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第二讲均值不等式及应用 算术平均数与几何平均数1 如果a b r 那么a2 b2 2ab 当且仅当a b时等号成立 利用这一性质可以求满足 一正二定 但是不满足 三相等 的函数的最值 这一思维过程可以简记为 等号取不到 单调来协调 答案 a 答案 b 答案 b 5 某公司一年购买某种货物400吨 每次都购买x吨 运费为4万元 次 一年的总存储费用为4x万元 要使一年的总运费与总存储费用之和最小 则x 吨 答案 20 题后总结 1 创设应用均值不等式的条件 合理拆分项或配凑因式是常用的技巧 而拆与凑的目标在于使等号成立 且每项为正值 且需出现积为定值或和为定值 列出等号成立的条件 它不仅是解题的必要步骤 而且也是检验转换是否有误的一种方法 2 利用均值不等式求最值需注意的问题 各数 式 均为正 和或积为定值 等号能否成立 即 一正二定三相等 三者缺一不可 题后总结 已知不等式对变量在某个范围内恒成立 求不等式中参数的最值 关键是将参数分离出来 转化为求与变量有关的式子的最大值或最小值 其实质就是利用 拆 拼 凑 的技巧 利用均值不等式求最值 12分 如图 要设计一张矩形广告 该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目 即图中阴影部分 这两栏的面积之和为18000cm2 四周空白的宽度为10cm 两栏之间的中缝空白的宽度为5cm 怎样确定广告的高与宽的尺寸 单位 cm 能使矩形广告的面积最小 规范解答 解法一 设矩形栏目的高为acm 宽为bcm 则ab 9000 2分广告的高为a 20 宽为2b 25 其中a 0 b 0 则广告的面积s a 20 2b 25 4分 即当x 140 y 175时 s取得最小值2450
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