高中数学 第二讲 参数方程 三 直线的参数方程成长训练 新人教A版选修4-4.doc

二 圆锥曲线的参数方程主动成长夯基达标1.下列可以作为直线2x-y+1=0的参数方程的是()a.(t为参数)b.(t为参数)c.(t为参数)d.(t为参数)解析一:根据所给的方程可知直线的斜率为2,而所给直线的参数方程中,a选项的斜率是1,b选项的斜率是-2,c选项的斜率是2,d选项的斜率是.所以只有c符合条件,这里c虽然不是标准式的参数方程,但是只有c能化成2x-y+1=0.解析二:化各参数方程为普通方程,再去比较.答案:c2.已知参数方程(a、b、均不为零,02).当(1)t是参数;(2)是参数;(3)是参数,则下列结论中成立的是()a.(1)(2)(3)均为直线b.只有(2)是直线c.(1)(2)是直线,(3)是圆d.(2)是直线,(1)(3)是圆锥曲线解析:若t是参数,a、b、为常数,消去t得一个关于x、y的二元一次方程,故t是参数时,参数方程表示直线,若是参数,a、b、t、是常数,消后方程化为关于x、y的二元一次方程,故是参数时,参数方程仍表示直线;若是参数,a、b、t、是常数,消后方程化为(x-at)2+(y-bt)2=2,参数方程表示圆.答案:c3.两条曲线的参数方程分别是 (为参数),(t为参数),则其交点个数为()a.0b.1c.0或1d.2解析:两个参数方程分别表示线段x-y+2=0(-1x0,1y2)和椭圆=1,所以两曲线只有一个交点.答案:b4.若 (为参数)与(t为参数)表示同一条直线,则与t的关系是()a.=5tb.=-5tc.t=5d.t=-5解析:依题意,由x-x0,得-3=tcos,由y-y0,得4=tsin,消去的三角函数,得252=t2,得t=5,借助于直线的斜率可排除d.答案:c5.直线(t为参数)被圆x2+(y-1)2=9所截得的线段长等于()a.3b.6c.9d.与的值无关解析:把x=tcos,y=1+sin代入圆的方程,得t2cos2+t2sin2=9,得t2=9,得t1=3,t2=-3,线段长为|t1-t2|=6.答案:b6.直线(t为参数)的倾斜角等于()a.30b.60c.-45d.135解析:由x=-2+tcos30,得t=y=3-sin60=-x+1.答案:d7.按照规律(t是参数)运动后,质点从时间t1到t2经过的距离是_.解析:时间t1对应的点a的坐标是(a+t1cos,b+t1sin),时间t2对应的点b的坐标是(a+t2cos,b+t2sin),利用两点距离公式可以求得质点从时间t1到t2经过的距离|ab|=|t1-t2|.答案:|t1-t2|8.直线l经过点m0(1，5)，倾斜角为，且交直线x-y-2=0于m点，则|mm0|=_.解析:直线l的参数方程为(t为参数),代入方程x-y-2=0中得1+t-(5+t)-2=0t=6(-1).根据t的几何意义即得|mm0|=6(-1).答案:6(-1)9.已知直线l的参数方程是(t为参数)，其中实数的范围是(0,)，则直线l的倾斜角是_.解析:首先要根据的范围把直线的参数方程化为标准参数方程,根据标准式结合的范围得出直线的倾斜角.答案:-10.过点a(1,1)作直线,被椭圆所截得的弦被此点平分,则此直线方程为_.解析:设直线为(t为参数)代入椭圆方程并整理得(4cos2+9sin2)t2+(8cos+18sin)t-23=0.t1+t2=0,8cos+18sin=0.tan=-.直线方程为4x+9y-13=0.答案:4x+9y-13=011.下表是一条直线上的点和对应参数的统计值:参数t262横坐标x2-12-30纵坐标y5+65+37根据数据可知直线的参数方程是_，转化为普通方程是(一般式)_，直线被圆(x-2)2+(y-5)2=8截得的弦长为_.解析:这是一个由统计、直线参数方程和普通方程、圆的知识组成的综合问题.充分考查了这几部分知识的灵活运用.首先,根据统计的基本知识,观察分析所给数据的特点给出直线的参数方程(t为参数),然后把参数方程转化为普通方程x+y-7=0,而由参数方程可知直线一定过点(2,5),恰好是所给圆的圆心,所以直线被圆所截的弦长恰好是圆的直径,易知直径长为4.答案: (t为参数)x+y-7=0412.给出两条直线l1和l2，斜率存在且不为0，如果满足斜率互为相反数，且在y轴上的截距相等，那么直线l1和l2叫做“孪生直线”.(1)现在给出4条直线的参数方程如下:(t为参数); (t为参数);(t为参数);(t为参数).