高中数学 2.4 正态分布复习课件 新人教A版选修23.ppt

2 4正态分布 1 了解正态曲线和正态分布的概念 2 认识正态曲线的特点及曲线所表示的意义 3 会根据正态曲线的性质求随机变量在某一区间范围内的概率 1 本课时的重点是正态曲线的概念 特点及随机变量在某一区间范围内的概率求法 2 本课时的难点是正态分布的概念及根据正态曲线的性质求随机变量在某一区间范围内的概率 1 正态曲线函数 x x 其中实数 和 0 为参数 的图象为正态分布密度曲线 简称正态曲线 2 正态分布 1 如果对于任何实数a b a b 随机变量x满足p a x b 则称随机变量x服从正态分布 2 记作 x n 2 3 正态曲线的性质 1 曲线在x轴上方 与x轴不相交 2 曲线是单峰的 关于直线 对称 3 曲线在x 处达到峰值 4 曲线与x轴之间的面积为1 5 当 一定时 曲线的位置由 确定 曲线随着 的变化而沿x轴平移 x 6 如图所示 当 一定时 曲线的形状由 确定 越大 曲线越 矮胖 表示总体的分布越分散 越小 曲线越 瘦高 表示总体的分布越集中 4 正态变量在三个特殊区间内取值的概率 1 p x 2 p 2 x 2 3 p 3 x 3 0 6826 0 9544 0 9974 1 参数 在正态分布中的实际意义是什么 提示 参数 是反映随机变量取值的平均水平的特征数 是衡量随机变量总体波动大小的特征数 可以用样本标准差去估计 2 为什么正态分布中 通常认为x只取区间 3 3 内的值 提示 正态分布中变量x几乎总取值于区间 3 3 之内 而在此区间以外取值的概率只有0 0026 通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生 故在实际应用中 通常认为服从正态分布n 2 的随机变量x只取 3 3 之内的值 简称3 原则 3 若随机变量x n 2 则p x 解析 p x p x 答案 4 关于正态曲线 x 有以下命题 正态曲线关于直线x 对称 正态曲线关于直线x 对称 正态曲线与x轴一定不相交 正态曲线与x轴一定相交 正态曲线所代表的函数是偶函数 曲线对称轴由 确定 曲线的形状由 决定 当 一定时 越大 曲线越 矮胖 越小 曲线越 高瘦 其中正确的是 填序号 解析 根据正态分布曲线的性质可得 由于正态曲线是一条关于直线x 对称 在x 处处于最高点并由该点向左 右两边无限延伸时逐渐降低的曲线 该曲线总是位于x轴的上方 曲线形状由 决定 而且当 一定时 比较若干个不同的 对应的正态曲线 可以发现 越大 曲线越 矮胖 越小 曲线越 高瘦 故 正确 答案 对正态曲线的特征的认识 函数的值域为正实数集的子集 且以x轴为渐近线 曲线是对称的 关于直线x 对称 函数在x 处取最大值 随机变量在 内取值的概率为1 当标准差一定时 变化时曲线的位置变化情况 均值一定时 变化时总体分布的集中 离散程度 正态曲线 技法点拨 1 求正态曲线的两个方法 1 图解法 明确顶点坐标便可 横坐标为样本的均值 纵坐标为样本的标准差 2 待定系数法 求出 便可 2 正态曲线的图象特征参数 决定了正态曲线的图象的对称性 参数 决定了随机变量的离散程度 典例训练 1 下列是正态密度函数的是 a f x b f x c f x d f x 2 设有一正态总体 它的正态分布密度曲线是函数f x 的图象 且f x 则这个正态总体的均值与标准差分别是 a 10与8 b 10与2 c 8与10 d 2与10 3 设两个正态分布n 1 12 1 0 和n 2 22 2 0 的密度函数图象如图所示 则有 a 1 2 c 1 2 1 2 1 2 解析 1 选b 对照正态密度函数f x 易知b正确 此时 0 1 2 选b 把函数f x 化简成正态密度函数为f x 易知这个正态总体的均值与标准差分别是10与2 3 选a 根据正态分布的性质 对称轴方程x 表示总体分布的分散与集中程度 由图可得 选a 思考 解决题1 2的关键及解决题3的关键是什么 提示 1 解决题1 2的关键是正确写出正态密度函数的解析式 对照求解便可 2 解决题3的关键是明确参数 代表的含义及其作用 变式训练 给出下列两个正态总体的函数表达式 请找出其均值 和标准差 1 f x x 2 f x x 解析 1 1 2 2 1 0 5 利用正态分布求概率 技法点拨 利用正态分布求概率的两个方法 1 对称法 由于正态曲线是关于直线x 对称的 且概率的和为1 故关于直线x 对称的区间上概率相等 如 p x a 2 3 法 利用x落在区间 2 2 3 3 内的概率分别是0 6826 0 9544 0 9974求解 典例训练 1 2011 湖北高考 已知随机变量 服从正态分布n 2 2 且p 4 0 8 则p 0 2 a 0 6 b 0 4 c 0 3 d 0 22 2012 海口高二检测 已知 n 4 2 且p 2 6 0 6826 则 p 2 4 3 设x n 6 1 求p 4 x 5 解析 1 选c 随机变量x服从正态分布n 2 2 2 对称轴是x 2 p 4 0 8 p 4 p 0 0 2 p 0 4 0 6 p 0 2 0 3 故选c 2 n 4 2 且p 2 6 0 6826 4 结合 