（浙江专版）2019版高考数学一轮复习 第六章 数列与数学归纳法学案.doc

第六章 数列与数学归纳法第一节数列的概念与简单表示法1数列的有关概念概念含义数列按照一定顺序排列的一列数数列的项数列中的每一个数数列的通项数列an的第n项an通项公式数列an的第n项an与n之间的关系能用公式anf(n)表示，这个公式叫做数列的通项公式前n项和数列an中，sna1a2an叫做数列的前n项和2.数列的表示方法列表法列表格表示n与an的对应关系图象法把点(n，an)画在平面直角坐标系中公式法通项公式把数列的通项使用公式表示的方法递推公式使用初始值a1和an1f(an)或a1，a2和an1f(an，an1)等表示数列的方法3.an与sn的关系若数列an的前n项和为sn，则an4数列的分类小题体验1已知数列an的前4项为1,3,7,15，则数列an的一个通项公式为_答案：an2n1(nn*)2已知数列an中，a11，an1，则a5等于_答案：3(教材改编题)已知数列an的前n项和为sn，若sn3n1，则an_.答案：23n11数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关2易混项与项数的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号3在利用数列的前n项和求通项时，往往容易忽略先求出a1，而是直接把数列的通项公式写成ansnsn1的形式，但它只适用于n2的情形小题纠偏1已知sn是数列an的前n项和，且snn21，则数列an的通项公式是_答案：an2数列an的通项公式为ann29n，则该数列第_项最大答案：4或5题组练透1已知nn*，给出4个表达式：anan，an，an.其中能作为数列：0,1,0,1,0,1,0,1，的通项公式的是()abc d解析：选a检验知都是所给数列的通项公式2根据数列的前几项，写出各数列的一个通项公式：(1)4,6,8,10，；(2)(易错题)，；(3)1,7，13,19, ；(4)9,99,999,9 999，.解：(1)各数都是偶数，且最小为4，所以它的一个通项公式an2(n1)，nn*.(2)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式an(1)n，nn*.(3)这个数列，去掉负号，可发现是一个等差数列，其首项为1，公差为6，所以它的一个通项公式为an(1)n(6n5)，nn*.(4)这个数列的前4项可以写成101,1001,1 0001，10 0001，所以它的一个通项公式an10n1，nn*.谨记通法由数列的前几项求数列通项公式的策略(1)根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征，并对此进行归纳、联想，具体如下：分式中分子、分母的特征；相邻项的变化特征；拆项后的特征；各项符号特征等(2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是利用不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想，由不完全归纳得出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符号变化，可用(1)n或(1)n1来调整如“题组练透”第2(2)题典例引领已知下面数列an的前n项和sn，求an的通项公式(1)sn2n23n；(2)sn2nan.解：(1)a1s1231，当n2时，ansnsn1(2n23n)2(n1)23(n1)4n5，由于a1也适合此等式，an4n5.(2)当n1时，s1a12a1，所以a11；当n2时，ansnsn1(2nan)2(n1)an12anan1，即anan11，转化可得an2(an12)所以an2是以首项为a121，公比为的等比数列，所以an2(1)n1，即an2n1.由题悟法已知sn求an的 3个步骤(1)先利用a1s1求出a1；(2)用n1替换sn中的n得到一个新的关系，利用ansnsn1(n2)便可求出当n2时an的表达式；(3)对n1时的结果进行检验，看是否符合n2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n1与n2两段来写即时应用已知数列an的前n项和为sn.(1)若sn(1)n1n，求a5a6及an；(2)若an0，sn1，且6sn(an1)(an2)，求an.