具体函数与抽象函数相结合是学好“函数”的有效手段.doc

第三讲 具体函数与抽象函数相结合是学好“函数”的有效手段1. 以指数函数为背景 我们把学习过的函数，如指数函数 y=ax(a0，且 a 1)，对数函数 y=logax(a0，且 a 1， x0)，用抽象的函数符号和语言进行表述，并在此基础上对函数的图象、性质进行证明和研究，是掌握函数方法、函数思想极其有效的方法 .1.以指数函数为背景例 1 设函数 y=f(x)定义在实数集 R上，当 x0时， f(x)1，且对任意实数 m， n都有 f(m+n)=f(m) f(n).(1)证明 f(x)在 R上，恒有 f(x)0.(2)证明 f(x)在 R上是增函数 .证明 (1)f(x)在 R上，恒有 f(x)0.设 n0， m=0，则 f(x)1， f(0+n)=f(0) f(n)，即 f(n)=f(0) f(n).又 f(n)1， f(0)=1，设 x0，从而 f(-x)0. f(0)=f(x-x)=f(x) f(-x)=1, f(x)= 1 f(-x)0. 不论 x为任意实数，都有 f(x)0.证明 (2)f(x)在 R上是增函数设 x10).由 t0，有 f(t)1， f(x2)=f(x1+t)=f(x1) f(t)f(x1)； f(x)在 R上是增函数 .例 2 (1)下列函数中，具有性质 f(x+y)=f(x) f(y)(x， y R)的是 ( ).A.f(x)=x2B. f(x)=2xC.f(x)=2x D.f(x)=-x+1(2)设函数 y=f(x)定义在实数集上，则函数 y=f(x-1)与 y=f(1-x)的图象关于 ( ).A.直线 y=0对称 B.直线 x=0对称C.直线 y=1对称 D.直线 x=1对称解 (1)：由 f(x+y)=f(x) f(y)(x， y R)知，取 f(x)=2x满足题设要求 .而 f(x)=x2， f(x)=2x， f(x)=-x+1不符合要求 . 应选 B.解 (2)：可选取 f(x)=2x(x R)，符合题设要求 . y=f(x-1)=2 x-1， y=f(1-x)=21-x=( )x-1，而曲线 y=2x-1是由曲线 y=2x向右平移 1个单位得到的，曲线 y=( ) x-1是由曲线 y=( ) x向右平移 1个单位得到的 . 它们应关于直线 x=1对称， 应选 D.例 3 设函数 y=f(x)定义在 R上，且对任意实数 m， n恒有 f(m+n)=f(m) f(n)，且当 x0时， 0f(x)1.(1)求证 f(0)=1，且当 x1；(2)求证 f(x)在 R上递减；(3)设集合 A=(x， y) f(x2) f(y2)f(1)， B=(x， y) f(ax-y+2)=1， a R，若 A B=，求 a的取值范围 .证明 (1)求证 f(0)=1，且当 x1，令 m=1， n=0，得 f(1)=f(1) f(0). 0f(1)1， f(0)=1.设 x0，则 f(x-x)=f(x) f(-x)， f(0)=1， f(x) f(-x)=1,f(x)= . -x0， 0f(-x)1.(2)求证 f(x)在 R上递减证明 1：设 x10， 0f(x2-x1)1.令 m=x1， m+n=x2，则 n=x2-x1， f(x2)=f(x1) f(x2-x1)： 0 1，即 f(x2)f(x1). f(x)在 R上递减 .证明 2：设 x10， 0f(x2-x1)1； f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)+x1-f(x1)=f(x2-x1) f(x1)-f(x1) =f(x1)f(x2-x1)-1.而 f(x2-x1)-1O， f(x2)-f(x1)0，即 f(x2)f(1)， B=(x， y) f(ax-y+2)=1， a R，若 A B=，求 a的取值范围 .解：由 f(x2) f(y2)f(1)，有 f(x2+y2)f(1). f(x)在 R上是减函数， x2+y21.由 f(ax-y+2)=1，得 f(ax-y-2)=f(0)， ax-y+2=0.