高考数学总复习 第五章第4课时 数列通项与求和课件.ppt

第4课时数列通项与求和 第五章数列 基础梳理1 求数列通项常用方法 1 叠加法 形如an 1 an f n n n 可用叠加法求通项 3 转化法 通过变换递推关系 将非等差 等比 数列转化为等差或等比数列而求得通项公式 常用转化途径有 n2 2 错位相减法这是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法 这种方法主要用于求数列 an bn 的前n项和 其中 an bn 分别是 和 等差数列 等比数列 3 倒序相加法将一个数列倒过来排列 反序 当它与原数列相加时 若有公因式可提 并且剩余的项的和易于求得 则这样的数列可用倒序相加法求和 它是 求和公式的推广 等差数列 4 分组转化法有一类数列 既不是等差数列 也不是等比数列 若将这类数列适当拆开 可分为几个等差 等比或常见的数列 即能分别求和 然后再合并 思考探究裂项相消时的注意事项有哪些 2 若数列 an 满足a1 1 an 1 an 2n 则an 解析 由已知an 1 an 2n 故有a2 a1 2 a3 a2 22 a4 a3 23 an an 1 2n 1 答案 2n 1 4 数列9 99 999 9999 的前n项和等于 根据下列条件求数列的通项 1 已知a1 5 an 2an 1 3 n 2 求an 2 数列 an 的前n项和为sn 且a1 1 an 1 2sn 求an 考点1由简单的递推式求通项 名师点评 问题 1 中的递推式an pan 1 q n 2 n n 是一类重要递推数列 等差数列 等比数列均是它的特例 当p 1时 an 为等差数列 当q 0而p 0时 an 为等比数列 对于p 0 1且q 0的情形 课标未作要求 但课本上的分期付款问题的解决 使用的正是此数学模型 从数学建模的角度来说 这一数列还是有研究的必要 2 由 1 得bn 3 2n 1 即an 1 an 3 2n 1 分别令n 1 2 3 n 1 则有a2 a1 3 a3 a2 3 2 a4 a3 3 22 an an 1 3 2n 2 以上n 1个式子相加得an a1 3 1 2 22 2n 2 3 2n 1 1 an 3 2n 1 1 考点2错位相减法求和和分组 分解 法求和 名师点评 1 把一个复杂的问题分解成若干个简单问题 从而求得问题的答案 称之为分解法 分解法的实质是化整为零 本题求sn时就是采用的分解法 在写出 sn 与 qsn 的表达式时应特别注意将两式 错项对齐 以便下一步准确写出 sn qsn 的表达式 利用错位相减法求和时 转化为等比数列求和 若公比是参数 字母 则应先对参数加以讨论 一般情况下分等于1和不等于1两种情况分别求和 解 1 由已知 当n 1时 an 1 an 1 an an an 1 a2 a1 a1 3 22n 1 22n 3 2 2 22 n 1 1 而a1 2符合上式 所以数列 an 的通项公式为an 22n 1 2 由bn nan n 22n 1知 sn 1 2 2 23 3 25 n 22n 1 从而22 sn 1 23 2 25 3 27 n 22n 1 名师点评 1 这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法 就是将一个数列倒过来排列 再把它与原数列相加 就可以得到n个 a1 an 其最简单的形式为 若数列 an 中有a1 an a2 an 1 a3 an 2 就可以用此方法求和 2 当数列具有 首尾配对 中心对称 特征时 常用倒序相加法 1 求数列 an 的通项公式及数列 bn 的前n项和tn 2 是否存在正整数m n 1 m n 使得t1 tm tn成等比数列 若存在 求出所有的m n的值 若不存在 请说明理由 使用裂项法 要注意正负项相消时 消去了哪些项 保留了哪些项 要注意到由于数列 an 中每一项an均裂成一正一负两项 所以互为相反数的项合并为零后 所剩正数项与负数项的项数必是一样多的 切不可漏写未被消去的项 未被消去的项有前后对称的特点 实质上 正负项相消是此法的目的 方法技巧1 求和问题可以利用等差 等比数列的前n项和公式解决 在具体问题中 既要善于从数列的通项入手观察数列的特点与变化规律 又要注意项数 2 非等差 比 的特殊数列求和题通常的解题思路是 1 设法转化为等差数列或等比数列 这一思想方法往往通过通项分解或错位相消来完成 2 不能转化为等差 比 的特殊数列 往往通过裂项相消 错位相减和倒序相加法求和 一般如果数列能转化为等差数列或等比数列就用公式法 如果数列项的次数及系数有规律 一般可用错位相减法 如果每项可写成两项之差 一般可用拆项法 如果能求出通项 可用拆项分组法 3 数列求和的关键在于数列通项公式的表达形式 根据通项公式的形式特点 观察采用哪种方法是这类题的解题决窍 4 通项公式中含有 1 n的一类数列 在求sn时要注意需分项数n的奇偶性讨论 5 叠加法和累积法是求数列通项的两个重要方法 如课本推导等差数列通项公式时用的叠加法 而推导等比数列通项时用的是累积法 因此这两种方法要给予充分关注 6 非等差 比 的特殊数列通项的求法往往都通过凑配换元转化成等差 比 数列的通项的求法 失误防范1 利用裂项相减法求和 裂项能否等价转化及怎样相消易出错 为避免出错 在裂项时 可检验一下 前n项和的展开式可以多列举几项寻找 相消 的规律 2 数列求和结果易化简出错 若使用方法不只一个 可以分别求出其中一部分的结果 化简后再整理 结果不一定最简 但要易于观察 符合数学的习惯即可 3 求数列通项公式时要特别注意下标n的起点 求和时要注意共有多少项 命题预测从近几年江苏高考试题来看 数列求和常常会涉及 不论是考查等差 等比数列直接求和 还是错位相减法 裂项相消法等 都是考查的热点 题型以解答题为主 又往往与其他知识相结合 考查综合运用知识的能力 江苏省的数列题往往设计新颖独特 突出考查学生分析问题的能力 题目有一定的难度 预测在2013年的江苏高考中 数列求和会以解答题的形式出现 结合不等式的有关知识 成为较为综合的问题 典例解答 本题满分12分 2011 高考山东卷 等比数列 an 中 a1 a2 a3分别是下表第一 二 三行中的某一个数 且a1 a2 a3中任何两个数不在下表的同一列 1 求数列 an 的通项公式 2 若数列 bn 满足bn an 1 nlnan 求数列 bn 的前n项和sn 解 1 当a1 3时 不合题意 当a1 2时 当且仅当a2 6 a3 18时 符合题意 当a1 10时 不合题意 2分因此a1 2 a2 6 a3 18 所以公比q 3 故an 2 3n 1 5分 2 因为bn an 1 nlnan 2 3n 1 1 nln 2 3n 1 2 3n 1 1 n ln2 ln3n 1 2 3n 1 1 nln2 1 n n 1 ln3 2 3n 1 1 n ln2 ln3 1 nnln3 所以sn 2 1 3 3n 1 1 1 1 1 n ln2 ln3 1 2 3 1 nn ln3 9分 得分技巧 本题得分的关键 对于 1 合理求出a1 a