解：(1)a5a6s6s4(6)(4)2，当n1时，a1s11；当n2时，ansnsn1(1)n1n(1)n(n1)(1)n1n(n1)(1)n1(2n1)，又a1也适合此式，所以an(1)n1(2n1)(2)当n1时，a1s1(a11)(a12)，即a3a120.解得a11或a12.因为a1s11，所以a12.当n2时，ansnsn1(an1)(an2)(an11)(an12)，所以(anan13)(anan1)0.因为an0，所以anan10，所以anan130，所以数列an是以2为首项，3为公差的等差数列所以an3n1.锁定考向递推公式和通项公式是数列的两种表示方法，它们都可以确定数列中的任意一项，只是由递推公式确定数列中的项时，不如通项公式直接常见的命题角度有：(1)形如an1anf(n)，求an；(2)形如an1anf(n)，求an；(3)形如an1aanb(a0且a1)，求an. 题点全练角度一：形如an1anf(n)，求an1在数列an中，a11，anan1(n2)，求数列an的通项公式解：anan1(n2)，an1an2，an2an3，a2a1.以上(n1)个式子相乘得ana1.当n1时，a11，上式也成立an(nn*)角度二：形如an1anf(n)，求an2设数列an满足a11，且an1ann1(nn*)，求数列an的通项公式解：由题意有a2a12，a3a23，anan1n(n2)以上各式相加，得ana123n.又a11，an(n2)当n1时也满足此式，an(nn*)角度三：形如an1aanb(a0且a1)，求an3已知数列an满足a11，an13an2，求数列an的通项公式解：an13an2，an113(an1)，3，数列an1为等比数列，公比q3，又a112，an123n1，an23n11(nn*)通法在握典型的递推数列及处理方法递推式方法示例an1anf(n)叠加法a11，an1an2nan1anf(n)叠乘法a11，2nan1aanb(a0,1，b0)化为等比数列a11，an12an1演练冲关根据下列条件，求数列an的通项公式(1)a11，an1an2n；(2)a1，anan1(n2)；(3)a11，an3an14(n2)解：(1)由题意知an1an2n，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a12n12n2212n1.(2)因为anan1(n2)，所以当n2时，所以，以上n1个式子相乘得，即21，所以an.当n1时，a1，与已知a1相符，所以数列an的通项公式为an.(3)因为an3an14(n2)，所以(an2)3(an12)因为a123，所以an2是首项与公比都为3的等比数列所以an23n，即an3n2.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1数列，2，2，则2是该数列的()a第6项 b第7项c第9项 d第10项解析：选b，2，2，可转化为，所以可知接下的项为，2，所以2为第7项2已知数列an的前n项和为snn22n2，则数列an的通项公式为()aan2n3 ban2n3can dan解析：选c当n1时，a1s11，当n2时，ansnsn12n3，由于n1时a1的值不适合n2的解析式，故通项公式为选项c.3(2018衢州模拟)已知数列an满足：a11，an1 ，则数列an的通项公式an为()a. b.c. d.解析：选b由an1可得.所以数列是以1为首项，公差为的等差数列，所以，即an.4(2018诸暨模拟)已知数列an中，对任意的p，qn*都满足apqapaq，若a11，则a9_.解析：由题可得，因为a11，令pq1，则a2a1；令pq2，则a4a1；令pq4，则a8a1，所以a9a81a1a81.答案：15(2018金华模拟)在数列an中，an(nn*)，则该数列的最大项为_；最小项为_解析：因为an1，所以可知当n50时，数列an是递增数列；当n50时，数列an也是递增的对比函数y1的图象可知，当n49时，数列an取到最大项，最大值为11；当n51时，数列取到最小项，最小值为9.