由公理2知不在同一直线上的三个点确定一个平面，若三点在同一直线上，经过一条直线的平面有无数个答案：c12已知直线abc且都与d相交，求证a，b，c，d共面证明：ab，a，b确定一个平面.设a，b，c与d交于a，b，c点，a，b.而a，bd，d，b，a.又ac，则a，c确定平面，a，c.a，cd，d.又a，d，a既在平面内又在内，而相交直线d，a只能确定一个平面，由推论2知与重合，d，a，b，c共面二、点共线问题【例3】已知abc在平面外，abp，acq，bcr.求证：p，q，r三点共线只需证明p，q，r为平面abc与的公共点证明：如图abp，ab平面abc.p平面abc，p.p在平面abc与的交线上同理可证：q，r也在平面abc与的交线上p，q，r三点共线证明多点共线问题的常用思路如下：21如图，在正方体abcda1b1c1d1中，设线段a1c与平面abc1d1交于q点，求证：b，q，d1三点共线证明：如题图，d1平面abc1d1，d1平面a1d1cb，b平面abc1d1，b平面a1d1cb，平面abc1d1平面bcd1a1bd1.a1c平面abc1d1q，且a1c平面bcd1a1，q平面bcd1a1.而q平面abc1d1，q在两平面的交线bd1上b，q，d1三点共线三、线共点问题【例4】已知空间四边形abcd中，e、h分别是边ab、ad的中点，f、g分别是bc、cd上的点，且(如图所示)，求证：三条直线ef、gh、ac交于一点欲证三线共点，可证其中两条直线有交点，且该交点在第三条直线上证明：1，ehbd.而，且fgbd.四边形efgh为梯形，从而两腰ef、gh必相交于一点p.p直线ef，ef平面abc，p平面abc.同理，p平面adc.p在平面abc和平面adc的交线ac上故ef、gh、ac三直线交于一点证明若干线共点，可先证其中两条相交于一点，其他线也过这一点，本题就是采用这一方法，在解答过程中用到了“两个相交平面的公共点必须在它们的交线上”这一重要结论31如图所示的几何体中，aba1b1，aba1b1；aca1c1，aca1c1；bcb1c1，bcb1c1.求证：直线a1a、b1b、c1c相交于同一点证明：如图，aba1b1，aba1b1，直线a1a，b1b在同一个平面内，并且它们相交设a1a