1.3线段的垂直平分线.doc

线段的垂直平分线课前思考 如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置? 定理回顾 线段垂直平分线的性质： 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等 已知：如图，直线MNAB，垂足是C，且AC=BC，P是MN上的点求证：PA=PB 证明：MNAB， PCA=PCB=90 AC=BC，PC=PC PCAPCB(SAS) ； PA=PB(全等三角形的对应边相等) 你能写出该定理的逆命题吗？ 这个逆命题是真命题吗？为什么？请自己写出已知求证，并证明。 总结： 当我们写出逆命题时，就想到判断它的真假如果真，则需证明它；如果假，则需用反例说明已知：线段AB，点P是平面内一点且PA=PB求证：P点在AB的垂直平分线上证明：过点P作已知线段AB的垂线PC，PA=PB，PC=PC， RtPACRtPBC(HL) AC=BC， 即P点在AB的垂直平分线上证法二：取AB的中点C，过P,C作直线 AP=BP，PC=PC.AC=CB， APCBPC(SSS) PCA=PCB(全等三角形的对应角相等) 又PCA+PCB=180， PCA=PCB=90，即PCAB P点在AB的垂直平分线上证法三：过P点作APB的角平分线交AB于点C AP=BP，APC=BPC，PC=PC， APCBPC(SAS) AC=BC，PCA=PCB 又PCA+PCB=180PCA=PCB=90 P点在线段AB的垂直平分线上概念区分 垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等。垂直平分线的判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。思维点拨：注意“线段”不要记成“直线”，垂直平分线往往指的是一条直线。动手做一做 你还记得用尺规作图作已知线段的垂直平分线的作法吗？回忆一下，什么叫尺规作图？ 尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。已知：线段AB求作：线段AB的垂直平分线作法：1分别以点A和B为圆心，以大于 AB的长为半径作弧，两弧相交于点C和D 2作直线CD A B 直线CD就是线段AB的垂直平分线实践操作： 2已知直线 l 和 l 上一点P，利用尺规作l的垂线，使它经过点P L P问题解决： 如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置? 问题探究利用尺规作三角形三条边的垂直平分线，当作完时你发现了什么? 证明结论：三角形三边的垂直平分线交于一点.已知：在ABC中，设AB、BC的垂直平分线交于点O.求证：O点在AC的垂直平分线上证明：连接AO，BO，CO 点P在线段AB的垂直平分线上， OA=OB( ) 同理OB=OCOA=OC O点在AC的垂直平分线上( ) AB、BC、AC的垂直平分线相交于点O三角形三边的垂直平分线的性质定理 三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。定理应用已知：ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，AB的垂直平分线交AD于O 求证：OA=OB=OC 证明：AB=AC，AD是BC的中线， AD垂直平分BC(等腰三角形底边上的中线垂直于底边) 又AB的垂直平分线与交于点O OB=OC=OA( ) 议一议(1)已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗?如果能，能作几个?所作出的三角形都全等吗? (2)已知等腰三角形的底边，你能用尺规作出等腰三角形吗?如果能，能作几个?所作出的三角形都全等吗? (3)已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出等腰三角形吗?能作几个?已知底边及底边上的高，求作等腰三角形已知：线段a、h求作：ABC，使AB=AC，BC=a，高AD=h例一：课堂演练一、选择题1.已知ABC中，ABAC，AB的垂直平分线交AC于D，ABC和DBC的周长分别是60 cm和38 cm，则ABC的腰和底边长分别为 ( )A24 cm和12 cm B16 cm和22 cm C20 cm和16 cm D22 cm和16 cm 2.如图，在，90，15，的中垂线交于，为垂足，若10，则等于（）10 8 5 253.已知：如图，36，的垂直平分线交于，则下列结论：72；是的平分线；是等腰三角形；是等腰三角形，其中正确的有（）1个 2个 3个 4二、填空题4.如图，ED为ABC的AC边上的垂直平分线，且AB=5，BCE的周长为8，则BC . 5.在ABC中，AB=AC，A58，AB的垂直平分线交AC于N，则NBC = .6.命题“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”的条件是 ，结论是 三、解答题7.已知D是RtABC斜边AC的中点，DEAC交BC于E，且EABBAC23，求ACB的度数.探究实践8.9.点击中考10.