答案：119二保高考，全练题型做到高考达标1数列0,1,0，1,0,1,0，1，的一个通项公式是an等于()a. bcosccos dcos解析：选d令n1,2,3，逐一验证四个选项，易得d正确2(2018江山模拟)已知数列an的前n项和为sn，且sn2an1(nn*)，则a5()a16 b16c31 d32解析：选b 当n1时，s1a12a11，所以a11；当n2时，ansnsn12an2an1，an2an1，所以有2，所以an是首项为1，公比为2的等比数列，其通项为an2n1，所以a52416.3设数列an的前n项和为sn，且snsn1an1(nn*)，则此数列是()a递增数列 b递减数列c常数列 d摆动数列解析：选c因为snsn1an1，所以当n2时，sn1snan，两式相减，得anan1an1an，所以有an0.当n1时，a1a1a2a2，所以a10.所以an0.即数列是常数列4(2018浦江模拟)已知数列an满足a1a2a3ann2，则该数列的通项公式为()aan2 ban2can dan解析：选c当n1时，a11.当n2时，a1a2a3an1(n1)2，所以当n2时，an2.所以an5(2018丽水模拟)数列an满足an1若a1，则a2 018()a. b.c. d.解析：选a由a1，得a22a11，所以a32a2，所以a42a3，所以a52a41a1.由此可知，该数列是一个周期为4的周期数列，所以a2 018a50442a2.6在数列1,0，中，0.08是它的第_项解析：令0.08，得2n225n500，即(2n5)(n10)0.解得n10或n(舍去)答案：107(2018海宁模拟)已知数列an满足an1an2n1，则该数列的前8项和为_解析：s8a1a2a3a4a5a6a7a81591328.答案：288在一个数列中，如果对任意的nn*，都有anan1an2k(k为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k叫做这个数列的公积已知数列an是等积数列，且a11，a22，公积为8，则a1a2a3a12_.解析：依题意得数列an是周期为3的数列，且a11，a22，a34，因此a1a2a3a124(a1a2a3)4(124)28.答案：289已知sn为正项数列an的前n项和，且满足snaan(nn*)(1)求a1，a2，a3，a4的值；(2)求数列an的通项公式解：(1)由snaan(nn*)，可得a1aa1，解得a11；s2a1a2aa2，解得a22；同理，a33，a44.(2)snaan，当n2时，sn1aan1，得(anan11)(anan1)0.由于anan10，所以anan11，又由(1)知a11，故数列an是首项为1，公差为1的等差数列，故ann.10已知数列an的通项公式是ann2kn4.(1)若k5，则数列中有多少项是负数？n为何值时，an有最小值？并求出最小值；(2)对于nn*，都有an1an，求实数k的取值范围解：(1)由n25n40，解得1nan，知该数列是一个递增数列，又因为通项公式ann2kn4，可以看作是关于n的二次函数，考虑到nn*，所以3.所以实数k的取值范围为(3，)三上台阶，自主选做志在冲刺名校1已知数列an的通项公式为an(1)n2n1，该数列的项排成一个数阵(如图)，则该数阵中的第10行第3个数为_a1a2a3a4a5a6解析：由题意可得该数阵中的第10行、第3个数为数列an的第12393348项，而a48(1)4896197，故该数阵第10行、第3个数为97.答案：972(2018温州模拟)设函数f(x)log2xlogx4(0x1)，数列an的通项公式an满足f(2an)2n(nn*)(1)求数列an的通项公式；(2)判定数列an的单调性解：(1)因为f(x)log2xlogx4(0x1)，f(2an)2n(nn*) ，所以f(2an)log22anlog2an4an2n，且02an1，解得an0.所以ann.(2)因为1.因为anan.故数列an是递增数列第二节等差数列及其前n项和1等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示(2)等差中项：数列a，a，b成等差数列的充要条件是a，其中a叫做a，b的等差中项2等差数列的有关公式(1)通项公式：ana1(n1)d.(2)前n项和公式：snna1d.3等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：anam(nm)d(n，mn*)(2)若an为等差数列，且klmn(k，l，m，nn*)，则akalaman.(3)若an是等差数列，公差为d，则a2n也是等差数列，公差为2d.