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第三章三角函数 解三角形 第三节三角函数的图象与性质 一 周期函数1 周期函数的定义对于函数f x 如果存在一个非零常数t 使得当x取定义域内的每一个值时 都有 那么函数f x 就叫做周期函数 叫做这个函数的周期 2 最小正周期如果在周期函数f x 的所有周期中存在一个 那么这个就叫做f x 的最小正周期 f x t f x t 最小的正数 最小正数 1 所有的周期函数都有最小正周期吗 提示 不是所有的周期函数都有最小正周期 如函数f x c c为常数 的周期为任意非零实数 但没有最小正周期 二 正弦函数 余弦函数 正切函数的图象和性质 r r 1 1 1 1 r 2k 1 2k k z 2k 2k 1 2k 2k 奇 偶 奇 k 0 k z x k k z 无 2 2 2 正弦函数 余弦函数图象的对称轴及对称中心与函数图象的关键点有什么关系 提示 y sinx与y cosx对称轴方程中的x都是它们取得最大值或最小值时相应的x 对称中心的横坐标都是它们的零点 4 函数y lgcos2x的定义域为 考向探寻 1 求函数的定义域 2 求函数的值域与最值 3 给定三角函数的值域或最值 确定某些参数的取值 或范围 1 求三角函数定义域的实质是解三角不等式 求解时常借助三角函数线或三角函数图象 2 求解三角函数的值域 最值 的问题一般用以下方法 利用sinx cosx的值域 形式复杂的函数先化为y asin x k的形式后 再确定出 x 的范围 根据正弦函数单调性 或图象 写出函数的值域 换元法 把sinx或cosx看作一个整体 可化为求二次函数在闭区间上的值域 最值 的问题 考向探寻 1 求三角函数的单调区间 2 已知函数的单调性 确定参数的取值范围 3 利用三角函数的单调性解决有关综合问题 答案 a 1 熟记y sinx y cosx y tanx的单调区间是求复杂的三角函数单调区间的基础 2 求形如y asin x k 0 的单调区间时 只需把 x 看作一个整体代入y sinx的相应单调区间内即可 注意要先把 化为正数 求y acos x k和y atan x k的单调区间时可按类似方法求解 求三角函数的单调区间时 一定要注意a和 的符号 考向探寻 1 判断函数的奇偶性 求函数的最小正周期 求对称轴 中心 2 利用奇偶性 周期性 对称性解决有关问题 1 对所给命题逐一作出判断即可 2 化简解析式 由条件确定 的值 然后逐一解题 1 对于函数y asin x a 0 的单调性 当 0时 由于函数u x 是单调递增的 所以整个函数的单调性和y sinx的单调性相同 故可完全按照函数y sinx的单调区间解决 但当 0时 函数u x 是单调递减的 此时整个函数的单调性和函数y sinx的单调性相反 因此不能再按函数y sinx的单调性解决 解此类问题时一般
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