高考数学 8.2 直线的交点坐标与距离公式课件.ppt

第二节直线的交点坐标与距离公式 知识梳理 1 必会知识教材回扣填一填 1 两直线的交点 唯一解 无解 有无数组解 2 三种距离 两点间的距离 点p1 x1 y1 p2 x2 y2 之间的距离 p1p2 点到直线的距离 点p0 x0 y0 到直线l ax by c 0的距离d 两条平行线间的距离 两条平行线ax by c1 0与ax by c2 0间的距离d 2 必备结论教材提炼记一记 1 点p x0 y0 关于a a b 的对称点为p 2 设点p x0 y0 关于直线y kx b的对称点为p x y 则有可求出x y 2a x0 2b y0 3 必用技法核心总结看一看 1 常用方法 代数法 待定系数法 参数法 2 数学思想 方程思想 分类讨论思想 数形结合思想 转化与化归思想 3 记忆口诀 点到直线距离公式已知定点与直线 求距离做三件事 建立垂线的方程 联立垂足可得知 两点坐标已确定 距离公式去求值 如此求解太烦琐 一定要把公式记 坐标代入线方程 加绝对值当分子 系数平方和开方 公式分母即为此 小题快练 1 思考辨析静心思考判一判 1 若两直线的方程组成的方程组有解 则两直线相交 2 点p x0 y0 到直线y kx b的距离为 3 直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离 4 两平行线间的距离是一条直线上任一点到另一条直线的距离 也可以看做是两条直线上各取一点的最短距离 5 若点a b关于直线l y kx b k 0 对称 则直线ab的斜率等于 且线段ab的中点在直线l上 解析 1 错误 当方程组有唯一解时两条直线相交 若方程组有无穷多个解 则两条直线重合 2 错误 应用点到直线的距离公式时必须将直线方程化为一般式 即点p到直线的距离为 3 正确 因为最小值就是由该点向直线所作的垂线段的长 即点到直线的距离 4 正确 两平行线间的距离是夹在两平行线间的公垂线段的长 即两条直线上各取一点的最短距离 5 正确 根据对称性可知直线ab与直线l垂直且直线l平分线段ab 所以直线ab的斜率等于 且线段ab的中点在直线l上 答案 1 2 3 4 5 2 教材改编链接教材练一练 1 必修2p110b组t1改编 直线2x y 10 y x 1 y ax 2交于一点 则a的值为 解析 解方程组所以直线2x y 10与y x 1的交点坐标为 9 8 代入y ax 2 得 8 a 9 2 所以a 答案 2 必修2p110b组t4改编 已知点a 3 2 和b 1 4 到直线ax y 1 0的距离相等 则a的值为 解析 由点到直线的距离公式可知解得a 4或答案 4或 3 真题小试感悟考题试一试 1 2015 北京模拟 经过两条直线3x 4y 5 0和3x 4y 13 0的交点 且斜率为2的直线方程是 a 2x y 7 0b 2x y 7 0c 2x y 7 0d 2x y 7 0 解析 选b 由所以交点坐标为 3 1 故经过两条直线3x 4y 5 0和3x 4y 13 0的交点 且斜率为2的直线方程是y 1 2 x 3 即2x y 7 0 故选b 2 2013 湖南高考 在等腰直角三角形abc中 ab ac 4 点p是边ab上异于a b的一点 光线从点p出发 经bc ca反射后又回到原点p 如图 若光线qr经过 abc的重心 则ap等于 a 2b 1c d 解析 选d 由题意 以a为原点 ab为x轴 ac为y轴建立平面直角坐标系 设ap m 则p m 0 a 0 0 b 4 0 c 0 4 直线bc的方程为x y 4 则点p关于直线bc的对称点p1的坐标为 4 4 m 点p关于直线ac的对称点p2的坐标为 m 0 而三角形abc的重心为根据光学性质知点p1 p2 g三点共线 则解之得故 3 2013 四川高考 在平面直角坐标系内 到点a 1 2 b 1 5 c 3 6 d 7 1 的距离之和最小的点的坐标是 解题提示 