(4)若an，bn是等差数列，则panqbn也是等差数列(5)若an是等差数列，公差为d，则ak，akm，ak2m，(k，mn*)是公差为md的等差数列小题体验1在等差数列an中，若a3a4a5a6a725，则a2a8_.答案：102(2018温州模拟)已知等差数列an的前n项和为sn，若a35，a53，则an_；s7_.答案：n8283(教材习题改编)已知等差数列5,4，3，则前n项和sn_.答案：(75n5n2)1要注意概念中的“从第2项起”如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列2求等差数列的前n项和sn的最值时，需要注意“自变量n为正整数”这一隐含条件小题纠偏1首项为24的等差数列，从第10项开始为负数，则公差d的取值范围是()a(3，)b.c. d.答案：d2(2018湖州模拟)设等差数列an的前n项和为sn，已知a316，a610，则公差d_；sn取到最大时的n的值为_解析：因为数列an是等差数列，且a316，a610，所以公差d2，所以an2n22，要使sn能够取到最大值，则需an2n220，所以解得n11.所以可知使得sn取到最大时的n的值为10或11.答案：210或11题组练透1(2017嘉兴二模)设sn为等差数列an的前n项和，若，则()a.b.c. d.解析：选a设数列an的公差为d，因为sn为等差数列an的前n项和，且，所以10a14a16d，所以a1d.所以.2设等差数列an的公差d0，且a2d，若ak是a6与ak6的等比中项，则k()a5 b6c9 d11解析：选c因为ak是a6与ak6的等比中项，所以aa6ak6.又等差数列an的公差d0，且a2d，所以a2(k2)d2(a24d)a2(k4)d，所以(k3)23(k3)，解得k9或k0(舍去)，故选c.3公差不为零的等差数列an中，a72a5，则数列an中第_项的值与4a5的值相等解析：设等差数列an的公差为d，a72a5，a16d2(a14d)，则a12d，ana1(n1)d(n3)d，而4a54(a14d)4(2d4d)8da11，故数列an中第11项的值与4a5的值相等答案：114设sn为等差数列an的前n项和，a128，s99，则s16_.解析：设等差数列an的首项为a1，公差为d，由已知，得解得s16163(1)72.答案：72谨记通法等差数列基本运算的方法策略(1)等差数列中包含a1，d，n，an，sn五个量，可“知三求二”解决这些问题一般设基本量a1，d，利用等差数列的通项公式与求和公式列方程(组)求解，体现方程思想(2)如果已知等差数列中有几项的和是常数的计算问题，一般是等差数列的性质和等差数列求和公式sn结合使用，体现整体代入的思想典例引领(2018舟山模拟)已知数列an中，a1，an2(n2，nn*)，数列bn满足bn(nn*)(1)求证：数列bn是等差数列；(2)求数列an中的最大项和最小项，并说明理由解：(1)证明：b1，当n2时，bnbn11.所以数列bn是以首项为，1为公差的等差数列(2)因为b1，公差d1；所以bnn1n.所以an1.所以当n3时，(an)mina31；当n4时，(an)maxa43.由题悟法等差数列的判定与证明方法方法解读适合题型定义法对于任意自然数n(n2)，anan1(n2，nn*)为同一常数an是等差数列解答题中证明问题等差中项法2an1anan2(n3，nn*)成立an是等差数列通项公式法anpnq(p，q为常数)对任意的正整数n都成立an是等差数列选择、填空题中的判定问题前n项和公式法验证snan2bn(a，b是常数)对任意的正整数n都成立an是等差数列即时应用已知数列an满足a11，an(nn*，n2)，数列bn满足关系式bn(nn*)(1)求证：数列bn为等差数列；(2)求数列an的通项公式解：(1)证明：bn，且an，bn12，bn1bn22.又b11，数列bn是首项为1，公差为2的等差数列(2)由(1)知数列bn的通项公式为bn1(n1)22n1，又bn，an.数列an的通项公式为an.典例引领1等差数列an的前n项和为sn，若s1122，则a3a7a8()a18b12c9 d6解析：选d由题意得s1122，即a15d2，所以a3a7a8a12da16da17d3(a15d)6.2(2018嘉兴一中模拟)设等差数列an的前n项和为sn，若s6s7s5，则满足an0的最大n的值为_，满足sksk10，a7s7s60的最大n的值为6.又a6a7s7s50，则s1111a60，s126(a6a7)0，s1313a70，因为an是递减的等差数列，所以满足sksk10，d0时，满足的项数m使得sn取得最大值为sm；当a10时，满足的项数m使得sn取得最小值为sm.