作业：一选择题：1（2013滨城区二模）如图，ABC中，B=40，AC的垂直平分线交AC于D，交BC于E，且EAB：CAE=3：1，则C等于（）A28B25C22.5D202（2012江汉区模拟）如图，在DAE中，DAE=40，线段AE、AD的中垂线分别交直线DE于B和C两点，则BAC的大小是（）A100B90C80D1203（2012河池）如左下图，在ABC中，B=30，BC的垂直平分线交AB于E，垂足为D若ED=5，则CE的长为（）A10B8C5D2.5 4（2012毕节地区）如右上图在RtABC中，A=30，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E是垂足，连接CD，若BD=1，则AC的长是（）A.B2C.D45（2011绍兴）如图，在ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD若ADC的周长为10，AB=7，则ABC的周长为（）A7B14C17D206（2010台湾）如图，直线CP是AB的中垂线且交AB于P，其中AP=2CP甲、乙两人想在AB上取两点D、E，使得AD=DC=CE=EB，其作法如下：（甲）作ACP、BCP之角平分线，分别交AB于D、E，则D、E即为所求；（乙）作AC、BC之中垂线，分别交AB于D、E，则D、E即为所求对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确（）A两人都正确B两人都错误C甲正确，乙错误D甲错误，乙正确7（2009武汉模拟）如图，D是线段AB，BC的垂直平分线的交点，若ABC=50，则ADC的大小是（）A100B115C130D1508（2009钦州）如图，AC=AD，BC=BD，则有（）AAB垂直平分CDBCD垂直平分ABCAB与CD互相垂直平分DCD平分ACB9（2007白下区一模）如图，MON内有一点P，PP1、PP2分别被OM、ON垂直平分，P1P2与OM、ON分别交于点A、B若P1P2=10cm，则PAB的周长为（）A6cmB8cmC10cmD12cm10（2005泸州）如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（）A在AC，BC两边高线的交点处B在AC，BC两边中线的交点处C在AC，BC两边垂直平分线的交点处D在A，B两内角平分线的交点处11（2002哈尔滨）如图，到ABC的三个顶点距离相等的点是ABC的（）A三边垂直平分线的交点B三条角平分线的交点C三条高的交点D三边中线的交点12到平面上三点A、B、C距离相等的点有（）A只有一个B有两个C有三个或三个以上D有一个或没有13点P是ABC中边AB的垂直平分线上的点，则一定有（）APA=PBBPA=PCCPB=PCD点P到ACB的两边的距离相等14给出以下两个定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上应用上述定理进行如下推理，如图，直线l是线段MN的垂直平分线点A在直线l上，AM=AN（）BM=BN，点B在直线l上（）CMCN，点C不在直线l上这是因为如果点C在直线l上，那么CM=CN（）这与条件CMCN矛盾以上推理中各括号内应注明的理由依次是（）ABCD二填空题（共7小题）15（2013衡水模拟）如图，在周长为20cm的ABCD中，ABAD，AC，BD相交于点O，OEBD交AD于E，则ABE的周长为 cm16（2011白下区二模）如图，ABC中，AB=AC，A=36，D是AC上一点，且BD=BC，过点D分别作DEAB、DFBC，垂足分别是E、F给出以下四个结论：DE=DF；点D是AC的中点；DE垂直平分AB；AB=BC+CD其中正确结论的序号是 （把你认为的正确结论的序号都填上）17（2009泉州）如图，在ABC中，BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E若EDC的周长为24，ABC与四边形AEDC的周长之差为12，则线段DE的长为 18（2009建邺区二模）如图所示，矩形纸片ABCD中，E是AD的中点且AE=1，BE的垂直平分线MN恰好过点C则矩形的一边AB长度为 19（2004泰安）如图，梯形ABCD中，ABCD，ABC=90，AB=9cm，BC=8cm，CD=7cm，M是AD的中点，过M作AD的垂线交BC于N，则BN= cm20如图，在RtABC中，C=90，B=15，DE垂直平分AB交BC于点E，BE=6，则AC= 21如图所示，在ABC中，DM、EN分别垂直平分AB和AC，交BC于D、E，若DAE=50，则BAC= 度，若ADE的周长为19cm，则BC= cm三解答题（共8小题）22如图，在RtABC中，A=90，BC的垂直平分线DE分别交BC、AC边于点D、E，BE与AD相交于点F设C=x，AFB=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域23如图所示，ABC=50，AD垂直平分线段BC交BC于D，ABD的平分线BE交AD于E，连接EC，求AEC的度数24作图题：（不写作法，但必须保留作图痕迹）如图：某地有两所大学和两条相交叉的公路，（点M，N表示大学，AO，BO表示公路）现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等你能确定仓库P应该建在什么位置吗？在所给的图形中画出你的设计方案25如图，直线l是线段AB的中垂线，P点在直线l的右侧，则点P到A、B的距离有何关系？请写出你的结论，并说明理由26已知甲村和乙村靠近公路a、b，为了发展经济，甲乙两村准备合建一个工厂，经协商，工厂必须满足以下要求：（1）到两村的距离相等；（2）到两条公路的距离相等你能帮忙确定工厂的位置吗？27利用网格线用三角尺画图，（1）在图中找一点O，使得OA=OB=OC；（2）在AC上找一点P，使得P到AB、BC的距离相等；（3）在射线BP上找一点Q，使得QA=QC28已知：如图，AB=AE，BC=ED，AFCD且F是CD的中点，求证：B=E29如图所示，将一个正三角形纸片沿着它的一条边上的高剪开，得到如图所示的两