3 原则可知 2 p 2 4 p 2 6 p 2 2 p 2 6 p 2 10 p 2 6 p 2 6 p 2 10 p 2 6 0 84 答案 20 84 3 由已知得 6 1 p 5 x 7 p x 0 6826 p 4 x 8 p 2 x 2 0 9544 如图 由正态分布的对称性知 p 4 x 5 p 7 x 8 p 4 x 5 p 4 x 8 p 5 x 7 0 2718 0 1359 总结 解答此类问题的主要思想及解题思路 提示 1 解答此类问题的主要思想为数形结合 巧用对称的原理解题 2 解题思路 由题意画图 找对称性 结合已知或 3 原则 求解 变式训练 2012 广州高二检测 设随机变量x服从正态分布n 0 1 已知p x1 96 1 0 025 2 0 95 答案 0 95 正态分布的应用 技法点拨 正态曲线的应用及求解策略解答此类问题的关键在于把实际问题转化为正态总体数据落在 2 2 3 3 三类区间内的概率 典例训练 1 某次市教学质量检测 甲 乙 丙三科考试成绩的分布可视为正态分布 则由图得下列说法中正确的是 a 乙科总体的标准差及平均数都居高 b 甲 乙 丙的总体的平均数不相同 c 丙科总体的平均数最小 d 甲科总体的标准差最小 2 某次语文考试中考生的分数x n 90 100 则分数在70 110分的考生占总考生数的百分比是 a 68 26 b 95 44 c 99 74 d 31 74 3 某砖瓦厂生产砖的 抗断强度 服从正态分布n 30 0 82 质检人员从该厂某天生产的1000块砖中随机地抽查一块 测得它的抗断强度为27 5公斤 厘米2 你认为该厂这天生产的这批砖是否合格 解析 1 选d 由图可知 甲 乙 丙的对称轴相同 即 相同 当 越小时曲线越 瘦高 当 越大时曲线越 矮胖 故正确答案为d 2 选b x n 90 100 90 10 p 70 x 110 p 90 20 x 90 20 0 9544 3 由 n 30 0 82 可知 在 30 3 0 8 30 3 0 8 即 27 6 32 4 之外取值的概率只有0 0026 而27 5 27 6 32 4 说明在一次试验中出现了几乎不可能发生的小概率事件 据此认为这批砖不合格 互动探究 在题2条件不变的情况下 求分数在110 120分的考生占总考生数的百分比 解析 由题意可知p 60 x 120 p 90 30 x 90 30 0 9974 p 110 x 120 p 60 x 120 p 70 x 110 分数在110 120分的考生占总考生数的百分比为2 15 总结 求解题1的关键点及求解题3的依据 提示 1 求解题1的关键点是明确图形语言与正态分布曲线性质的对应关系 2 求解题3的依据是数据落在区间 3 3 外的事件几乎不可能发生 变式训练 据调查统计 某市高二学生中男生的身高x 单位 cm 服从正态分布n 174 9 若该市共有高二男生3000人 试计算该市高二男生身高在 174 180 范围内的人数 解题指南 把实际问题转化成正态分布中数据落在区间 2 2 3 3 内的概率问题求解 解析 因为身高x n 174 9 所以 174 3 所以 2 174 2 3 168 2 174 2 3 180 所以身高在 168 180 范围内的概率为0 9544 又因为 174 所以身高在 168 174 和 174 180 范围内的概率相等均为0 4772 故该市高二男生身高在 174 180 范围内的人数约是3000 0 4772 1432 人 典例 2012 临沂高二检测 已知x n 2 且p x 0 p x 4 1 则 解题指导 易错误区 因等价转化或数形结合不够致误 解析 因为p x 0 p x 4 1 又p x 4 p x 4 1 0和 4关于 2对称 2 答案 2 阅卷人点拨 通过阅卷后分析 对解答本题的常见错误及解题启示总结如下 注 此处的 见解析过程 即时训练 2012 沈阳高二检测 已知随机变量x n 2 4 则p 4 x 6 解析 p 4 x 6 p 2 x 6 p 0 x 4 0 9544 0 6826 0 1359 答案 0 1359 1 把一条正态曲线a沿着横轴方向向右移动2个单位 得到一条新的曲线b 下列说法中不正确的是 a 曲线b仍然是正态曲线 b 曲线a和曲线b的最高点的纵坐标相等 c 以曲线b为正态分布的总体的方差比以曲线a为正态分布的总体的方差大2 d 以曲线b为正态分布的总体的均值比以曲线a为正态分布的总体的均值大2 解析 选c 平移只是改变了总体样本的均值 对方差无影响 故a b d选项正确 2 正态分布n 2 在下面几个区间内的取值概率依次为 3 3 2 2 68 26 95 44 99 74 99 74 95 44 68 26 68 26 99 74 95 44 95 44 68 26 99 74 解析 选 结合 3 原则易知答案选b 3 已知 n 0 62 且p 2 0 0 4 则p 2 等于 a 0 1 b 0 2 c 0 6 d 0 8 解析 选a 由正态曲线的性质知p 0 2 0 4 p 2 2 0 8 p 2 1 0 8 0 1 4 某种零件的尺寸x cm 服从正态分布n 3 1 则不属于区间