即时应用1(2018浙江新高考联盟)已知等差数列an的前n项和为sn，且，则()a. b.c. d.解析：选a因为数列an是等差数列，所以s4，s8s4，s12s8，s16s12成等差数列，因为，所以不妨设s41，则s83，所以s8s42，所以s16123410，所以.2设等差数列an的前n项和为sn，已知前6项和为36，最后6项的和为180，sn324(n6)，则数列an的项数为_解析：由题意知a1a2a636，anan1an2an5180，得(a1an)(a2an1)(a6an5)6(a1an)216，a1an36，又sn324，18n324，n18.答案：18一抓基础，多练小题做到眼疾手快1(2018杭州模拟)已知递增的等差数列an满足a11，a3a4.则数列an的通项公式为()aan2n1ban2n3can2n1或2n3 dan2n解析：选a设数列an的公差为d，由a3a4可得12d(1d)24，解得d2.因为数列an是递增数列，所以d0，故d2.所以an12(n1)2n1.2等差数列an的前n项和为sn，若a56，则s9为()a45 b54c63 d27解析：选b法一：s99a59654.故选b.法二：由a56，得a14d6，s99a1d9(a14d)9654，故选b.3(2018温州十校联考)等差数列an的前n项和为sn，若a12，s312，则a5等于()a8 b10c12 d14解析：选b设数列an的公差为d，因为a12，s312，所以s33a13d63d12，解得d2.所以a524d10.4(2015全国卷)设sn是数列an的前n项和，且a11，an1snsn1，则sn_.解析：an1sn1sn，an1snsn1，sn1snsnsn1.sn0，1，即1.又1，是首项为1，公差为1的等差数列1(n1)(1)n，sn.答案：5等差数列an中，已知a50，a4a70，则an的前n项和sn的最大值为_解析：sn的最大值为s5.答案：s5二保高考，全练题型做到高考达标1记等差数列an的前n项和为sn，若a1，s420，则s6()a16 b24c36 d48解析：选d设数列an的公差为d，由s44a16d26d20，解得d3，所以s66a115d34548.2(2018浙江五校联考)等差数列an中，a10，等差d0，若aka1a2a7，则实数k()a22 b23c24 d25解析：选a因为a10，且aka1a2a7，即(k1)d21d，又因为d0，所以k22.3(2018河南六市一联)已知正项数列an的前n项和为sn，若an和都是等差数列，且公差相等，则a6()a. b.c. d1解析：选a设an的公差为d，由题意得，又an和都是等差数列，且公差相同，解得a6a15d.4(2018东阳模拟)已知两个等差数列an和bn的前n项和分别为an和bn，且，则使得为整数的正整数的个数为()a2 b3c4 d5解析：选d由，可得7，所以要使为整数，则需为整数，所以n1,2,3,5,11，共5个5设数列an的前n项和为sn，若为常数，则称数列an为“吉祥数列”已知等差数列bn的首项为1，公差不为0，若数列bn为“吉祥数列”，则数列bn的通项公式为()abnn1 bbn2n1cbnn1 dbn2n1解析：选b设等差数列bn的公差为d(d0)，k，因为b11，则nn(n1)dk，即2(n1)d4k2k(2n1)d，整理得(4k1)dn(2k1)(2d)0.因为对任意的正整数n上式均成立，所以(4k1)d0，(2k1)(2d)0，解得d2，k.所以数列bn的通项公式为bn2n1.6(2018金华十校联考)等差数列an的前n项和为sn，若a11，s2a3，则a2_；sn_.解析：设公差为d，则2d12d，所以d1.所以a2112；snn.答案：27在等差数列an中，a17，公差为d，前 n项和为sn ，当且仅当n8 时sn 取得最大值，则d 的取值范围为_解析：由题意，当且仅当n8时sn有最大值，可得即解得1d6时，tna1a2a6a7an2s6n(2n23)132.所以tn答案：30tn9已知等差数列的前三项依次为a,4,3a，前n项和为sn，且sk110.(1)求a及k的值；(2)设数列bn的通项bn，证明：数列bn是等差数列，并求其前n项和tn.解：(1)设该等差数列为an，则a1a，a24，a33a，由已知有a3a8，得a1a2，公差d422，所以skka1d2k2k2k.