其中构成“孪生直线”的是_.(2)给出由参数方程表示的直线 (t为参数),直线(t为参数),那么，根据定义，直线l1、直线l2构成“孪生直线”的条件是_.解析:根据条件,两条直线构成“孪生直线”意味着它的斜率存在不为0,互为相反数,且在y轴的截距相等,也就是在y轴上交于同一点.对于题(1),首先可以判断出其斜率分别为-1,1,-1,1,斜率互为相反数条件很明显,再判断在y轴上的截距.令x=0得出相应的t值,代入y可得只有直线l1和直线l4在y轴上的截距相等,而其斜率又恰好相反,可以构成“孪生直线”.对于题(2)首先写出相应斜率分别是tan1和tan2,因此要tan1=-tan2,即tan1+tan2=0；然后再考虑在y轴上的截距,首先在l1的参数方程中,令x=x1+tcos1=0,可得t=-代入得y=y1-x1tan1.同理,可得直线l2在y轴上的截距是y=y2-x2tan2.由定义中的条件“截距相等”可得y1-x1tan1=y2-x2tan2,即y1-y2=x1tan1-x2tan2.如果把tan1=-tan2代入式子还可以进一步得到y1-y2=x1tan1+x2tan1,即y1-y2=(x1+x2)tan1.答案:（1）直线l1和直线l4（2）tan1+tan2=0且y1-y2=x1tan1+x2tan2也可以写成y1-y2=(x1+x2)tan113.过原点作直线l,交直线2x-y-1=0于a,交2x+y+3=0于b,若原点为线段ab的中点,求l的方程.解:设l的倾斜角为,则l的参数方程为(t为参数).将方程分别代入两直线方程中,2tcos-tsin=1,得t1=2tcos+tsin+3=0,得t2=-o(0,0)为ab中点,t1+t2=0.4cos=4sin.k=tan=1,所求l的方程为y=x.14.直线l经过点(0,)斜率为2,交椭圆于a、b两点,求ab中点到点(0,5)的距离.解:由k=2=tan,sin=,cos=,直线l的参数方程为(t为参数).代入椭圆方程9()2+4(+)2-36=05t2+16t-16=0.所求距离d=|t1+t2|=|-|=.15.已知直线l过点p(-1,1),倾斜角为,与抛物线y2=-8x交于a、b两点.(1)求|pa|pb|的最小值及此时l的方程;(2)若p(-1,1)平分线段ab,求l的方程;(3)若线段ab被p(-1,1)三等分,求l的方程.解析:由于题目所求部分有明确几何意义,可考虑用直线的参数方程.解:设直线l的参数方程为(t为参数),代入抛物线方程并整理得t2sin2+2tsin+8tcos-7=0.=(2sin+8cos)2+28sin2=48+8sin(2+)0,它的两根t1、t2为ab对应的参数值.(1)|pa|pb|=|t1|t2|=|t1t2|=(k,否则直线与抛物线只有一个交点)当sin=1时,|pa|pb|有最小值7,此时直线方程为x=-1.(2)若p为中点,则t1+t2=0,=0.k=tan=-4.直线l的方程为4x+y+3=0.(3)为ab的三等分点,不妨设|pa|=2|pb|,即t1=-2t2,t1+t2=-t2,t1t2=-2t22.-2(t1+t2)2=t1t2.由韦达定理知=-2,整理得(3sin+8cos)(sin+8cos)=0.k1=tan1=-,k2=tan2=-8.故所求直线l的方程为8x+3y+5=0或8x+y+7=0.走近高考1.(2006江西六校联考二) 已知点(x0,y0)在直线ax+by=0(a、b为常数)上,则的最小值为_.解析:由题意知最小值为点(a,b)到直线ax+by=0的距离.答案:2.(经典回放)直线 (t为参数)的倾斜角是()a.20b.70c.110d.160解析一:把直线参数方程化成标准形式,为直线的倾斜角为110.解析二:化直线参数方程为=-cot20,即=tan110,直线的倾斜角是110.答案:c评析:这一试题的考查方向是求参数方程表示直线的倾斜角.考查的知识点是直线参数方程的标准形式以及参数方程化普通方程等;主要考查由直线参数方程求倾斜角以及三角变换的能力等.3.过点b(0,-a)作双曲线x2-y2=a2右支的割线bcd,又过右焦点f作平行于bd的直线,交双曲线于g、h两点.(1)求证:(2)设m为弦cd的中点,smbf= a2,求割线bd的倾斜角.(1)证明:当a0时,设割线的倾斜角为,则它的参数方程为(t为参数).则过焦点f且平行于b