分析已知条件可知四边形abcd是凸四边形 要求的点需要到四点的距离之和最小 可知该点应是ac与bd的交点 解析 由题可知a 1 2 b 1 5 c 3 6 d 7 1 四边形abcd的对角线的交点到四点的距离之和最小 直线ac的方程为2x y 0 直线bd的方程为x y 6 0 所以其交点为 2 4 答案 2 4 考点1直线的交点 典例1 1 2015 滨州模拟 当0 k 时 直线l1 kx y k 1与直线l2 ky x 2k的交点在 a 第一象限b 第二象限c 第三象限d 第四象限 2 过点p 3 0 作一直线l 使它被两直线l1 2x y 2 0和l2 x y 3 0所截的线段ab以p为中点 求此直线l的方程 解题提示 1 可由两直线方程求出交点坐标 再判断横坐标和纵坐标的符号即可 2 可设出直线方程并求出其与l1 l2的交点 然后利用中点坐标公式解决 规范解答 1 选b 解方程组得两直线的交点坐标为因为0 k 所以故交点在第二象限 2 当直线l的斜率不存在时 直线l为x 3 则l与l1 l2的交点分别为 3 4 3 6 此时p点不是ab的中点 故直线l的斜率存在 设直线l的方程为y k x 3 将此方程分别与l1 l2的方程联立 解之 得因为p 3 0 是线段ab的中点 由xa xb 6得解得k 8 故直线l的方程为y 8 x 3 即8x y 24 0 规律方法 1 两直线交点的求法求两直线的交点坐标 就是解由两直线方程组成的方程组 以方程组的解为坐标的点即为交点 2 求过两直线交点的直线方程的方法求过两直线交点的直线方程 先解方程组求出两直线的交点坐标 再结合其他条件写出直线方程 变式训练 2015 重庆模拟 已知两条直线l1 y 2 l2 y 4 设曲线y 3x与l1 l2分别交于点a b 曲线y 7x与l1 l2分别交于点c d 求直线ab与直线cd的交点坐标 解析 依题意得a log32 2 b 2log32 4 则直线ab的方程为同理 c log72 2 d 2log72 4 则直线cd的方程为即直线ab与直线cd的交点坐标为 0 0 加固训练 经过直线x y 1 0与直线x y 3 0的交点 且也经过点a 8 4 的直线方程为 解析 由即两直线的交点坐标为 2 1 又因为直线过点a 8 4 所以故所求直线方程为y 4 x 8 整理得x 2y 0 答案 x 2y 0 考点2对称问题 典例2 1 平面直角坐标系中直线y 2x 1关于点 1 1 对称的直线方程是 a y 2x 1b y 2x 1c y 2x 3d y 2x 3 2 光线从a 4 2 点射出 到直线y x上的b点后被直线y x反射到y轴上的c点 又被y轴反射 这时反射光线恰好过点d 1 6 求bc所在的直线方程 解题提示 1 可在直线y 2x 1上任取两点 求出这两点关于点 1 1 的对称点坐标 最后求出直线方程 2 画出示意图 根据光的反射原理及点关于直线的对称问题求解 规范解答 1 选d 在直线y 2x 1上任取两个点a 0 1 b 1 3 则点a关于点 1 1 对称的点m 2 1 b关于点 1 1 对称的点n 1 1 由两点式求出对称直线mn的方程即y 2x 3 故选d 2 作出草图 如图所示 设a关于直线y x的对称点为a d关于y轴的对称点为d 则易得a 2 4 d 1 6 由入射角等于反射角可得a d 所在直线经过点b与c 故bc所在的直线方程为即10 x 3y 8 0 易错警示 解答题 2 有三点容易出错 1 不能正确画出草图 找不到正确的解题思路而感觉无从下手 2 不能将直线bc的方程转化为直线a d 的方程 从而无法求解 3 对称点求解错误 互动探究 在题 1 中 关于点 1 1 对称 改为 关于直线x y 0对称 则结果如何 解析 在直线y 2x 1上任取两个点a 0 1 b 1 3 则点a关于直线x y 0的对称点m 1 0 b关于直线x y 0的对称点n 3 1 由两点式求出直线mn的方程即x 2y 1 0 规律方法 1 