由sk110，得k2k1100，解得k10或k11(舍去)，故a2，k10.(2)证明：由(1)得snn(n1)，则bnn1，故bn1bn(n2)(n1)1，即数列bn是首项为2，公差为1的等差数列，所以tn.10(2018南昌调研)设数列an的前n项和为sn,4sna2an3，且a1，a2，a3，a4，a5成等比数列，当n5时，an0.(1)求证：当n5时，an成等差数列；(2)求an的前n项和sn.解：(1)证明：由4sna2an3,4sn1a2an13，得4an1aa2an12an，即(an1an)(an1an2)0.当n5时，an0，所以an1an2，所以当n5时，an成等差数列(2)由4a1a2a13，得a13或a11，又a1，a2，a3，a4，a5成等比数列，所以由(1)得an1an0(n5)，q1，而a50，所以a10，从而a13，所以an所以sn三上台阶，自主选做志在冲刺名校1(2018浙江五校联考)已知等差数列an的公差d0，且a1，a3，a13成等比数列，若a11，sn为数列an的前n项和，则的最小值为_解析：设公差为d.因为a1，a3，a13成等比数列，所以(12d)2112d，解得d2.所以an2n1，snn2.所以.令tn1，则原式t2.因为t2，tn*，所以当t3，即n2时，min4.答案：42已知数列an满足an1an4n3(nn*)(1)若数列an是等差数列，求a1的值；(2)当a12时，求数列an的前n项和sn.解：(1)法一：数列an是等差数列，ana1(n1)d，an1a1nd.由an1an4n3，得(a1nd)a1(n1)d4n3，2dn(2a1d)4n3，即2d4,2a1d3，解得d2，a1.法二：在等差数列an中，由an1an4n3，得an2an14(n1)34n1，2dan2an(an2an1)(an1an)4n1(4n3)4，d2.又a1a22a1d2a124131，a1.(2)由题意，当n为奇数时，sna1a2a3ana1(a2a3)(a4a5)(an1an)2424(n1)3.当n为偶数时，sna1a2a3an(a1a2)(a3a4)(an1an)19(4n7).第三节等比数列及其前n项和1等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为q.(2)等比中项：如果a，g，b成等比数列，那么g叫做a与b的等比中项即：g是a与b的等比中项a，g，b成等比数列g2ab.2等比数列的有关公式(1)通项公式：ana1qn1.(2)前n项和公式：sn3等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：anamqnm(n，mn*)(2)若mnpq2k(m，n，p，q，kn*)，则amanapaqa；(3)若数列an，bn(项数相同)是等比数列，则an，a，anbn，(0)仍然是等比数列；(4)在等比数列an中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，ank，an2k，an3k，为等比数列，公比为qk.小题体验1(教材习题改编)将公比为q的等比数列a1，a2，a3，a4，依次取相邻两项的乘积组成新的数列a1a2，a2a3，a3a4，.此数列是()a公比为q的等比数列b公比为q2的等比数列c公比为q3的等比数列 d不一定是等比数列答案：b2(2018台州模拟)已知等比数列an各项都是正数，且a42a24，a34，则an_；s10_.解析：设公比为q，因为a42a24，a34，所以有4q4，解得q2或q1.因为q0，所以q2.所以a11，ana1qn12n1.所以s1021011 023.答案：2n11 0233在数列an中，a11，an13an(nn*)，则a3_；s5_.答案：91211特别注意q1时，snna1这一特殊情况2由an1qan，q0，并不能立即断言an为等比数列，还要验证a10.3在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q1与q1分类讨论，防止因忽略q1这一特殊情形而导致解题失误4sn，s2nsn，s3ns2n未必成等比数列(例如：当公比q1且n为偶数时，sn，s2nsn，s3ns2n不成等比数列；当q1或q1且n为奇数时，sn，s2nsn，s3ns2n成等比数列)，但等式(s2nsn)2sn(s3ns2n)总成立小题纠偏1在等比数列an中，a32，a78，则a5等于()a5b5c4 d4解析：选caa3a72816，a54，又a5a3q20，a54.2设数列an是等比数列，前n项和为sn，若s33a3，则公比q_.