高中数学 第二章 平面向量 2.2 平面向量的线性运算 2.2.3 向量数乘运算及其几何意义课堂导学案 新人教A版必修4.doc

2.2.3 向量数乘运算及其几何意义课堂导学三点剖析1.向量数乘的定义及其运算律【例1】化简（4a-3b）+b-(6a-7b)=_.思路分析：利用数乘运算的运算律将括号去掉，然后合并各向量即可.原式=4a-3b+b-a+b=(4-)a+(-3+)b=a-b=.答案：温馨提示（1）向量的加法、减法、数乘的混合运算，类似于代数运算中的合并同类顶，只不过现在的同类项是指共线向量.（2）熟练掌握数乘运算的结合律和分配律是解决这类问题的关键.2.向量数乘的应用【例2】 已知：如右图abc中，d、e分别是边ab、ac的中点.求证：debc.思路分析：只需证明=即可.证明：因为d、e分别为ab、ac的中点，故=，=.=-=(-)=.而d、b不重合，所以debc.温馨提示 向量共线可以判断几何中三点共线和两直线平行的问题.但直线平行不包括重合的情况.【例3】如下图，d、e、f分别为abc的边bc、ca、ab的中点，且=a，=b.求证：（1）=-a-b;（2）=a+b；（3）=-a+b；（4）+=0.思路分析：想办法找到已知向量和所求的向量的联系.证明：（1）=+=-b-a；(2)=+=a+b;（3）=+=+=b+(+)=b+(-b-a)=-a+b;(4)+=-a-b-a+b+a+b=0.温馨提示 用已知向量表示未知向量的问题，一般是运用三角形法则或平行四边形法则建立已知向量和未知向量的联系.3.对向量数乘的概念的再理解【例4】 已知a，b是两个非零向量，判断下列各命题的真假：（1）2a的方向与a的方向相同，且2a的模是a的模的2倍；（2）-2a的方向与5a的方向相反，且-2a的模是5a的模的倍；（3）-2a与2a是一对相反向量；（4）a-b与-（b-a）是一对相反的向量.解：（1）真命题.20,2a与a的方向相同,又|2a|=2|a|,命题是真命题.（2）真命题.50,5a与a方向相同，且|5a|=5|a|，而-20,-2a与a的方向相反，|-2a|=2|a|.-2a与5a的方向相反，且模是5a的.故（2）是真命题.（3）真命题.依据相反向量的定义及实数与向量乘积的定义进行判断.（4）假命题.a-b与b-a是一对相反向量,a-b与-（b-a）是一对相等向量.故（4）是假命题.各个击破类题演练1将2(2a+8b)-4(4a-2b)化简成最简式为（ ）a.2a-b b.2b-a c.a-b d.b-a解析：原式=（4a-16a）+（16b+8b）=(-12a+24b)=2b-a.答案：b变式提升1若2(x-a)-(b+c-3x)+b=0,其中a、b、c为已知向量，则未知向量x=_.解析：原式变形为2x-a-b-c+x+b=0,x=a-b+c,x=a-b+c,答案：a-b+c类题演练2abcd为一个四边形，e、f、g、h分别为bd、ab、ac和cd的中点，求证四边形efgh为平行四边形.证明：如右图，f、g分别为ab、ac中点，=，同理=，=，同理=.四边形efgh为平行四边形.变式提升2设a、b是不共线的两个向量，已知=2a+kb,=a+b,=a-2b,若a、b、d三点共线，求k的值.解：由已知，必存在实数，使=而=+=（a+b）+(a-2b)=2a-b.2a+kb=(2a-b)=2a-b,于是,k=-1.类题演练3如右图所示，d、e是abc中ab、ac边中点，m、n分别是de、bc的中点，已知=a，=b，试用a、b分别表示、和.解：由三角形中位线定理知debc.故=，即=a，=+=-a+b+a=-a+b.=+=+=-a-b+a=a-b.变式提升3如右图所示，oadb是以向量=a，=b为边的平行四边形.又bm=bc，cn=cd，试用a，b表示，.解：=（-）=（a-b）.=+=b+a-b=a+b,=.=+=+= (+)=(a+b).类题演练4若|a|=3，b与a的方向相反，且|b|=5，则a=_b.解析：|a|=|b|又b与a方向相反，a=-b.答案：-变式提升4给出以下命题：若两非零向量a,