2019_2020学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2椭圆2.2.1椭圆及其标准方程讲义新人教A版.docx

22.1椭圆及其标准方程1椭圆(1)平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距应用定义解题时，不要漏掉|MF1|MF2|2a|F1F2|这一个条件(2)集合的语言描述为PM|MF1|MF2|2a,2a|F1F2|2椭圆的标准方程1判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)椭圆的两种标准方程中，虽然焦点位置不同，但都有a2b2c2.()(2)平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆()(3)椭圆的两种标准方程可以写成统一形式：Ax2By21(其中A0，B0，AB)()答案(1)(2)(3)2做一做(1)(教材改编P38“椭圆的定义”)设F1，F2为定点，|F1F2|6，动点M满足|MF1|MF2|10，则动点M的轨迹是()A椭圆 B直线 C圆 D线段(2)a5，c3，焦点在x轴上的椭圆标准方程为_(3)椭圆的方程为1，则a_，b_，c_.(4)椭圆1上一点P到一个焦点的距离为4，则P到另一个焦点的距离为_答案(1)A(2)1(3)32(4)6解析(1)|MF1|MF2|10|F1F2|6，由椭圆定义可知，动点M的轨迹为椭圆探究1椭圆的定义例1已知ABC的周长是8，且B(1,0)，C(1,0)，则顶点A的轨迹方程是()A.1(x3) B.1(x0)C.1(y0) D.1(y0)解析|AB|AC|8|BC|6|BC|2，顶点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，设其方程为1(ab0)，则a3，b2.又A，B，C三点不共线，顶点A的轨迹方程为1(x3)答案A拓展提升1.对椭圆定义的三点说明(1)椭圆是在平面内定义的，所以“平面内”这一条件不能忽视(2)定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量(3)常数(2a)必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆，这是判断一曲线是否为椭圆的限制条件2椭圆定义的两个应用(1)若|MF1|MF2|2a(2a|F1F2|)，则动点M的轨迹是椭圆(2)若点M在椭圆上，则|MF1|MF2|2a.【跟踪训练1】已知圆A：(x3)2y2100，圆A内一定点B(3,0)，圆P过点B且与圆A内切，求圆心P的轨迹方程解设圆P的半径为r.又圆P过点B，|PB|r.又圆P与圆A内切，圆A的半径为10.两圆的圆心距|PA|10r，即|PA|PB|10(大于|AB|)点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆2a10,2c|AB|6，a5，c3.b2a2c225916.即点P的轨迹方程为1.探究2椭圆标准方程的应用例2若方程1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是()A9m16 B9mC.m解析依题意可得解得m16.答案C条件探究若将例2条件“y轴”改为“x轴”，其他条件不变，试求实数m的取值范围解依题意可得解得9m.结论探究如果把例2的问题改为“求该椭圆的焦距的取值范围”，怎样解答呢？解由题意得c2(m9)(16m)2m7，所以c，又m16，所以02m725，c(0,5)，所以焦距2c(0,10)拓展提升方程1表示椭圆的条件是表示焦点在x轴上的椭圆的条件是表示焦点在y轴上的椭圆的条件是【跟踪训练2】(1)“3m7”是“方程1表示椭圆”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案B解析由方程1表示的曲线是椭圆，可得解得3m7且m5，所以3m7且m53m7，而3m7推不出3m7且m5.所以，“3m0)，并且焦距为6，求实数m的值解2c6，c3.当椭圆的焦点在x轴上时，由椭圆的标准方程知a225，b2m2 ，a2b2c2，得25m29，m216，又m0，故m4.当椭圆的焦点在y轴上时，由椭圆的标准方程知a2m2，b225, a2b2c2，得m225934，又m0，故m.综上，实数m的值为4或.探究3椭圆的标准方程例3求满足下列条件的椭圆的标准方程(1)焦点坐标分别为(0，2)，(0,2)，且经过点(4,3)；(2)a8，c6；(3)经过两点P1，P2.解(1)由题意得，2a12，得a6.又c2，b2a2c232.所求的椭圆的方程为1.