高考数学总复习 第2章 第11节 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例课件 新人教A版 .ppt

第二章函数 导数及其应用 第十一节导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例 一 函数的单调性 1 f x 0是f x 在 a b 内单调递增的充要条件吗 提示 f x 0 或f x 0 仅是函数f x 在这个区间内为增函数 或减函数 的充分条件而非必要条件 如f x x3在 上为增函数 但f x 3x2 0 即必要性不成立 二 函数的极值1 函数的极小值函数y f x 在点x a的函数值f a 比它在点x a附近其他点的函数值都小 f a 0 而且在点x a附近的左侧 右侧 则点a叫做函数y f x 的 f a 叫做函数y f x 的 f x 0 f x 0 极小值点 极小值 2 函数的极大值函数y f x 在点x b的函数值f b 比它在点x b附近其他点的函数值都大 f b 0 而且在点x b附近的左侧 右侧 则点b叫做函数y f x 的 f b 叫做函数y f x 的 极小值点 极大值点统称为 极大值和极小值统称为 f x 0 f x 0 极大值点 极大值 极值点 极值 3 求函数极值的方法解方程f x 0 当f x0 0时 1 如果在x0附近左侧 右侧 那么f x0 是f x 的一个极小值 2 如果在x0附近左侧 右侧 那么f x0 是f x 的一个极大值 3 如果f x 在点x0的左右两侧符号相同 那么f x0 不是函数的极值 单调递减 单调递增 单调递增 单调递减 2 已知函数y f x 若f x 在x a处有f a 0 则点a一定是函数的一个极值点吗 提示 不一定 只有当函数在点a两侧的单调性不同时a才是函数的极值点 三 函数的最值1 如果函数y f x 在区间 a b 上的图象是 那么它必有最大值和最小值 2 求函数y f x 在 a b 上最值的步骤 1 求函数y f x 在 a b 内的极值 2 将函数y f x 的各极值与端点处的函数值f a f b 比较 其中最大的一个是最大值 最小的一个是最小值 连续不断 的曲线 3 极值点一定是最值点吗 提示 函数的极值表示函数在一点附近的情况 是在局部对函数值的比较 函数的最值是对函数在整个区间上的函数值的比较 函数的极值不一定是最值 最值点也不一定是极值点 四 生活中的优化问题1 生活中的优化问题生活中经常遇到求利润最大 用料最省 效率最高等问题 这些问题通常称为 导数在这一类问题中有着重要的应用 它是求函数最大 小 值的强有力的工具 优化问题 2 解题的基本思路 3 用导数解决实际问题的注意事项 1 在求实际问题的最大 小 值时 一定要注意考虑实际问题的意义 不符合实际问题的值舍去 2 在实际问题中 有时会遇到函数在区间内只有一个点使得f x 0的情形 那么不与端点值比较 也可以知道这就是最大 小 值 就是问题的最优解 3 在列函数关系式解决优化问题中 不仅要注意函数关系式表达要恰当 还要注意自变量的实际意义 依此确定定义域 2 文 设f x x3 12x 则f x 的极值情况是 a 极大值是f 2 极小值是f 2 b 极大值是f 2 极小值是f 2 c 只有极大值 无极小值d 只有极小值 无极大值 解析 由条件知f x 3x2 12 3 x2 4 3 x 2 x 2 故当x2时 f x 0 f x 单调递增 当 2 x 2时 f x 0 f x 单调递减 x 2是极大值点 x 2是极小值点 答案 b 5 已知函数f x x3 12x 8在区间 3 3 上的最大值与最小值分别为m m 则m m 解析 由题意得f x 3x2 12 令f x 0得x 2 且f 3 17 f 2 24 f 2 8 f 3 1 所以m 24 m 8 m m 32 答案 32 考向探寻 1 利用导数研究函数的单调性 2 已知函数的单调性 求有关参数的取值范围 求k的值 求f x 的单调区间 理 设g x x2 x f x 其中f x 为f x 的导函数 求证 对任意x 0 g x 0 g x 1 e 2 1 理 构造函数 判断函数的单调性 利用最值证明不等式 1 文 确定定义域 利用导数f x 0求递减区间 2 求导数 利用f 1 0求k 求定义域 利用导数求出单调区间 所以h x 的最大值为h e 2 1 e 2 故1 x xlnx 1 e 2 9分设 x ex x 1 因为 x ex 1 ex e0 所以x 0 时 x 0 x 单调递增 x 0 0 2 导数法证明函数f x 在 a b 内的单调性的步骤 求f x 确认f x 在 a b 内的符号 作出结论 f x 0时为增函数 f x 0时为减函数 已知函数的单调性 求参数的取值范围 应用条件f x 0 或f x 0 x a b 转化为不等式恒成立求解 活学活用 1 已知函数f x x3 ax 1 1 若f x 在实数集r上单调递增 求实数a的取值范围 2 是否存在实数a 使f x 在 1 1 上单调递减 若存在 求出a的取值范围 若不存在 说明理由 解 1 由已知f x 3x2 a f x 在 上是单调增函数 f x 3x2 a 0在 上恒成立 即a 3x2对x r恒成立 又 3x2 0 只需a 0 又 当a 0时 f x 3x2 0 即f x x3 1在r上是增函数 a 0 2 由f x 3x2 a 0在 1 1 上恒成立 得a 3x2 x 1 1 恒成立 1 x 1 3x2 3 只需证a 3 当a 3时 f x 3 x2 1 在x 1 1 上 f x 0 即f x 在 1 1 上为减函数 a 3 故存在实数a 3 使f x 在 1 1 上单调递减 考向探寻 1 求函数的极值与最值 2 含参数的函数的极值 最值问题 1 求函数极值的一般思路 2 函数的最大值 最小值是比较整个定义区间内的函数值得出来的 函数的极值是比较极值点附近的函数值得出来的 函数的极值可以有多有少 但最值只有一个 极值只能在区间内一点处取得 最值则可以在端点处取得 有极值未必有最值 有最值未必有极值 极值可能成为最值 本例 2 中对于含有双参数的问题 在解题中要明确谁是主参数 以进一步将问题转化为常见函数的问题来解决 活学活用 2 理 已知f x ax lnx x 0 e 其中e是自然常数 a r 1 当a 1时 讨论f x 的单调性 极值 2 是否存在实数a 使f x 的最小值是3 若存在 求出a的值 若不存在 说明理由 2 文 已知函数f x x3 3ax 1 a 0 1 求f x 的单调区间 2 若f x 在x 1处取得极值 直线y m与y f x 的图象有三个不同的交点 求m的取值范围 2 f x 在x 1处取得极值 f 1 3 1 2 3a 0 a 1 f x x3 3x 1 f x 3x2 3 由f x 0解得x1 1 x2 1 由 1 中f x 的单调性可知 f x 在x 1处取得极大值f 1 1 在x 1处取得极小值f 1 3 直线y m与函数y f x 的图象有三个不同的交点 结合f x 的图像可知 m的取值范围是 3 1 考向探寻 利用导数求表示实际问题的函数的最值 利用导数解决生活中的优化问题 1 既要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示 还要注意确定出函数关系式中自变量的取值范围 2 要注意求得结果的实际意义 不符合实际的值应舍去 3 如果目标函数在定义区间内只有一个极值点 那么根据实际意义该极值点就是最值点 已知函数f x x3 ax2 bx a2在x 1处有极值10 则f 2 而在本题中 当f x x3 3x2 3x 9时 f x 3x2 6x 3 3 x 1 2 此时 尽管有f 1 0成立 但是在x