中心对称问题的两个类型及求解方法 1 点关于点对称 若点m x1 y1 及n x y 关于p a b 对称 则由中点坐标公式得进而求解 2 直线关于点的对称 主要求解方法是 在已知直线上取两点 利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标 再由两点式求出直线方程 求出一个对称点 再利用两对称直线平行 由点斜式得到所求直线方程 2 轴对称问题的两个类型及求解方法 1 点关于直线的对称 若两点p1 x1 y1 与p2 x2 y2 关于直线l ax by c 0对称 由方程组可得到点p1关于l对称的点p2的坐标 x2 y2 其中b 0 x1 x2 2 直线关于直线的对称 一般转化为点关于直线的对称来解决 有两种情况 一是已知直线与对称轴相交 二是已知直线与对称轴平行 变式训练 已知直线l 2x 3y 1 0 点a 1 2 求 1 点a关于直线l的对称点a 的坐标 2 直线m 3x 2y 6 0关于直线l的对称直线m 的方程 3 直线l关于点a 1 2 对称的直线l 的方程 解析 1 设a x y 再由已知 2 在直线m上取一点 如m 2 0 则m 2 0 关于直线l的对称点必在m 上 设对称点为m a b 设m与l的交点为n 则由得n 4 3 又因为m 经过点n 4 3 所以由两点式得直线m 的方程为9x 46y 102 0 3 设p x y 为l 上任意一点 则p x y 关于点a 1 2 的对称点为p 2 x 4 y 因为p 在直线l上 所以2 2 x 3 4 y 1 0 即2x 3y 9 0 加固训练 1 已知直线l x y 1 0 l1 2x y 2 0 若直线l2与l1关于l对称 则l2的方程是 a x 2y 1 0b x 2y 1 0c x y 1 0d x 2y 1 0 解析 选b l1与l2关于l对称 则l1上任一点关于l的对称点都在l2上 故l与l1的交点 1 0 在l2上 又易知 0 2 为l1上一点 设其关于l的对称点为 x y 则即 1 0 1 1 为l2上两点 可得l2方程为x 2y 1 0 2 直线x 2y 1 0关于x 3对称的直线方程为 解析 设m x y 为所求直线上的任意一点 则其关于x 3对称的点为 6 x y 从而有6 x 2y 1 0 即x 2y 7 0 所以直线x 2y 1 0关于x 3对称的直线方程为x 2y 7 0 答案 x 2y 7 0 考点3三种距离公式的应用知 考情两点间的距离 点到直线的距离 两平行线间的距离在高考中常有所体现 一般是以选择题 填空题的形式出现 考查两点间的距离公式 点到直线的距离公式 两平行线间的距离公式以及转化与化归思想等 明 角度命题角度1 两点间距离公式及应用 典例3 2014 四川高考 设m r 过定点a的动直线x my 0和过定点b的动直线mx y m 3 0交于点p x y 则 pa pb 的取值范围是 解题提示 求出定点a b的坐标 然后判断pa pb 对点p与点a 点b的位置关系讨论 求 pa pb 的取值范围 规范解答 选b 由动直线x my 0知定点a的坐标为 0 0 由动直线mx y m 3 0知定点b的坐标为 1 3 且两直线互相垂直 故点p在以ab为直径的圆上运动 故当点p与点a或点b重合时 pa pb 取得最小值 pa pb min ab 当点p与点a或点b不重合时 在rt pab中 有 pa 2 pb 2 ab 2 10 因为 pa 2 pb 2 2 pa pb 所以2 pa 2 pb 2 pa pb 2 当且仅当 pa pb 时取等号 所以 pa pb 所以 pa pb 2 所以 pa pb 的取值范围是 2 命题角度2 点到直线的距离公式及应用 典例4 2015 南昌模拟 过点p 1 2 引直线 使a 2 3 b 4 5 到它的距离相等 则直线方程为 解题提示 设出过p 1 2 的直线方程后 利用点到直线的距离公式求之 规范解答 显然这条直线斜率存在 设直线方程为y