答案：或1典例引领1(2018绍兴模拟)等比数列an的公比为2，前n项和为sn.若12a2s3，则a1()a.bc. d1解析：选c由题可得，14a1a12a14a1，解得a1.2(2015全国卷)在数列an中，a12，an12an，sn为an的前n项和若sn126，则n_.解析：a12，an12an，数列an是首项为2，公比为2的等比数列又sn126，126，n6.答案：6由题悟法解决等比数列有关问题的2种常用思想方程的思想等比数列中有五个量a1，n，q，an，sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a1和q，问题可迎刃而解分类讨论的思想等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q1时，an的前n项和snna1；当q1时，an的前n项和sn即时应用1(2018暨阳模拟)等比数列an中，前n项和为sn，a1a92a3a6，s562，则a1的值为()a2b2c1 d1解析：选b设数列an的公比为q，因为a1a92a3a6，所以aq82aq7，所以q2.因为s562，所以s531a162，所以a12.2(2018宁波模拟)已知等比数列an满足a2，a2a84(a51)，则a4a5a6a7a8的值为()a20b31c62 d63解析：选b因为a2a8a4(a51)，解得a52.所以q2.所以a4a5a6a7a812481631.3已知数列是递增的等比数列，a1a49，a2a38，则数列的前n项和等于_解析：设等比数列的公比为q，则有解得或又为递增数列，sn2n1.答案：2n1典例引领(2016全国卷)已知数列an的前n项和sn1an，其中0.(1)证明an是等比数列，并求其通项公式；(2)若s5，求.解：(1)证明：由题意得a1s11a1，故1，a1，故a10.由sn1an，sn11an1得an1an1an，即an1(1)an.由a10，0得an0，所以.因此an是首项为，公比为的等比数列，于是ann1.(2)由(1)得sn1n.由s5得15，即5.解得1.由题悟法等比数列的4种常用判定方法定义法若q(q为非零常数，nn*)或q(q为非零常数且n2，nn*)，则an是等比数列中项公式法若数列an中，an0且aanan2(nn*)，则数列an是等比数列通项公式法若数列通项公式可写成ancqn1(c，q均是不为0的常数，nn*)，则an是等比数列前n项和公式法若数列an的前n项和snkqnk(k为常数且k0，q0,1)，则an是等比数列提醒(1)前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明；后两种方法常用于选择题、填空题中的判定(2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可即时应用(2018衢州模拟)已知数列an的前n项和为sn，a11，sn14an2(nn*)，若数列bn满足bnan12an，求证：bn是等比数列证明：因为sn14an2，所以s2a1a24a12，又a11，所以a25，b1a22a13，当n2时，sn4an12.所以sn1snan14an4an1.因为bnan12an，所以当n2时，2.所以bn是以3为首项，2为公比的等比数列典例引领1(2018宁波模拟)已知各项不为0的等差数列an满足a6aa80，数列bn是等比数列，且b7a7，则b2b8b11()a1b2c4 d8解析：选d由等差数列的性质，得a6a82a7.由a6aa80，可得a72，所以b7a72.由等比数列的性质得b2b8b11b2b7b12b238.2若等比数列an的前n项和为sn，且5，则_.解析：由题可得，s2，s4s2，s6s4，s8s6成等比数列，因为5，不妨设s21，则s45，所以s4s24，所以s814166485，所以17.答案：17由题悟法等比数列的性质可以分为3类通项公式的变形根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口等比中项的变形前n项和公式的变形即时应用1(2018诸暨模拟)已知等比数列an中，a1a2a340，a4a5a620.则该数列的前9项和为()a50 b70c80 d90解析：选b由等