高考数学总复习 第2章 第9节 函数模型及其应用课件 新人教A版 .ppt

第二章函数 导数及其应用 第九节函数模型及其应用 一 常见的几种函数模型 二 三种函数模型性质比较 增函数 增函数 增函数 越来越快 越来越慢 y轴 x轴 三 解函数应用题的步骤1 审题 弄清题意 分清条件和结论 确定数量关系 初步选择数学模型 2 建模 将自然语言转化为数学语言 将文字语言转化为符号语言 利用数学知识 建立相应的数学模型 3 求模 求解数学模型 得出数学结论 4 还原 将数学问题还原为实际问题的意义 以上过程用框图表示如下 解函数应用题常见的错误 1 不会将实际问题抽象转化为函数模型或转化不全面 2 在求解过程中忽视实际问题对变量参数的限制条件 1 一等腰三角形的周长是20 底边y是关于腰长x的函数 它的解析式为 a y 20 2x x 10 b y 20 2x x 10 c y 20 2x 5 x 10 d y 20 2x 5 x 10 解析 20 y 2x y 20 2x 又y 20 2x 0且2x y 20 2x 5 x 10 答案 d 2 我国为了加强对烟酒生产的宏观调控 除了应征税外还要征收附加税 已知某种酒每瓶售价为70元 不收附加税时 每年大约销售100万瓶 若每销售100元国家要征附加税为x元 税率x 则每年销售量减少10 x万瓶 为了要使每年在此项经营中收取的附加税不少于112万元 则x的最小值为 a 2b 6c 8d 10 3 某物体一天中的温度t 单位 是时间t 单位 h 的函数 t t t3 3t 60 t 0表示中午12 00 其后t取正值 则下午3时温度为 a 8 b 78 c 112 d 18 解析 由题意 下午3时 即t 3时 t 3 78 答案 b 4 拟定从甲地到乙地通话m分钟的电话费由f x 1 06 0 50 m 1 给出 其中m 0 m 是大于或等于m的最小整数 若通话费为10 6元 则通话时间m 解析 10 6 1 06 0 50 m 1 0 5 m 9 m 18 m 17 18 答案 17 18 5 有一些材料可以建成200m的围墙 如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地 中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形 如图所示 则围成的矩形最大面积为 围墙厚度不计 答案 2500m2 考向探寻 利用一次函数 二次函数解决实际问题 典例剖析 某企业为打入国际市场 决定从a b两种产品中只选择一种进行投资生产 已知投资生产这两种产品的有关数据如下表 单位 万美元 其中年固定成本与年生产的件数无关 m为待定常数 其值由生产a产品的原材料价格决定 预计m 6 8 另外 年销售x件b产品时需上交0 05x2万美元的特别关税 假设生产出来的产品都能在当年销售出去 1 写出该厂分别投资生产a b两种产品的年利润y1 y2与生产相应产品的件数x之间的函数关系式并指明其定义域 2 如何投资可获得最大年利润 请你做出规划 解 1 由题意知年销售量为x件 按利润的计算公式 生产a b两产品的年利润y1 y2分别为 y1 10 x 20 mx 10 m x 20 0 x 200且x n y2 18x 40 8x 0 05x2 0 05x2 10 x 40 y2 0 05 x 100 2 460 0 x 120 x n 2 6 m 8 10 m 0 y1 10 m x 20为增函数 又0 x 200 x n x 200时 生产a产品有最大年利润为 10 m 200 20 1980 200m 万美元 又y2 0 05 x 100 2 460 0 x 120 x n x 100时 生产b产品有最大年利润为460万美元 现在我们研究生产哪种产品年利润最大 为此 我们作差比较 y1 max y2 max 1980 200m 460 1520 200m 令1520 200m 0得6 m 7 6 令1520 200m 0得7 6 m 8 令1520 