kx b 根据条件有所以k 4 b 6或 所以直线方程为y 4x 6或即4x y 6 0或3x 2y 7 0 答案 4x y 6 0或3x 2y 7 0 一题多解 解答本题还有如下方法 因为kab 4 线段ab的中点为 3 1 所以过p 1 2 且与直线ab平行的直线方程为y 2 4 x 1 即4x y 6 0 此直线符合题意 过p 1 2 及线段ab的中点 3 1 的直线方程为y 2 x 1 即3x 2y 7 0 此直线也是所求 故所求直线方程为4x y 6 0或3x 2y 7 0 答案 4x y 6 0或3x 2y 7 0 命题角度3 两平行线间的距离公式及应用 典例5 2015 安庆模拟 若直线l1 x 3y m 0 m 0 与直线l2 2x 6y 3 0的距离为 则m a 7b c 14d 17 解题提示 直线l1即2x 6y 2m 0 根据它与直线l2 2x 6y 3 0的距离为 可得由此求得m的值 规范解答 选b 直线l1 x 3y m 0 m 0 即2x 6y 2m 0 因为它与直线l2 2x 6y 3 0的距离为所以故选b 悟 技法距离的求法 1 点到直线的距离可直接利用点到直线的距离公式来求 但要注意此时直线方程必须为一般式 2 两平行直线间的距离 利用 化归 法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离 利用两平行线间的距离公式 提醒 在应用两条平行线间的距离公式时 应把直线方程化为一般形式 且使x y的系数分别相等 通 一类1 2015 张家界模拟 在直角三角形abc中 点d是斜边ab的中点 点p为线段cd的中点 则 a 2b 4c 5d 10 解析 选d 以c为坐标原点 ca cb所在直线分别为x轴 y轴建立直角坐标系 设a a 0 b 0 b 则从而 pa 2 pb 2 10 pc 2 故 2 2015 宝鸡模拟 若动点p1 x1 y1 p2 x2 y2 分别在直线l1 x y 5 0 l2 x y 15 0上移动 则p1p2的中点p到原点的距离的最小值是 解析 选b 由题意得p1p2中点的轨迹方程是x y 10 0 则原点到直线x y 10 0的距离 3 2015 大庆模拟 已知直线l在两坐标轴上的截距相等 且点a 1 3 到直线l的距离为则直线l的方程为 解析 当直线过原点时 设直线方程为y kx 由点a 1 3 到直线l的距离为得解得k 7或k 1 此时直线l的方程为y 7x或y x 当直线不过原点时 设直线方程为x y a 由点a 1 3 到直线l的距离为得解得a 2或a 6 此时所求的直线方程为x y 2 0或x y 6 0 综上所述 直线l的方程为y 7x或y x或x y 2 0或x y 6 0 答案 y 7x或y x或x y 2 0或x y 6 0 4 2013 江苏高考 在平面直角坐标系xoy中 设定点a a a p是函数y x 0 图象上一动点 若点p a之间的最短距离为则满足条件的实数a的所有值为 解析 设 m 0 由两点间的距离公式得 令t m 2得 pa 若a 2 则当t a时 pa min 若a 2 则当t 2时 pa min2 2 a 2 a2 2 2a2 4a 2 8 解得a 1或a 3 舍去 答案 1 巧思妙解9巧用直线系求直线方程 典例 2015 金华模拟 经过两条直线l1 x 2y 4 0和l2 x y 2 0的交点且与直线l3 3x 4y 5 0垂直的直线l的方程为 常规解法 由方程组即p 0 2 因l3的斜率为 且l l3 故l的斜率为 故直线l的方程为y x 2 即4x 3y 6 0 答案 4x 3y 6 0 巧妙解法 方法一 l与l3垂直 故可设l的方程为4x 3y m 0 又由得p 0 2 代入直线l的方程得m 6 故直线l的方程为4x 3y 6 0 方法二 设经过l1与l2交点的直线系方程为 x 2y 4 x y 2 0 r 即 1 x 2 y 4 2 0 因l与l3 3x 4y 5