解 消去 y,得 (a2+1)x2+4ax+30, A B=， =( 4a)2-12(a2+1) 0，即 a2 3. -3 A 3.例 4 指数函数 Y=( )x的图象与直线 y=x的交点横坐标 x0满足 ( ).A.0x0 B. x0= C.x01解：先确定对比函数 y=( )x与直线 y=x的交点横坐标为 x= ，即交点坐标为 ( ， ).根据指数函数 y=( )x与 y=( )x的图象位置关系，可知 0x0 ，应选 A.(详解请参见讲解视频 )2. 以对数函数为背景例 1 已知 f(x)在 (0， + )上是增函数，且 f(1)=0， f(x)+f(y)=f(xy).求证 0xy f(y) .证明： Oxy1， f(x)是增函数， f(x)f(y)，即 f(x)f(y)0. 0xy1， 0xy1; f(x)+f(y)=f(xy)f(1)=0.由 f(x)-f(y)0， f(x)+f(t)0，即 f(x) f(y) .例 2 设函数 f(x)的定义域为 (0， + )， f(x)的值随 x的增大而增大，且 f()=f(x)-f(y)，(1)求证 f(1)=0，(2)求证 f(xy)=f(x)+f(y)，(3)若 f(2)=1，解不等式 f(x)-f( ) 2.证明： (1)f(1)=0 ( )=f(x)-f(y)，令 x=y=1， f(1)=f(1)-f(1)=0，即 f(1)=0.证明： (2)f(xy)=f(x)+f(y) f(x)=f( )=f(xy)-f(y)， f(xy)=f(x)+f(y)解： (3)若 f(2)=1，解不等式， f(x)-f( ) 2 f(2)=1， f(2)+f(2)=1+1=2，即 f(4)=2. f(x)-f( ) 2， f( )=f(x)-f(y)， f(x2-3x) f(4)； x2-3 4；即 x2-3x-4 0.由得 3x 4， 不等式的解集为 x 3x 4.例 3 设函数 y =f(x)(x R，且 x 0)，对任意实数 x1， x2满足 f(x1)+f(x2)=f(x1x2).(1)求证 f(1)=f(-1)=0；(2)求证 y=f(x)是偶函数；(3)已知 y=f(x)在 (0， + )上是增函数，解不等式， f(x)+f(x- )0.证明： (1)f(1)=f(-1)=0令 x1=x2=1，则 f(1)+f(1)=f(1 1)， f(1)=0. 令 x1=x2=-1，则 f(-1)+f(-1)=f(1)=0， f(1)=0.证明： (2)y=f(x)是偶函数令 x1=x2=x，则 2f (x)=f(x2)， 2f (-x)=f(x2)， f(x)=f(- x)； f(x)是偶函数 .解： (3)已知 y=f(x)在 (0， + )上是增函数，解不等式 f(x)+f(x-)0.由 f(x)+f(x- )0，得 f(x2- x)f(1)， f(x)在 (0， + )上是增函数， 0x2- xl或 -1x2- x0.解之，得不等式的解集为x 1- x0 或 0x 或 x1+ .同时以指数函数和对数函数为背景例 1 已知函数 y=f(x)，则它的反函数的图象关于 y轴对称的函数为 _.解：取 y=f(x)=2x，它存在反函数 f-1(x)=log2x，它关于 y轴对称的函数为 f-1(-x)=log2(-x)如图所示：所求函数为： y=f-1(-x).例 2 已知函数 y=f(x)存在反函数 y=g(x)，若 f(3)=1，则函数 y=g(x-1)的图象在下列各点中必经过 ( ).A.(-2， 3) B.(0， 3)C.(2， -1) D.(4， -1)解：取 y=f(x)=log，满足 f(3)=-1，且存在反函数 y=g(x)=( )x，则 g(x-1)=( )x-1经检验知，只有点 (0， 3)在它的图象上 . 应选 B.例 3 设函数 f(x)与 g(x)互为反函数，且对任意实数 x， y有 f(x)+f(y)=f(xy)，求证 g(x+y)=g(x)g(y)证明： f(x)， g(x)互为反函数， gf(x)=fg(x)=x. 对 x， y R，有 xy=gf(xy)=gf(x)+