200m 0得m 7 6 当6 m 7 6时 投资生产a产品200件可获得最大年利润 当m 7 6时 生产a产品与生产b产品均可获得最大年利润 当7 6 m 8时 投资生产b产品100件可获得最大年利润 1 在实际问题中 有很多问题的两变量之间的关系是一次函数关系 其增长特点是直线上升 自变量的系数大于0 或直线下降 自变量的系数小于0 2 有些问题中的两变量之间是二次函数关系 如面积问题 利润问题 产量问题等 一般利用二次函数图象的开口方向和对称轴与单调性解决 但一定要注意函数的定义域 否则极易出错 活学活用 1 某人要做一批地砖 每块地砖 如图1所示 是边长为0 4米的正方形abcd 点e f分别在边bc和cd上 cfe abe和四边形aefd均由单一材料制成 制成 cfe abe和四边形aefd的三种材料的每平方米价格之比依次为3 2 1 若将此种地砖按图2所示的形式铺设 能使中间的深色阴影部分成四边形efgh 1 求证 四边形efgh是正方形 2 e f在什么位置时 做这批地砖所需的材料费用最省 1 证明 图2是由四块图1所示地砖组成 由图1依次逆时针旋转90 180 270 后得到 ef fg gh he cfe为等腰直角三角形 四边形efgh是正方形 考向探寻 利用分段函数知识解决实际问题 典例剖析 12分 某市居民自来水收费标准如下 每户每月用水不超过4吨时 每吨为1 80元 当用水超过4吨时 超过部分每吨3 00元 某月甲 乙两户共交水费y元 已知甲 乙两户该月用水量分别为5x 3x 吨 1 求y关于x的函数 2 若甲 乙两户该月共交水费26 4元 分别求出甲 乙两户该月的用水量和水费 用水量的不同 收费标准不同 甲 乙两户的用水量分别为5x 3x 需分段列函数式 根据所列的分段函数分析判断共交水费26 4元 甲 乙应分别为多少 1 当甲的用水量不超过4吨时 即5x 4 乙的用水量也不超过4吨 y 1 8 5x 3x 14 4x 2分当甲的用水量超过4吨 乙的用水量不超过4吨 即3x 4 且5x 4时 y 4 1 8 3x 1 8 3 5x 4 20 4x 4 8 4分当乙的用水量超过4吨 即3x 4时 y 2 4 1 8 3 3x 4 5x 4 24x 9 6 6分 很多实际问题中变量间的关系 不能用同一个关系式给出 而是由几个不同的关系式构成分段函数 如出租车票价与路程之间的关系 就是分段函数 分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同 可以先将其当作几个问题 将各段的变化规律分别找出来 再将其合到一起 要注意各段变量的范围 特别是端点值 活学活用 2 电信局为了迎合客户的不同需要 设有a b两种优惠方案 这两种方案应付电话费 元 与通话时间 分钟 之间的关系如图所示 实线部分 试问 1 若通话时间为2小时 按方案a b各付话费多少元 2 方案b从500分钟以后 每分钟收费多少元 3 通话时间在什么范围 方案b才会比方案a优惠 考向探寻 利用指数函数或幂函数知识解决实际问题 典例剖析 2013 怀化模拟 某城市现有人口总数为100万人 如果年自然增长率为1 2 试解答以下问题 1 写出该城市人口总数y 万人 与年份x 年 的函数关系式 2 计算10年以后该城市人口总数 精确到0 1万人 3 计算大约多少年以后 该城市人口将达到120万人 精确到1年 参考数据 1 0129 1 113 1 01210 1 127 lg1 2 0 079 lg2 0 3010 lg1 012 0 005 lg1 009 0 0039 互动探究 在本例的条件下 对于问题 如果20年后该城市人口总数不超过120万人 年自然增长率大约应该控制在多少 如何求解 1 指数函数模型 常与增长率相结合进行考查 在实际问题中有人口增长 银行利率 细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来表示 2 应用指数函数模型时 关键是对模型的判断 先设定模型将有关已知数据代入验证