(2)a8，c6，b2a2c2643628.当焦点在x轴上时，椭圆的方程为1；当焦点在y轴上时，椭圆的方程为1.故所求的椭圆方程为1或1.(3)当椭圆的焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为1(ab0)，依题意知解得a2b0)由题意得解得故所求椭圆的标准方程为1.解法探究解答例3(1)(3)有没有其他解法呢？解(1)椭圆的焦点在y轴上，设所求的椭圆方程为1(ab0)由题意得得所求的椭圆方程为1.(3)设所求椭圆的方程为Ax2By21(A0，B0，AB)由题意得解得所求的椭圆方程为5x24y21，即1.例4已知两圆C1：(x4)2y2169，圆C2：(x4)2y29，动圆在圆C1内部和圆C1相内切，和圆C2相外切，求动圆圆心的轨迹解如图所示，由已知可得圆C1与C2的圆心坐标分别为C1(4,0)，C2(4，0)，其半径分别为r113，r23.设动圆的圆心为C，其坐标为(x，y)，动圆的半径为r.由于圆C1与圆C相内切，依据两圆内切的充要条件，可得|C1C|r1r.由于圆C2与圆C相外切，依据两圆外切的充要条件，可得|C2C|r2r.由可得|CC1|CC2|r1r213316，即点C到两定点C1与C2的距离之和为16，且|C1C2|8，可知动点C的轨迹为椭圆，且以C1与C2为焦点由题意，得c4，a8，b2a2c2641648.椭圆的方程为1，动圆圆心的轨迹为焦点在x轴上的椭圆，其方程为1.拓展提升求椭圆标准方程的方法(1)求关键量代入法：先确定椭圆的焦点位置明确其标准方程的形式，再利用定义及a2b2c2求出参数a，b，最后代入椭圆标准方程(2)待定系数法：构造a，b，c三者之间的关系，通过解方程组求出a，b.但是要注意先确定焦点所在的位置，其主要步骤可归纳为“先定位，后定量”当焦点位置不确定时，可设椭圆方程为mx2ny21(m0，n0，mn)因为它包括焦点在x轴上(mn)两类情况，所以可以避免分类讨论，从而达到了简化运算的目的(3)定义法：利用椭圆的定义求动点的轨迹方程，应先根据动点具有的条件，验证是否符合椭圆的定义，即动点到两定点距离之和是否是一常数，且该常数(定值)大于两点的距离，若符合，则动点的轨迹为椭圆，然后由定义确定椭圆的基本量a，b，c，这就是定义法求椭圆标准方程的方法，但注意检验(4)相关点法：当题目中所求动点和已知动点存在明显关系时，一般利用相关点的方法求解用相关点法求轨迹方程的基本步骤为设点：设所求轨迹上动点坐标为P(x，y)，已知曲线上动点坐标为Q(x1，y1)求关系式：用点P的坐标表示出点Q的坐标，即得关系式代换：将上述关系式代入已知曲线方程得到所求动点轨迹的方程，并把所得方程化简即可【跟踪训练3】(1)设F1，F2分别是椭圆E：x21(0b|F1F2|)在解题过程中将|PF1|PF2|看成一个整体，可简化运算. (2)椭圆的定义中要求一动点到两定点的距离和为常数，因而在解决问题时，若出现“两定点”“距离之和”这样的条件或内容，应考虑是否可以利用椭圆的定义来解决. 2.椭圆标准方程的两种应用 由椭圆的标准方程可以确定焦点坐标，或求参数的值(或取值范围). (1)求椭圆的焦点坐标时，若方程不为标准方程，应先将其化为标准方程，确定a2，b2的值和焦点所在的坐标轴，再利用关系式a2b2c2求出c，即可写出焦点坐标. (2)已知方程求参数的值(或取值范围)时，需注意：对于方程1，当mn0时，方程表示焦点在x轴上的椭圆；当nm0时，方程表示焦点在y轴上的椭圆特别地，当nm0时，方程表示圆心在原点的圆若已知方程的形式不是标准方程，需先进行转化. 3.求椭圆标准方程的常用方法 (1)求关键量代入法； (2)待定系数法； (3)定义法； (4)相关点法. 4.椭圆的焦点三角形问题解答此类问题可结合椭圆的定义列出|PF1|PF2|2a，利用这个关系式便可求出结果，因此回归定义是求解椭圆的焦点三角形问题的常用方法在求解过程中要灵活运用勾股定理、正弦定理、余弦定理等. 1若平面内点M到定点F1(0，1)，F2(0,1)的距离之和为2，则点M的轨迹为()A椭圆B直线F1F2C线段F1F2D直线F1F2的垂直平分线答案C解析|MF1|MF2|2|F1F2|，所以点M的轨迹为线段F1F2.2以两条坐标轴为对称轴的椭圆过点P和Q，则此椭圆的方程是()A.x21B.y21C.y21或x21D以上都不对答案A解析设椭圆方程为mx2ny21(m0，n0，mn)，则解得椭圆方程为x21.故选A.3椭圆25x216y21的焦点坐标为()A(3,0) B.C. D.答案D解析椭圆的标准方程为1，知焦点在y轴上，c2，故焦点坐标为.4已知F1，F2是椭圆C：1(ab0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且，若PF1F2的面积为9，则b_.答案