高三数学一轮复习 （基础知识+小题全取+考点通关+课时检测）6.7数学归纳法课件 新人教A版.ppt

知识能否忆起 数学归纳法一般地 证明一个与正整数n有关的命题 可按下列步骤进行 1 归纳奠基 证明当n取时命题成立 第一个值n0 n0 n 2 归纳递推 假设n k k n0 k n 时命题成立 证明当时命题也成立 只要完成这两个步骤 就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立 上述证明方法叫做数学归纳法 n k 1 小题能否全取 答案 c a n k 1时等式成立b n k 2时等式成立c n 2k 2时等式成立d n 2 k 2 时等式成立 解析 因为n为偶数 故假设n k成立后 再证n k 2时等式成立 答案 b 答案 d 4 记凸k边形的内角和为f k 则凸k 1边形的内角和f k 1 f k 解析 由凸k边形变为凸k 1边形时 增加了一个三角形 答案 答案 2k 数学归纳法的应用 1 数学归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题的证明方法 它们的表述严格而且规范 两个步骤缺一不可 第一步是递推的基础 第二步是递推的依据 第二步中 归纳假设起着 已知条件 的作用 在n k 1时一定要运用它 否则就不是数学归纳法 第二步的关键是 一凑假设 二凑结论 2 在用数学归纳法证明问题的过程中 要注意从k到k 1时命题中的项与项数的变化 防止对项数估算错误 用数学归纳法证明恒等式 用数学归纳法证明等式的规则 1 数学归纳法证明等式要充分利用定义 其中两个步骤缺一不可 缺第一步 则失去了递推基础 缺第二步 则失去了递推依据 2 证明等式时要注意等式两边的构成规律 两边各有多少项 并注意初始值n0是多少 同时第二步由n k到n k 1时要充分利用假设 不利用n k时的假设去证明 就不是数学归纳法 例2 等比数列 an 的前n项和为sn 已知对任意的n n 点 n sn 均在函数y bx r b 0且b 1 b r均为常数 的图象上 1 求r的值 用数学归纳法证明不等式 应用数学归纳法证明不等式应注意的问题 1 当遇到与正整数n有关的不等式证明时 若用其他办法不容易证 则可考虑应用数学归纳法 2 用数学归纳法证明不等式的关键是由n k成立 推证n k 1时也成立 证明时用上归纳假设后 可采用分析法 综合法 求差 求商 比较法 放缩法等证明 归纳 猜想 证明 例3 2012 天津模拟 如图 p1 x1 y1 p2 x2 y2 pn xn yn 0 y1 y2 yn 是曲线c y2 3x y 0 上的n个点 点ai ai 0 i 1 2 3 n 在x轴的正半轴上 且 ai 1aipi是正三角形 a0是坐标原点 1 写出a1 a2 a3 2 求出点an an 0 n n 的横坐标an关于n的表达式并证明 自主解答 1 a1 2 a2 6 a3 12 归纳 猜想 证明 的模式 是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式 其一般思路是 通过观察有限个特例 猜想出一般性的结论 然后用数学归纳法证明 这种方法在解决探索性问题 存在性问题或与正整数有关的命题中有着广泛的应用 其关键是归纳 猜想出公式 3 2013 北京海淀模拟 数列 an 满足sn 2n an n n 1 计算a1 a2 a3 a4 并由此猜想通项公式an 2 用数学归纳法证明 1 中的猜想 典例 2012 九江模拟 设数列 an 的前n项和为sn 并且满足2sn a n an 0 n n 猜想 an 的通项公式 并用数学归纳法加以证明 1 在解答本题时有以下容易造成失分 1 在代入n 1 2 3时 不能准确求得a1 a2 a3 从而猜想不出an 2 证明n k到n k 1这一步时 采用2sk 1 2 sk ak 1 2sk 2ak 1 a k 2ak 1 k2 k 2 k 1 k 1 2 k 1 a ak 1 看似利用假设 实际利用猜想结论ak 1 k 1 造成错误 2 利用数学归纳法证明不等式过程中 不能正确合理地运用分析法 综合法 出现缺步 跳步现象 教师备选题 给有能力的学生加餐 1 用数学归纳法证明an 1 a 1 2n 1 n n 能被a2 a 1整除 证明 1 当n 1时 a2 a 1 a2 a 1可被a2 a 1整除 2 假设n k k 1 k n 时 ak 1 a 1 2k 1能被a2 a 1整除 则当n k 1时 解题训练要高效见 课时跟踪检测 四十一 ak 2 a 1 2k 1 a ak 1 a 1 2 a 1 2k 1 a ak 1 a a 1 2k 1 a2 a 1 a 1 2k 1 a ak 1 a 1 2k 1 a2 a 1 a 1 2k 1由假设可知a ak 1 a 1 2k 1 能被a2 a 1整除 a2 a 1 a 1 2k 1也能被a2 a 1整除 ak 2 a 1 2k 1也能被a2 a 1整除 即n k 1时命题也成立 由 1 2 知 对任意n n 原命题成立 2 在数列 an 中 a1 1 an 1 can cn 1 2n 1 n n 其中c 0 求数列 an 的通项公式 解 由a1 1 a2 ca1 c2 3 3c2 c 22 1 c2 c a3 ca2 c3 5 8c3 c2 32 1 c3 c2 a4 ca3 c4 7 15c4 c3 42 1 c4 c3 猜测an n2 1 cn cn 1 n n 下面用数学归纳法证明 当n 1时 等式成立 假设当n k时 等式成立 即ak k2 1 ck ck 1 则当n k 1时 ak 1 cak ck 1 2k 1 c k2 1 ck ck 1 ck